初中数学湘教版九年级上册3.4相似三角形的判定与性质练习题（Word版 含解析）

初中数学湘教版九年级上册第三章3.4相似三角形的判定与性质练习题
一、选择题
如图，在中，，，则的值是
A.
B.
1
C.
D.
如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角
A.
都扩大为原来的5倍
B.
都扩大为原来的10倍
C.
都扩大为原来的25倍
D.
都与原来相等
如图，在中，，若，，则AC长为
A.
B.
C.
D.
6
如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，再过点C作分别交边DE，BH于点P，若，，则CR的长为
A.
14
B.
15
C.
D.
如图，∽，AD和分别是和的高，若，，则与的面积的比为
A.
4：9
B.
9：4
C.
2：3
D.
3：2
如图，在中，，D为AC上一点，连接BD，且，则DC为
A.
2
B.
C.
D.
5
下列判断中正确的个数有
全等三角形是相似三角形??顶角相等的两个等腰三角形相似
所有的等腰三角形都相似??所有的菱形都相似
两个位似三角形一定是相似三角形．
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
如图，中，若，，则下列比例式正确的是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，E，G分别是AB，AC上的点，，的平分线AD交EG于点F，交BC于点D，若，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，点D、E分别是边AB、AC上的一点，且，若：：9，则DE：BC等于
A.
4：9
B.
2：3
C.
4：5
D.
1：2
二、填空题
已知两个相似三角形与的相似比为则与的面积之比为______．
如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为______．
如图所示，个边长为1的等边三角形，其中点A，，，，在同一条直线上，若记的面积为，的面积为，的面积为，，的面积为，则______．
如图，D、E分别是的边BC、AB上的点，AD、CE相交于点F，，，则CF：______．
如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且，，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与相似，则______．
三、解答题
从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
如图1，在中，，，当______时，CD为的完美分割线；
如图2，中，，，CD是的完美分割线，求完美分割线CD的长．
如图1，在的方格纸中，有格点三个顶点都在方格顶点上的三角形
请在图2中作一个格点三角形，使它与相似不全等，且相似比为有理数；
请在图3中作一个格点三角形，使它与相似，且相似比为无理数．
如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且．
求证：；
若，，，求AB的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，
∽，
，
，
故选：A．
利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2.【答案】D
【解析】解：所得的三角形与原三角形相似
三角形的每个角都与原来相等
故选：D．
三角形的每条边都扩大为原来的5倍，所得的三角形与原三角形相似，相似比是1：5，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等．
本题主要考查相似三角形的性质，对应角相等．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
由，可得出∽，利用相似三角形的性质可得出，将，代入即可求出AC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边的比成比例是解题的关键．
【解答】
解：，，
∽，
，即，
或舍去．
故选C．
4.【答案】A
【解析】解：如图，连接EC，设AB交CR于J．
四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
，
，，
，
，C，H共线，A，C，I共线，
，
，
，
∽，
，
，
，，
：：2，
：：2，设，，
，，
，
，，
四边形ABQC是平行四边形，
，
，
，
负根已经舍弃，
，，
，
，
，
，
故选：A．
如图，连接EC，设AB交CR于证明∽，推出，由，可得，，由EC：：2，推出AC：：2，设，，证明四边形ABQC是平行四边形，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会踢脚线有辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5.【答案】A
【解析】解：∽，AD和分别是和的高，，，
，
与的面积的比，
故选：A．
根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
6.【答案】C
【解析】解：如图，作于E．
，，
，设，
则有：，
，
解得，
，
故选：C．
如图，作于设，则有：，由此构建方程求出x即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】B
【解析】解：全等三角形是相似三角形，正确；
顶角相等的两个等腰三角形相似，正确；
所有的等腰三角形不一定相似故此选项错误；
所有的菱形都相似，错误；
两个位似三角形一定是相似三角形，正确．
故选：B．
直接利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质分别判断得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定方法以及位似图形的性质、相似多边形的判定方法，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：，，
∽，∽，四边形BDEF为平行四边形，
∽，，
．
故选：D．
由，可得出∽，∽，四边形BDEF为平行四边形，再利用相似三角形的性质及平行四边形的性质可得出，此题得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，利用相似三角形的性质及平行四边形的性质找出是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：，，
∽，
，
平分的平分线，
，
，
∽，
．
故选：B．
先证明∽，利用相似比得到，再证明∽，利用相似比得到，从而得到正确答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
10.【答案】B
【解析】解：，
∽，
：：9，
：：3．
故选：B．
由，即可证得∽，又由：：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
11.【答案】9
【解析】解：与的相似比为3，
与的面积之比为9．
故答案为9．
直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
12.【答案】
【解析】解：连接CO，过点A作轴于点D，过点C作轴于点E，
反比例函数的图象与直线相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使，
，，
则，
，
，
又，
∽，
，
，
点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，
，
，即，
，
这个图象所对应的函数解析式为．
故答案为：．
连接CO，过点A作轴于点D，过点C作轴于点E，证明∽，根据相似三角形的性质求出和面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出，得到，根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出∽是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
，
，
，
所以，
，
，
故答案为：
首先求出，，，，探究规律后即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】12
【解析】解：作交AD于H，
则∽，
，
，
，
，
，
∽，
，即CF：，
故答案为：12．
作，根据∽，得到，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握作辅助线构造相似三角形的一般方法是解题的关键．
15.【答案】2或
【解析】解：四边形ABCD为正方形，
，，
，
，
，，
，
当时，∽，即，解得；
当时，∽，即，解得，
综上所述，当BM为2或时，以B，M，C为顶点的三角形与相似．
故答案为2或．
先利用等角的余角相等得到，利用相似三角形的判定方法得到当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别利用比例的性质求BM的长．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．
16.【答案】
【解析】解：当时，，，
，
不是等腰三角形，
，
，
是等腰三角形，
，
∽，
是的完美分割线；
故答案为：；
∽，
，
，，
设，则，
，
解得，
，，
∽，
，
，，
，
如图3，∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
如图4，∽，
，
，
即，，
，，
，
，
；
如图5，∽，
，
，
，
同理解得：，
如图6，∽，
综上所述，CD的长为或1或或或．
根据已知条件得到不是等腰三角形，求得，得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17.【答案】解：如图2所示：它与相似不全等，且相似比为2；
如图3所示：它与相似不全等，且相似比为．
【解析】直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案；
直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案．
此题主要考查了相似变换，正确应用网格分析是解题关键．
18.【答案】证明：四边形ABCD为平行四边形，
，
，
，
，
，，
∽，
：：EA，
；
，
，
，
，
，即，解得，
∽，
，即，
．
【解析】利用平行四边形的性质得到，则，然后证明∽，则利用相似三角形的性质得到结论；
先利用计算出，则，再由，利用平行线分线段成比例定理计算出，然后利用∽，根据相似比求出AB的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．
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