人教版数学九年级上册 21.2.3 因式分解法 课件（共24张PPT）

因式分解法
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（1）因式分解的方法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
公式法：
提公因式法：
利用平方差公式 和
完全平方公式 分解因式。
十字相乘法：
简单来讲就是，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实就是运用乘法公式（x+a）（x+b）=x?+（a+b）x+ab的逆运算来进行因式分解。
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（2）解一元二次方程的方法：
直接开方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如 的方程，
其解为
配方法：
把一元二次方程移项之后，在等号两边都加上一次项系数绝对值一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解；
公式法：
把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式Δ=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式x= （b2-4ac≥0）就可得到方程的根。
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活动1
探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤
以旧引新
将下列各式分解因式
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活动2
探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤
大胆猜想，探究新知
引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖：
设这个数为x，由题意得：
配方:
即：
∴
解得，
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活动2
探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤
小明：
设这个数为x，由题意得：
解得，
移项，得
由求根公式，得
大胆猜想，探究新知
引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
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活动2
探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤
小亮：
设这个数为x，由题意得：
解得，
移项，得
分解因式，得
∴ x=0或x-3=0，
大胆猜想，探究新知
引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
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活动2
探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤
归纳：
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用第三种方法求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
例：解方程5x2＝4x
解：原方程可变形x（5x-4）＝0
∴x＝0或5x-4＝0
∴x1=0，x2=
大胆猜想，探究新知
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活动3
探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤
集思广益，归纳方法
用分解因式法解方程：x-2＝x（x-2）
解：原方程可变形为x-2-x（x-2）＝0
∴x1＝2，x2＝1。
（x-2）（1-x）＝0
∴x-2＝0或1-x＝0
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0。
（2）将方程的左边进行因式分解。
（3）令每个因式为0，得两个一元一次方程。
（4）解一元一次方程，得方程式的解。
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活动1
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程
例1：用因式分解法解下列方程：（x+2）2﹣9=0
【解题过程】
解：分解因式，得
（x+2+3）（x+2﹣3）=0，
∴x+5=0或x﹣1=0
∴x1=﹣5，x2=1。
【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论。
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活动1
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
练习1：用因式分解法解下列方程：2（x-3）2﹣50=0。
【解题过程】
解：分解因式，得
2（x-3+5）（x﹣3-5）=0，
∴x-3+5=0 或 x-3﹣5=0
∴x1=﹣2，x2=8。
【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论。
用因式分解法解一元二次方程
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活动1
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
例2：用因式分解法解下列方程：x2﹣6x+9=0。
【解题过程】
解：由公式法，得
（x﹣3）2=0，
∴x﹣3=0，
∴x1=x2=3。
【思路点拨】直接由完全平方公式求解即可。
用因式分解法解一元二次方程
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活动1
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
练习2：用因式分解法解下列方程：（x+5）（x﹣1）=-9。
【解题过程】
解：变形为：x2+4x﹣5=-9，
移项得： x2+4x+4=0，
∴（x+2）2=0，
∴x+2=0，
∴x1=x2=-2。
【思路点拨】先展开，再移项，转化为一般形式后直接由完全平方公式求解即可。
用因式分解法解一元二次方程
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活动2
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
用适当方法解下列方程
例3：解一元二次方程x2﹣2x=99。
【解题过程】
解：x2﹣2x=99，
x2﹣2x﹣99=0，
（x﹣11）（x+9）=0，
x﹣11=0，x+9=0，
x1=11，x2=﹣9。
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问题探究
课堂小结
活动2
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
【解题过程】
练习3：解一元二次方程x2+8x=﹣16。
解：x2+8x=﹣16，
x2+8x+16=0，
（x+4）2=0，
x+4=0，
x=﹣4，
即x1=x2=﹣4。
用适当方法解下列方程
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问题探究
课堂小结
活动2
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
【解题过程】
例4：解一元二次方程（2x﹣3）2=3（2x﹣3）。
解：移项，得
（2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）=0
提公因式，得
（2x﹣3）（2x﹣3﹣3）=0，
∴2x﹣3=0或2x﹣6=0
【思路点拨】先移项，再提公因式就可以求出结论。
用适当方法解下列方程
∴x1= ，x2=3。
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问题探究
课堂小结
活动2
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
【解题过程】
练习4：解一元二次方程5x（x+2）=4x+8。
解：5x（x+2）=4x+8
5x（x+2）﹣4（x+2）=0，
（x+2）（5x﹣4）=0，
x+2=0，5x﹣4=0，
x1=﹣2，x2=
用适当方法解下列方程
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活动3
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
综合应用
例5：若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0。则x2+y2的值为（　　）
A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2或﹣1
【解题过程】
解：∵（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，
∴x2+y2+2=0或x2+y2﹣2=0，
∴x2+y2=﹣2（舍去）或x2+y2=2，
∴x2+y2的值为2。
【思路点拨】由（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，就可以得出x2+y2+2=0或x2+y2﹣2=0。直接求出x2+y2的值即可。
B
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活动3
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
练习5：已知方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0有解，则代数式x2﹣x+1的值为（　　）
A．﹣1 B．7 C．﹣1或7 D．以上全不正确
【解题过程】
解：
∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6。
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解。
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7。
【思路点拨】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论。
综合应用
B
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课堂小结
活动3
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
例6：已知x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0且x≠0），则 的值为（ ）
A．6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．﹣1或6
【解题过程】
解：x2﹣5xy﹣6y2=0
（x﹣6y）（x+y）=0
x﹣6y=0，x+y=0
x=6y，x=﹣y
所以 的值为6或﹣1。
【思路点拨】把x看作未知数，y看作常数，解出关于x的一元二次方程，再进一步代入求得数值即可。
D
综合应用
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
探究二：利用因式分解法解一元二次方程
【解题过程】
解： 2x2﹣5xy﹣12y2=0，
（2x+3y）（x-4y）=0，
2x+3y=0，x-4y=0，
综合应用
练习6：若非零数x、y满足2x2﹣5xy﹣12y2=0，则
的值为 。
x=4y
当 时，
当x=4y时，
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）化方程为一般形式；
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解。
重难点归纳
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）分解因式法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零。”
（2）分解因式的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程。
（3）在解一元二次方程的时候，但要具体情况具体分析，选择合适的解一元二次方程的方法。
谢 谢