3.2函数的增长率与函数模型 同步训练（含解析）

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2020-2021学年度高中数学必修一
函数的增长率与函数模型同步训练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（
）
A．y＝ax＋b
B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b
D．y＝aln
x＋b
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中随x的增长而增长最快的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．能使不等式一定成立的x的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
6．有一组实验数据如下：
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
1.5
4.04
7.5
12.5
18.27
现在用下列函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．当时，，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
8．函数的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
9．若，则下列结论正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
10．学校宿舍与办公室相距，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍.在这个过程中，这位同学行走的路程是时间的函数，则这个函数图象是（
）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．某工厂8年来某产品总产量y与时间t年的函数关系如下图，则：
①
前3年总产量增长速度增长速度越来越快；
②
前3年中总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量保持不变.
以上说法中正确的是____
___.
12．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80
km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3
h，晚到1
h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5
h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5
h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是________．
13．
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2
000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
三、解答题
14．某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米．
（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值．
15．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
16．某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元．
（1）写出与的解析式；
（2）选择哪家比较合算？请说明理由．
17．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
参考答案
1．B
【解析】
从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数.
故选：B
2．C
【解析】
随x的增大，指数函数的增长速度最快，
的增长速度最快，
故选：C.
3．B
【解析】
根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
4．A
【解析】
由于是指数函数，是对数函数，是幂函数，指数函数，
由于当x足够大时，指数函数的增长速度最快，呈爆炸式增长，且2个指数函数的底数分别为e?和
2，且，故增长速度最快的是.
故选：A．
5．D
【解析】
作出、（红色）、图像
由图像可知，当时，
故选：D.
6．C
【解析】
对于A选项，时，，与表格差距较大，故排除
对于B选项，时，，与表格差距较大，故排除
对于C选项，时，
对于D选项，时，，相对于C项误差较大，故排除
故选：C
7．B
【解析】
在平面直角坐标系中，作出，，在时的图象如下图所示：
由图象可知，当时，
故选
8．A
【解析】
因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；
因为时，所以排除D,故选A
9．A
【解析】
如图所示，结合，及的图象易知，当时，，
本题选择A选项.
10．A
【解析】
由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增，停留2分钟，
路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A符合,
故选：A.
11．①③
【解析】
由函数图象可知
在区间上,图象图象凹陷上升的,表明年产量增长速度越来越快;
在区间上,如果图象是水平直线,表明总产量保持不变,即年产量为0.
①、③正确
故答案为:①③
12．①②③
【解析】
看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．
故答案为①②③.
点睛：研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．
13．
【解析】
由题意可得12000=2000，=6，解得，所以，填
14．（1），其定义域是．
（2）设计，时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．
【解析】
解：（1）由已知，，其定义域是．
，
，，
，其定义域是．
（2），
当且仅当，即时，上述不等式等号成立，
此时，，，．
答：设计，时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．
15．（1）；（2）甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大,
且最大收益为万元.
【解析】
试题分析：（1）当甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，此时直接计算即可；（2）列出总收益的函数式得，令，换元将函数转换为关于的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的值.
试题解析：
（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
∴
（2），
依题得，即，
故.
令，则，
当时，即时，，
∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.
16．（1），；
（2）见解析.
【解析】
（1）由题设有，.
（2）令时，解得；
令，解得，
所以：当时，，选甲家比较合算；
当时，，两家一样合算；
当时，，选乙家比较合.
17．按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
【解析】
试题分析：最优方案问题，方案一的函数模型为，方案二的函数模型为，通过计算，得到方案二获利更多，解得答案．
试题解析：
本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
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精品试卷·第
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