人教版数学九年级上册：22.2《二次函数与一元二次方程》 课件（共29张）

二次函数与一元二次方程
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）二次函数的定义：形如
的函数，叫做二次函数。
（2）二次函数的图象和性质：二次函数
的图象是一条抛物线，
a>0时，当
时，y随着x的增大而减小，当
时，y随着x的增大而增大；
a<0时，当
时，y随着x的增大而增大，当
时，y随着x的增大而减小。
知识回顾
问题探究
课堂小结
（3）一元二次方程的一般形式：
（a、b、c为常数，a≠0）。
（4）一元二次方程
的根的情况的判定：
用根的判别式：
①当
＞0时，方程
有两个不相等的实数根；
②当
=0时，方程
有两个相等的实数根；
③当
<0时，方程
没有实数根。
活动1
重点、难点知识★▲
探究一：二次函数与一元二次方程之间的联系
通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系
问题1如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
思考1
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问题探究
课堂小结
解得
所以当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度是15m。
活动1
重点、难点知识★▲
探究一：二次函数与一元二次方程之间的联系
通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系。
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思考2
（1）结合图象指出为什么在两个时间小球的高度为15m。
（2）结合图象指出为什么只在一个时间小球的高度为20m，为什么不能达到20.5m。
二次函数与一元二次方程联系密切。
活动1
重点、难点知识★▲
探究一：二次函数与一元二次方程之间的联系
通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系
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问题探究
课堂小结
例如：二次函数
：
已知
的值为3，
求自变量x的值。
可以看作解一元二次方程
（即
）；
反过来，解方程
可看作已知二次函数
的值为0，求自变量x的值。
从图象上看，
（1）抛物线
与直线y=3有两个交点，交点的横坐标分别是1，3。
（2）抛物线
与x轴有两个交点，交点的横坐标分别是1，3。
活动1
重点、难点知识★▲
探究一：二次函数与一元二次方程之间的联系
通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系。
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问题探究
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（1）二次函数
，
，
的图象如下图所示，每个图象与x轴有几个交点？
问题2
（2）一元二次方程
有几个实数根？用判别式验证一下。
一元二次方程
有实数根吗？
活动1
重点、难点知识★▲
探究一：二次函数与一元二次方程之间的联系
通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系。
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问题探究
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（3）二次函数
的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程
的根有什么关系？
总结：一般地，从二次函数
的图象可得如下结论：
抛物线
与x轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点。
这对应着一元二次方程
的根的三种情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根。反之亦然。
如果抛物线
与x轴有交点，交点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，
即x=x0是一元二次方程
的一个根。
活动1
探究二：
利用二次函数的图象求一元二次方程的根
通过例子，解决问题。
利用函数图象求方程
的实数根（结果保留小数点后一位）。
解：画出函数
，它与x轴的公共点的横坐标大约是
-0.7、2.7，所以
方程实数根为x1≈-0.7、x2≈2.7。
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问题探究
课堂小结
活动1
探究二：
利用二次函数的图象求一元二次方程的根
通过例子，解决问题。
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问题探究
课堂小结
可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围。
x2≈2.7
2<3
根所在的范围越来越小，根所在的范围的两端的值就越来越接近根的值，因而当达到所要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值时就可以作为根的近似值。
活动1
探究二：
利用二次函数的图象求一元二次方程的根
通过例子，解决问题。
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问题探究
课堂小结
【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤：
画出函数的图象（可用计算机画）；
根据图象确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围。（可以利用计算器计算）；
确定方程的近似根。
活动1
探究三：
例题讲解
学以致用
基础性例题
例1.抢答：判断下列抛物线与x轴的交点个数。
（1）
；（2）
；（3）
。
【解题过程】
【思路点拨】找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值，即可做出判断。
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问题探究
课堂小结
解：（1）∵a=2，b=4，c=2，
∴Δ=16﹣16=0，则抛物线与x轴有一个交点。
（3）∵a=3，b=﹣2，c=﹣4，
∴
Δ
=4+48=52＞0，则抛物线与x轴有两个交点。
（2）∵a=6，b=2，c=1，
∴Δ=4﹣24=﹣20＜0，则抛物线与x轴没有交点。
探究三：
例题讲解
学以致用
练习：二次函数
的图象与x轴交于A、B两点，则线段AB长为　
　。
解：∵令x2+3x﹣40=0，
则x1=5，x2=﹣8，
∴A（5，0），B（﹣8，0），
∴AB=5+8=13。
13
【思路点拨】令y=0，解关于x的一元二次方程，求出抛物线与x轴的交点坐标，进而求出线段的长。
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问题探究
课堂小结
【解题过程】
探究三：
例题讲解
学以致用
例2.（1）已知二次函数
的图象和x轴有交点，则k的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】找出对应的a，b，c的值，根据k≠0且根的判别式的值大于或者等于0，即可求出。
解：∵二次函数
的图象和x轴有交点
∴
∴
。
故选B
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课堂小结
B
【解题过程】
探究三：
例题讲解
学以致用
例2.（2）若二次函数
的图象全在x轴的下方，则m的取值范围为
。
【思路点拨】数形结合，二次函数
的图象全部在x轴的下方，说明抛物线
与x轴没有交点。
知识回顾
问题探究
课堂小结
解：∵二次函数
的图象全部在x轴的下方，
∴
Δ＜0，
∴32﹣4×（﹣1）·m＜0，
解得
【解题过程】
探究三：
例题讲解
学以致用
练习：抛物线
的图象全部在x轴的上方，则b的取值范围为　
　。
解：∵抛物线全部在x轴上方，
∴Δ＜0，即Δ
=1﹣4b＜0，
∴
【思路点拨】数形结合，二次函数
的图象全部在x轴的上方，说明抛物线
与x轴没有交点。
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问题探究
课堂小结
【解题过程】
探究三：
例题讲解
学以致用
提升型例题
活动2
例3.下表是一组二次函数
的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程
的一个近似根是（　　）
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
C
【思路点拨】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可。
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问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：
例题讲解
学以致用
练面直角坐标系中，抛物线
的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴。若一元二次方程
的一个根x1的取值范围是2　。
解：由图象可知x=2时，y<0；x=3时，y>0。
由于直线x=1是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知：x=0时，y<0；x=-1时，y>0。所以另一个根x2的取值范围为-1【思路点拨】抛物线与x轴的两个交点是关于抛物线的对称轴对称的。
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问题探究
课堂小结
随堂检测
-1【解题过程】
例4.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D。
（1）填空：点A的坐标为（　
，　），
点B的坐标为（　
，
），
点C的坐标为（　
，
），
点D的坐标为（　
，
）。
探究三：
例题讲解
学以致用
探究型例题
活动3
知识回顾
问题探究
课堂小结
2
0
-
3
0
1
0
-
1
令y=0，则
解得x1=﹣3，x2=1。
由
，
可知
探究三：
例题讲解
学以致用
探究型例题
活动3
例4.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D。
（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，
若PE=PC，求点E的坐标；
②在①的条件下，点F是坐标轴上的
点，且点F到EA和ED的距离相等，
请直接写出线段EF的长；
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：
例题讲解
学以致用
（2）①设P（n，0），则
∵PE=PC，∴
解得
（舍去），
∴当
时，
∴
知识回顾
问题探究
课堂小结
②如图2，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K。
【解题过程】
探究三：
例题讲解
学以致用
根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为
，根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为
。
∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，
∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，
根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，
知识回顾
问题探究
课堂小结
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：
例题讲解
学以致用
练习如图，抛物线
过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H。
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积。
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，
当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标。
解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入
得：
解得
所以抛物线解析式为
【解题过程】
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：
例题讲解
学以致用
（2）当y=3时，
，解得x1=1，x2=3。
则C点坐标为（3，3），
所以△ABC的面积
（3）作PQ⊥BH，如图，设
∵S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP，
∴
整理得
解得m1=0（舍去），m2=5，
∴P点坐标为（5，﹣5）。
知识梳理
（1）填表：二次函数
与一元二次方程
的关系：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}判别
函数
的图象
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
抛物线与x轴
的交点情况
有两个交点
有一个交点
无交点
知识回顾
问题探究
课堂小结
知识梳理
（3）利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤：
①画出函数的图象（可用计算机画）；
②根据图象确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；
③可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围。
（可以利用计算器计算）。
④确定方程的近似根。
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问题探究
课堂小结
（2）一般地：已知二次函数
的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程
。
反之，解一元二次方程
又可以看作已知二次函数
的值为m的自变量x的值。
重难点突破
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）二次三项式
恒正
抛物线
全在x轴上方，且a>0
<0。
（2）二次三项式
恒负
抛物线
全在x轴下方，且a<0
<0。
1.注意抛物线与x轴的交点与抛物线的对称轴之间的关系：
当已知方程
两个根为x1，x2时，抛物线
的对称轴为
。
2.注意四个“二次”之间的区别与联系，即二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次三项式；利用他们之间的转化解决问题。
重难点突破
知识回顾
问题探究
课堂小结
4.抛物线与直线的交点：
一次函数
的图象与二次函数
的图象的个数由方程组
解的个数确定。（判断两个函数图象有几个交点还可以通过画图象解决，求交点即联立方程求解）。
3.利用二次函数图象求不等式解集的方法：
“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y>0，y<0或y≥0，y≤0”，从图象看是指曲线在x轴上方或x轴下方时的x值（对应的自变量x的取值范围）。
谢
谢