人教版数学九年级上册：22.1.4《二次函数y=ɑx?+bx+c的图象和性质》 课件（第一课时 共66张）

(共66张PPT)
二次函数y=ɑx?+bx+c的图象和性质
第一课时
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）二次函数
的图象性质：
向上
当
时，y随x的增大而减小；当
时，y随x的增大而增大
当
时，y随x的增大而增大；当
时，y随x的增大而减小
向下
当
时，
当
时，
知识回顾
问题探究
课堂小结
（2）抛物线的平移规律：
（h）左加右减，（k）上加下减。
抛物线
抛物线
当h﹥0时，向“右”平移h个单位
当h<0时，向“左”平移|h|个单位
当k﹥0时，向“上”平移k个单位
当k<0时，向“下”平移|k|个单位
抛物线
左右平移
上下平移
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究一：从旧知识过渡到新知识。
复习配方
填空：（1）x2+4x+9=（x+
）2+
；
（2）x2-5x+8=（x-
）2+
。
2
5
总结规律：
当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴。
合作探究
重点、难点知识★▲
例1画函数
的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。
分析：首先要用配方法将函数写成y＝a（x－h）2＋k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴。
重点、难点知识★▲
解：
所以它的开口向上，对称轴是x=6，
顶点坐标是（6，3）。
同学们自己画图！
归纳：
一般式化为顶点式的思路：
（1）二次项系数化为1；
（2）加、减一次项系数一半的平方；
（3）写成平方的形式。
例1画函数
的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。
合作探究
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴。
小组讨论
重点、难点知识★▲
如果每次都采取“配方”，岂不是很麻烦？有更好的办法吗？
例2求二次函数y=ax?+bx+c的对称轴和顶点坐标。
解：把二次函数y=ax?+bx+c的右边配方，得
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴。
重点、难点知识★▲
点拨：
1.运用配方法，可以将二次函数表达式的两种形式y=ax2+bx+c与y＝a（x－h）2＋k相互转化。
将二次函数y=ax2+bx+c（一般式）转化为y＝a（x－h）2＋k（顶点式）的形式，
即：
则：
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a（x－h）2＋k中，
小组讨论
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质。
师生共研，探究性质
画出函数
的图象，并试着说出它的性质。
解：
列表：
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
10
4
2
4
10
…
描点、连线：
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质。
观察图象知：
开口向上，对称轴是x＝4，
顶点坐标是（4，2）。
当x>4时，y随x的增大而增大；
当x<4时，y随x的增大而减小。
当x＝4时，函数y取最小值2。
师生共研，探究性质
画出函数
的图象，并试着说出它的性质。
知识回顾
问题探究
课堂小结
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质。
思考、讨论下列问题：
1.对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？
2.观察二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？
3.函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质吗？
活动
师生共研，探究性质。
知识回顾
问题探究
课堂小结
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与性质：
a＞0
（1）当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸。
（2）对称轴是直线
顶点坐标为
（3）在对称轴的左侧，即相当于
时，
y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧，即相当于
时，
y随x的增大而增大；
简记为“左减右增”。
（4）抛物线有最低点，当
时，y有最小值，y最小值=
活动
师生共研，探究性质。
知识回顾
问题探究
课堂小结
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与性质：
a<0
（1）当a<0时，抛物线开口向下，并且向下无限延伸。
（2）对称轴是直线
顶点坐标为
（3）在对称轴的左侧，即相当于
时，
y随x的增大而增大；
在对称轴的右侧，即相当于
时，
y随x的增大而减小；
简记为“左增右减”。
（4）抛物线有最高点，当
时，y有最大值，y最大值=
活动
师生共研，探究性质
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动1
基础型例题
例1把下面的二次函数的一般式化成顶点式：
【解题过程】
解法一：用配方法：
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动1
【思路点拨】一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种是代入公式法。
例1把下面的二次函数的一般式化成顶点式：
基础型例题
【解题过程】
解法二：用公式法：
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动1
基础型例题
练习：若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝（x－2）2＋k，则b，k的值分别为（
）
A.0，5B.0，1C.－4，5D.－4，1
解：∵y＝（x－2）2＋k=x2-4x+4+k，∴b=-4，4+k=5，∴k=1，
故选D。
D
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动1
基础型例题
例2已知：抛物线
（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
【解题过程】
解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－8）。
（2）令y＝0，得
解得
所以与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）。
令x＝0，得y＝－6，所以与y轴的交点坐标为（0，－6）。
（3）当x≥1时，y随x的增大而增大。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动1
基础型例题
练习：若点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1　　y2（填“＞”、“＜”、“=”）。
【解题过程】
解：∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，1＜2＜3，
∴y1＜y2。
＜
【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动2
提升型例题
例3已知
那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　）
﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6
【解题过程】
解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2。
∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大。
又∵
∴当
时，y取最大值，
C
【思路点拨】确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动2
提升型例题
…
－2
－1
0
1
2
…
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是　。（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；
②函数
的最大值为6；
③抛物线的对称轴是
④在对称轴左侧，y随x增大而增大。
【思路点拨】题中给出表格，可根据所给数据，求出函数解析式，再据此即可作出判断；也可根据表格中的数据，抛物线的对称性，以及二次函数的图象性质，进行判断。
练习：抛
物线
上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动2
提升型例题
【解题过程】
解法一：略。（请同学们自己完成）
解法二：
根据表格中的数据，抛物线的对称性，观察抛物线的对称轴是
③选项正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），①选项正确；
∵抛物线过（0，6）、（1，6）两点，∴函数
的最大值不可能为6，②选项错误；
观察表格知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，④选项正确。
故正确的是①③④。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动2
提升型例题
例4将抛物线y=ax?+bx+c向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线y＝x?+2x+3，求a，b，c的值。
【解题过程】
解：∵y＝x?+2x+3=（x+1）?+2，
∴把抛物线y＝（x+1）?+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到抛物线y＝（x+4）?+4，
∴ax?+bx+c＝（x+4）?+4=x?+8x+20，
∴a＝1，b＝8，c＝20。
【思路点拨】此题应用了逆向思维。由抛物线y=ax?+bx+c变到抛物线y＝x?+2x+3，不易求a，b，c的值；但反过来由抛物线y＝x?+2x+3平移成抛物线y=ax?+bx+c就可轻松求解。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动2
提升型例题
练习：将抛物线
向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为
【思路点拨】先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用
活动3
探究型例题
例5如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C。
（1）求m的值；
【解题过程】
解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得－32+2×3+m=0。
解得，m=3。
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问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动3
（2）求点B的坐标；
解：（2）二次函数解析式为y=－x2+2x+3，令y=0，得－x2+2x+3=0。
解得x=3或x=－1。
∴点B的坐标为（－1，0）。
探究型例题
例5如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C。
【解题过程】
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动3
【思路点拨】解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，底相同且面积相等的两个三角形高相等。
探究型例题
例5如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C。
【解题过程】
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使
求点D的坐标。
解：（3）∵
点D在第一象限，
∴点C、D关于二次函数对称轴对称。
∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（2，3）。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动3
探究型例题
练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用
表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称。
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
【解题过程】
解：（1）
因此钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动3
【解题过程】
解：（2）
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？
探究型例题
练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状。按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用
表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：二次函数的图象及性质的应用。
活动3
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？
【思路点拨】
（1）将二次函数解析式配方，求得顶点坐标，从而获得钢缆的最低点到桥面的距离；
（2）由左右两条抛物线关于y轴对称，得出另一条抛物线解析式，可知它们的顶点坐标，从而求得两条钢缆最低点之间的距离。
探究型例题
练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用
表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称。
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
归纳二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与性质：
a＞0
（1）当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸.
（2）对称轴是直线
顶点坐标为
（3）在对称轴的左侧，即相当于
时，
y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧，即相当于
时，
y随x的增大而增大；
简记为“左减右增”。
（4）抛物线有最低点，当
时，y有最小值，y最小值=
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
归纳二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与性质：
a<0
（1）当a<0时，抛物线开口向下，并且向下无限延伸。
（2）对称轴是直线
顶点坐标为
（3）在对称轴的左侧，即相当于
时，
y随x的增大而增大；
在对称轴的右侧，即相当于
时，
y随x的增大而减小；
简记为“左增右减”。
（4）抛物线有最高点，当
时，y有最大值，y最大值=
重难点归纳
知识回顾
问题探究
课堂小结
1.在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征。
2.抛物线y=ax2+bx+c是以直线为
对称轴的轴对称图形，有以下性质：
（1）抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。
（2）如果抛物线交x轴于两点，那么这两点一定关于对称轴对称。
（3）若设抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标为x1，x2，则抛物线的对称轴是直线
重难点归纳
知识回顾
问题探究
课堂小结
3.直接运用公式确定对称轴和顶点坐标时，不能忽视a，b，c的值的符号。
4.一般式的二次函数图象的平移法：对于一般式的图象平移，是先将一般式化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”规则来求解。
特别提醒：对于一般式的图象平移，一般式也可以不化成顶点式，只要熟记左加右减在所有的x上加减，上加下减在函数表达式的末尾加减即可。
重难点归纳
知识回顾
问题探究
课堂小结
5.二次函数
的最大值和最小值可以通过以下几种方法来解：
（1）配方法：
重难点归纳
知识回顾
问题探究
课堂小结
（2）公式法：
（3）图象法：
作出二次函数的图象，通过图象可以直观地观察到图象的最高点和最低点，此时的函数值为函数的最大值和最小值。
注意：通过二次函数的最值解答实际问题时，要注意自变量x的取值范围，要考虑实际问题的需要，有时
的函数值不在函数的取值范围内。
5.二次函数
的最大值和最小值可以通过以下几种方法来解：
二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
第二课时
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）二次函数表达式常见的三种形式是：
一般式：
y=ax?+bx+c
顶点式：
交点式：
（2）抛物线
的顶点坐标是：
（h，k）
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究一：利用一般式求二次函数解析式。
回顾旧知，引出新知。
重点、难点知识★▲
问题1：一次函数y=kx+b（k≠0）有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
2个
问题2：求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
待定系数法：（1）设：（表达式）；（2）代：（坐标代入）；（3）解：方程（组）；（4）还原：（写解析式）
问题3：二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
3个
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究一：利用一般式求二次函数解析式。
重点、难点知识★▲
已知二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式。
解析：设一般式y＝ax2＋bx＋c，再把已知三点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可。
解：设这个二次函数的表达式是y＝ax2＋bx＋c，
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y＝ax2＋bx＋c得
解得
∴所求的二次函数的表达式是y＝-x2-4x-3。
问题：已知抛物线上三个点如何确定二次函数解析式？
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究一：利用一般式求二次函数解析式。
重点、难点知识★▲
一般式法求二次函数解析式的方法：
这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法。
其步骤是：
①设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式。
若题目给出了二次函数图象上三个点的坐标，则可采用一般式求解。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动
探究二：利用顶点式求二次函数解析式。
重点、难点知识★▲
问题：已知顶点坐标及图象上另一点坐标，能否求出二次函数解析式？如何进行？
已知抛物线的顶点坐标为M（1，－2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式。
解析：因为抛物线的顶点坐标为M（1，－2），所以设此二次函数的解析式为y＝a（x－1）2－2，把点N（2，3）代入解析式解答。
解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，－2），
设此二次函数的解析式为y＝a（x－1）2－2，
把点N（2，3）代入解析式，得a－2＝3，即a＝5，
∴此函数的解析式为y＝5（x－1）2－2。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动
探究二：利用顶点式求二次函数解析式。
重点、难点知识★▲
顶点式法求二次函数解析式的方法：
这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法。
①设函数解析式是y=a（x-h）2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式。
若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动
探究三：利用交点式求二次函数解析式。
重点、难点知识★▲
问题：已知抛物线与x轴两交点坐标或一交点坐标和对称轴如何确定二次函数解析式？
已知抛物线经过两点A（1，0），B（0，－3），且对称轴是直线x＝2，求此二次函数的解析式。
解析：可设交点式y＝a（x－1）（x－3），然后把B点坐标代入求出a即可；
解：∵对称轴是直线x＝2，
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0）。
设抛物线解析式为y＝a（x－1）（x－3），
把B（0，－3）代入得a（－1）×（－3）＝－3，解得a＝－1，
∴抛物线解析式为y＝－（x－1）（x－3）＝－x2＋4x－3。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动
探究三：利用交点式求二次函数解析式。
重点、难点知识★▲
交点式法求二次函数解析式的步骤：
这种知道抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做交点式法。
①设函数解析式是
②先把两交点的横坐标x1，x2代入到解析式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式。
已知抛物线与x轴两交点或一交点和对称轴，则采用交点式求解简单。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
基础型例题
例1已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式。
【解题过程】
解：因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1，所以c=1。
设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋1，
将点（2，5）和（-2，13）代入y＝ax2＋bx＋1，得
解得
所以所求二次函数的表达式为y＝2x2-2x＋1。
【思路点拨】已知二次函数图象经过任意三点，可直接设表达式为一般式，代入可得三元一次方程组，解之即可求出待定系数。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
练习：已知二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3），求函数的表达式和对称轴。
【解题过程】
解：设函数表达式为y=ax2+bx+c，
因为二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3），则有
解得
∴函数的表达式为y=x2-2x-3，其对称轴为直线x=1。
基础型例题
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
例2.已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3），求这个二次函数的表达式。
【解题过程】
解：已知顶点坐标设顶点式y=a（x-h）2+k，
∵顶点是（1，2），
∴设y=a（x-1）2+2，
又过点（2，3），
∴a（2-1）2+2=3，
∴a=1
∴y=（x-1）2+2，
即y=x2-2x+3。
【思路点拨】此题只告诉了两个点的坐标，但其中一点为顶点坐标，所以表达式可设顶点式：y=a（x-h）2+k，即可得到一个关于字母a的一元一次方程，再把另一点代入即可求出待定系数。在设表达式时注意h的符号。
基础型例题
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活动1
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
【解题过程】
练习：已知一个二次函数的图象的顶点是（-1，2），且过点（0，
），求这个二次函数的表达式及与x轴交点的坐标。
解：已知顶点坐标设顶点式y=a（x-h）2+k，
∵顶点是（-1，2）
∴设y=a（x+1）2+2，
又过点（0，），
令y=0，
解得
∴与x轴交点坐标为（-3，0）、（1，0）。
基础型例题
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活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
提升型例题
例3：已知抛物线经过三点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式。
【解题过程】
解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点。
所以可设这个二次函数的表达式是
（其中x1，x2为交点的横坐标）
因此得y=a（x+3）（x+1）。
再把点（0，-3）代入上式得
∴a（0+3）（0+1）=-3，解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=-（x+3）（x+1），
即y＝-x2-4x-3。
【思路点拨】因为已知点为抛物线与x轴的交点，表达式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程组简单，而顶点可根据顶点公式求出。
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活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
练习：已知一抛物线经过三点A（-2，0）、B（1，0）、C（2，8）。试求该抛物线的表达式及顶点坐标。
【解题过程】
解：∵A（-2，0）、B（1，0）是抛物线与x轴两交点，
∴设表达式为y=a（x+2）（x-1），
把C（2，8）代入上式，
则有a（2+2）（2-1）=8，∴a=2。
∴此函数的表达式为y=2x2+2x-4。
提升型例题
其顶点坐标为
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活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC。
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式。
【解题过程】
解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
点B的坐标为（4，0），∴OC=AB=5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+5，
把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：
所以这个二次函数的解析式为：
提升型例题
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活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
【思路点拨】（1）根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；
（2）二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这个二次函数解析式。
提升型例题
例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC。
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式。
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活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
练习：已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C。
【解题过程】
解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6，
得0=9+3b+6，解得b=﹣5，
所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
提升型例题
（1）求抛物线的表达式；
（2）求
的面积。
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活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
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探究型例题
例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？
【解题过程】
解法1：
∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1，∴c=1。
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1，
将点（1，2）和（2，1）分别代入y=ax2+bx+1，得
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1。
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活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
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由A（0，1），B（1，2），C（2，1）三个点的特征以及二次函数图象的对称性，可得点B（1，2）是函数图象的顶点坐标。
∴二次函数的表达式为y=a（x-1）2+2，
将点（0，1）代入y=a（x-1）2+2，
得a=-1。
∴二次函数的表达式为y=-（x-1）2+2，
即y=-x2+2x+1。
探究型例题
例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？
【解题过程】
解法2：
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活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
将点（0，1），（1，2）和（2，1）分别代入y=ax2+bx+c，得
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1。
【思路点拨】分别找出用三种方法求解析式的条件，分别求解。
探究型例题
例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？
【解题过程】
解法3：
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活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
练习：如图所示，这是一名学生推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的图象，请求出其表达式。
【解题过程】
解：∵（4，3）是抛物线的顶点坐标，
∴设二次函数表达式为y=a（x-4）2+3，
把点（10，0）代入y=a（x-4）2+3，解得
因此铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为
【思路点拨】观察图象知，已知抛物线的顶点和另一点坐标，用顶点式求解。
探究型例题
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活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
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例6：如图，已知二次函数
的图象经过点A和点B。
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
【解题过程】
解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入
得
解得
∴二次函数的表达式为
（2）对称轴为x=2；顶点坐标为（2，-10）。
探究型例题
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活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离。
（3）将（m，m）代入得
解得
∵m＞0
∴
不合题意，舍去，
∴m=6。
∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，
∴点Q到x轴的距离为6。
探究型例题
例6：如图，已知二次函数
的图象经过点A和点B。
【解题过程】
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离。
【思路点拨】
（1）用待定系数法求解析式；
（2）用对称轴方程和顶点坐标公式写出，也可用配方法写出；
（3）先将P（m，m）代入抛物线解析式求出m值，再求Q点坐标。
探究型例题
例6：如图，已知二次函数
的图象经过点A和点B。
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活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
【解题过程】
解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴将A与B坐标代入得：
解得：
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
探究型例题
知识回顾
问题探究
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活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长。
（2）点D为抛物线顶点，得D（1，4），
∵对称轴与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，∴BE=2，
探究型例题
练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
【解题过程】
在Rt
中，根据勾股定理得：
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。
重点、难点知识★▲
探究型例题
练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长。
【思路点拨】
（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而确定出E点坐标，得到DE与OE的长，根据B点
坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的长。
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）待定系数法求解析式的一般步骤：
①设：（表达式）；②代：（坐标代入）；③解：方程（组）；④还原：（写解析式）
（2）待定系数法求二次函数解析式的一般方法：
已知条件
所选方法
已知三点坐标
用一般式法：
已知顶点坐标或对称轴或最值
用顶点法：
已知抛物线与x轴的两个交点
用交点法：
（其中x1，x2为交点的横坐标）
重难点归纳
知识回顾
问题探究
课堂小结
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解。
一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；
当已知抛物线的顶点或对称轴或最大（小）值，常设其解析式为顶点式来求解；
当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解。
谢
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