人教版数学九年级上册：22.3《实际问题与二次函数》 课件（共33张）

实际问题与二次函数
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（1）营销问题的基本等量关系：
利润=每件利润×销售量
每件利润=每件售价﹣每件进价。
（2）抛物线 的最值问题：
①若a>0，则当x= 时，y最小值= 。
②若a<0，则当x= 时，y最大值= 。
活动1
重点、难点知识★▲
探究一： 销售问题中的利润最大问题
回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式。
成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；
销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的数量关系是什么？
利润=每件利润×销售量
每件利润=每件售价﹣每件进价。
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活动2
重点、难点知识★▲
探究一： 销售问题中的利润最大问题
整合旧知，探究利润最大问题。
例1.小红的爸爸出售一批衬衣，这批衬衣现在的售价是60元每件，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
1.问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？
2.如果你是老板，你会怎样定价？
思考
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活动2
重点、难点知识★▲
探究一： 销售问题中的利润最大问题
（1）若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为______元，每件利润为_________元，每星期少卖_____件，实际卖出__________件。所以利润___________________________；
（2）若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为______元，每件利润为__________元，每星期多卖______件，实际卖出____________件。所以利润_______________________________；
（3）何时有最大利润，最大利润为多少元？
整合旧知，探究利润最大问题。
60+x

60+x-40
10x
300-10x
60-x
60-x-40
20x
300+20x
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活动2
重点、难点知识★▲
探究一： 销售问题中的利润最大问题
例1.小红的爸爸出售一批衬衣，这批衬衣现在的售价是60元每件，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
整合旧知，探究利润最大问题。
解：涨价时：
当x=5时，取得最大值为6250元。
降价时：
当x=2.5时，取得最大值为6125元。
得出结论，当涨价5元时，取得的最大值为6250元。
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活动2
重点、难点知识★▲
探究一： 销售问题中的利润最大问题
练习：小红的爸爸是个服装店老板，将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售（200－x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A.150元 B.160元 C.170元 D.180元
整合旧知，探究利润最大问题
【解题过程】最大利润y=（x－100） （200－x）=-（x-150）2+2500， 当x=150时，取得最大值。
A
【思路点拨】列出最大利润的关系式是本题关键。
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活动3
重点、难点知识★▲
探究一： 销售问题中的利润最大问题
探究复杂问题中的利润最大问题
例2.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围。
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解：y=（210-10x）（50+x-40）
=-10x2+110x+2100（0【思路点拨】
根据利润=每件利润×销售量，列出表达式即可，注意自变量范围；
活动3
重点、难点知识★▲
探究一： 销售问题中的利润最大问题
探究复杂问题中的利润最大问题
例2.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。
（2）每件商品的售价定为多少元时，所获月利润最大，最大月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，月利润恰好是2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，月利润不低于2200元？
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【思路点拨】（2）求二次函数最值即可，注意自变量取整数；（3）列方程求解。
活动3
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探究一： 销售问题中的利润最大问题
探究复杂问题中的利润最大问题
解：y=-10（x-5.5）2+2402.5，
∵a=-10<0，
∴当x=5.5时，y有最大值2402.5，
∵0当x=5时，50+x=55，y=2400（元），
当x=6时，50+x=56，y=2400（元），
∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
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（2）每件商品的售价定为多少元时，所获月利润最大，最大月利润是多少元？
活动3
重点、难点知识★▲
探究一： 销售问题中的利润最大问题
探究复杂问题中的利润最大问题
解：当y=2200时，-10x2+110x+2100=2200，
解得x1=1，x2=10，
∴当x=1时，50+x=51； 当x=10时，50+x=60，
∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润为2200元，
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元。
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（3）每件商品的售价定为多少元时，月利润恰好是2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，月利润不低于2200元？
活动3
重点、难点知识★▲
探究一： 销售问题中的利润最大问题
探究复杂问题中的利润最大问题
练习：将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件。为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为 元，每日的销售量为 件，每日的利润y＝ ，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为______元。
【思路点拨】能用未知数表示清楚销售问题中的各种关系。
（30-x）
（20+x）
（20+x）（ 30-x）
625
5
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活动1
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
基础性例题
例1.某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7。5吨，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）王强说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。
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探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
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解：（1）
（3）
此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元。
（2）
化简，得
（4）我认为，王强说得不对。
理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额为：
当x为160元时，月销售额W最大，
∴当x为210元时，月销售额W不是最大。∴王强说得不对。
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
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【思路点拨】列出最大利润的关系式是本题的关键。
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
练习：某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件。 为了促俏，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件。 已知该款童装每件成本价40元。 设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件。
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
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探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
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课堂小结
解：（1）y=300+30（60-x）=-30x+2100。
（2）设每星期的销售利润为W元，依题意，得
W=（x-40）（-30x+2100）=-30x2+3300x-84000
= -30（x-55）2+6750。
∵a= -30＜0，
∴x=55时，W最大值=6750（元）。
即每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元。
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
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课堂小结
（3）由题意，得：- 30（x-55）2+6750=6480。
解这个方程，得 x1=52，x2=58。
∵抛物线W= - 30（x-55）2+6750的开口向下，
∴当52≤x≤58时，每星期销售利润不低于6480元。
∴在y=- 30x+2100中，k=-30＜0，y随x的增大而减小。
∴当x=58时，y最小值= - 30×58+2100=360。
即每星期至少要销售该款童装360件。
活动2
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
提升型例题
例2.某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨1元，则每个月少卖2件。设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，所获月利润最大，最大月利润是多少元？
（3）当售价的范围是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？
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探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
解：（1）由题意解得：y= [100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）
=﹣2x2+300x﹣8800（60≤x≤110且x为正整数）；
（2）y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有最大值为2450元；
（3）当y=2250时，﹣2（x﹣75）2+2450=2250，
解得x1=65，x2=85，
∵a=﹣2＜0，开口向下，当y≥2250时，65≤x≤85。
∵每件商品的利润率不超过80%，即 < 80%，
∴x≤72，故65≤x≤72。
答：当售价x的范围是65≤x≤72时，每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元。
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问题探究
课堂小结
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
练习：东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为
且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如下表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 时间t（天）
1
3
6
10
20
30
…
日销售量y（kg）
118
114
108
100
80
40
…
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课堂小结
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
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课堂小结
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
解：依题意，设y=kt+b，
将（10，100），（20，80）代入y=kt+b，
解得：
∴日销售量y（kg）与时间t（天）的关系 y=120-2t。
当t=30时，y=120-60=60。
∴在第30天的日销售量为60千克。
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
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（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
解：设日销售利润为W元，则W=（p-20）y。
当1≤t≤24时，W
当t=10时，W最大=1250。
当25≤t≤48时，W
由二次函数的图象及性质知：
当t=25时，W最大=1085。
∵1250＞1085，
∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元。
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
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（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象。现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围。
解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元。
由题意得m=
∵前24天，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴2n+10=24，∴n=7。
又∵n<9，
∴n的取值范围为7=n<9。
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
【思路点拨】（1）根据日销售量y（kg）与时间t（天）的关系表，设y=kt+b，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将t=30代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量。
（2）日销售利润=日销售量×（销售单价－成本）；分1≤t≤24和25≤t≤48两种情况，按照题目中所给出的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式分别得出销售利润的关系式，再运用二次函数的图象及性质即可得出结果。
（3）根据题意列出日销售利润函数，根据日销售利润随t的增大而增大，得n与t的关系，即可得出n的取值范围。
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活动3
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
例3.一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系。
（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}销售单价x（元/kg）
120
130
…
180
每天销量y（kg）
100
95
…
70
探究型例题
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探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
解：（1）y＝－0.5x＋160（120≤x≤180）
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（2）设销售利润为W元，则
W＝（x－80）（－0.5x＋160）＝ ，
∵a＝ －<0，
∴当x<200时，y随x的增大而增大，
∴当x＝180时， ＝7000，
则当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元。
【思路点拨】先列出销售利润的关系式，用关系式求最值；设销售利润为W元，则W＝（x－80）（－0.5x＋160）
结合二次函数图象和自变量取值范围，可确定x=180时，利润最大。
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
练习：某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB——BC——CD所示（不包括端点A）。
（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式。
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
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探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
解：（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，则
∴y与x之间的函数关系式为：y=-0.02x+8；
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解得：
【思路点拨】（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；
探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤100时，W=（6-2）x=4x，
当x=100时，W有最大值400元，
当100＜x≤200时，
W=（y-2）x =（-0.02x+6）x=-0.02（x-150）2+450，
∵当x=150时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元。
知识回顾
问题探究
课堂小结
【思路点拨】（2）当0＜x≤100时和100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可。
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
（2）利润=每件利润×销售量，
每件利润=每件售价﹣每件进价。
（3）建立函数关系，用函数的观点、思想分析解决实际问题。
（1）抛物线 的最值问题：
①若a>0，则当x= 时，y最小值= 。
②若a<0，则当x= 时，y最大值= 。
重难点突破
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）根据题意列出实际问题中变量之间的二次函数关系；
（2）运用二次函数的知识求出实际问题中的最值，有的是要在区间求最值；
（3）建立函数关系，用函数的观点、思想分析解决实际问题。
谢 谢