人教版数学九年级上册：21.3《实际问题与一元二次方程》 课件（第一课时 共77张）

实际问题与一元二次方程
第一课时
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）列方程解应用题的一般步骤：审，设，找，列，解，检验，答。
（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解。
（3）现有量－原有量=增长量，
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
重点知识★
探究一：倍数问题
疾病传染问题
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
设：每轮传染中一个人传染了x个人。
1.开始有一个人患了流感，那么第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮传染后共有________个人患了流感；
2.第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有______________________个人患有流感。
3.等量关系是：____________________
（x+1）
[1+x+x（1+x）]
患病总人数=121人
1+x+x（1+x）=121
原有感染人数+新增感染人数=总感染人数
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
重点知识★
探究一：倍数问题
写信问题
一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有42条消息，问：这个微信群里共有多少人？
1.设有x个好友，每人发 条消息；
2.则发消息共有 条。
3.等量关系是：___________________。
解得x1=7，x2=－6（不合题意，舍去）
答：微信群里共7个人。
（x－1）
x（x－1）
共有42条消息
x（x－1）=42
人数×每人写信数=总数
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
重点知识★
探究二：数字问题
奇偶数相关问题
两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数。
1.设较小的奇数为____，则较大的奇数为 ；
2.等量关系是：_________________________________。
解：设这两个连续奇数为x，x+2，根据题意得x2+（x+2）2=130。
解得：x1=－9（不合题意，舍去），x2=7。
答：两个连续奇数为7，9。
两个连续奇数的平方和为130
x
x+2
1.设个位数字为x，则十位数字为_________。
2.等量关系是：_______________________________。
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问题探究
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活动2
重点知识★
探究二：数字问题
多位数相关问题
已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数。
12－x
个位数字与十位数字之积为32
解：设个位数字为x，则十位数字为12－x，由题意得x（12－x）=32。
解得x1=8，x2=4。
答：48或84。
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问题探究
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活动1
重点、难点知识★▲
探究三：增长率问题
增长问题
某校办工厂今年元月份生产桌椅1000套，2月份因春节放假，减产10%，3月份，4月份产量逐月上升，4月份产量达到1296套，求3，4月份的平均增长率。
1.设3，4月平均增长率为x，则2月份产量是_____________；三月份的产量是 ；四月份的产量是 。
2.等量关系是：_______________________。
解： 设三、四月份产量的平均增长率是x。根据题意得
。
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）
答：平均增长率是20%。
4月份产量达到1296套
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问题探究
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活动2
重点、难点知识★▲
探究三：增长率问题
减少问题
受某种因素影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降，由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？
（1）设平均每次下调的百分率是x，则第一次降价后的价格为 ，第二次降价后的价格是 。
（2）等量关系是：__________________________。
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得：
16（1-x）2=9，
解得x1=25%，x2=175%（不合题意，舍去）
答：平均每次下降的百分率是25%。
下降两次后的价格是9元
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问题探究
课堂小结
活动1
重点、难点知识★▲
探究四：倍数及增长率问题训练
基础型例题
例1.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是　 　人。
【解题过程】
12
解：设参加会议有x人，
依题意得：
x（x-1）=66，
整理得：x2-x-132=0
解得x1=12，x2=-11，（舍去）。
答：参加这次会议的有12人。
【思路点拨】设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为 x（x-1），根据题意列方程。
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问题探究
课堂小结
重点、难点知识★▲
探究四：倍数及增长率问题训练
练习：一次排球友谊赛，参赛队中每两队都要赛一场，若此次友谊赛共66场，则本次参赛球队有（　　）
A．14队 B．13队 C．12队 D．11队
活动1
基础型例题
解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛。
x（x-1）÷2=66，
解得x=12或-11（舍去）。
故应12个球队参加比赛。
C
【思路点拨】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数= 即可列方程求解。
【解题过程】
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问题探究
课堂小结
活动2
重点、难点知识★▲
探究四：倍数及增长率问题训练
提高型例题
例：已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是　　 　　　 .
3和5或-3和-5
【思路点拨】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是15这一等量关系，列出方程解答即可。
解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2），
由题意得，x（x+2）=15，
解得，x=3或x=-5，
所以这两个数为3和5或-3和-5。
【解题过程】
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
重点、难点知识★▲
探究四：倍数及增长率问题训练
提高型例题
练习：相邻的两自然数，它们的平方和比这两数中较小者的2倍大51，则这两自然数分别为　　　　。
5，6
解：设较小的正整数为n，
n2+（n+1）2=2n+51
n=5或n=-5（舍去）
所以这两个数为5和6。
【思路点拨】设较小的正整数为n，大的就为n+1，等量关系为两数的平方和比较小数的2倍大51。
【解题过程】
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问题探究
课堂小结
活动3
重点、难点知识★▲
探究四：倍数及增长率问题训练
探究型例题
例：近年来随着国际石油价格的上涨，我国加快了对新能源汽车产业的扶持力度。2010年国家启动了节能汽车推广工作，2010年新能源汽车产量达到15万辆，预计2012年新能源汽车的累计产量能达到105万辆。
（1）求这两年的新能源汽车产量的平均增长率为多少？
解：（1）设这两年的新能源汽车产量的平均增长率为x，由题意得
15+15（1+x）+15（1+x）2=105，
解得x=1，x=-4（不符题意，舍去）。
故这两年的新能源汽车产量的平均增长率为100%；
【思路点拨】2010年的产量+2011年的产量+2012年的产量=105万辆，把相关数值代入求得合适的解即可。
【解题过程】
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
重点、难点知识★▲
探究四：倍数及增长率问题训练
探究型例题
（2）2012年新能源汽车的产量为：15（1+x）2=60（万辆），
2013年新能源汽车的产量为：
60（1+x）=120（万辆）＞100（万辆）。
所以2013年新能源汽车的产量能突破100万辆。
【思路点拨】2013年的年销售量=2012年的年销量×（1+增长率），算出结果后与100万比较即可。
【解题过程】
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
重点、难点知识★▲
探究四：倍数及增长率问题训练
探究型例题
练习：为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本。
（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率。
解：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得 7500（1+x）2=10800，
即（1+x）2=1.44，
解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍去）
答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%。
【解题过程】
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
重点、难点知识★▲
探究四：倍数及增长率问题训练
探究型例题
（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
重点、难点知识★▲
探究四：倍数及增长率问题训练
探究型例题
（2）10800（1+0.2）=12960（本）
10800÷1350=8（本）
12960÷1440=9（本）
（9-8）÷8×100%=12.5%。
故a的值至少是12.5。
【解题过程】
【思路点拨】先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少。
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）列方程解应用题的一般步骤：审，设，找，列，解，检验，答。
（2）疾病传染问题，数字问题，增长率问题的基本等量关系：
疾病传染问题：原有量+新增量=总量；
数字问题：根据题意设出符合条件的数，进而根据等量关系列方程；
增长率问题：
n表示变化的次数。
重难点突破
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）列方程解决实际问题关键在于找准等量关系。
（2）根据实际情况，检验结果是否符合实际。
实际问题与一元二次方程
第二课时
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）列方程解应用问题的一般步骤：
审，设，找，列，解，检验，答。
（2）经济问题中的各个计算公式：
利润=售价－进价
总利润=（售价－进价）×销量，
或总利润=总收入－总支出
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究一：销售问题
师生共研
重点、难点知识★▲
例1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
抢答，完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为　　　　元。
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利
　　　　元，平均每天可售出　　　　件。（用含x的代数式进行表示）
（3）等量关系是 。
900
（45-x）
（20+4x）
每件衬衫的利润×每天的销量=2100元
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究一：销售问题
重点、难点知识★▲
思考：如何列出方程求解？
解：由题意得：（45－x）（20＋4x）=2100，
解得：x1=10，x2=30。
因尽快减少库存，故x=30。
答：每件衬衫应降价30元。
师生共研
例1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究一：销售问题
团队协作，创新突破
重点、难点知识★▲
例2：2010年在广州举行的亚运会前夕，某商场在销售中发现：亚运会吉祥物“乐洋洋”平均每天可售出20套，每套盈利45元。为了迎接亚运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套。
（1）如果每套降价5元，商场每天在销售吉祥物上盈利多少元？
（2）若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1500元，那么每套应降价多少元？
【思路点拨】（1）根据利润=售价﹣进价，且每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套，可列式求解。
（2）由题意，如果每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套，设每套应降价x元，则每天可多卖出2x套，（x是5的倍数）。若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1500元，可列方程求解。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究一：销售问题
重点、难点知识★▲
解：（1）商场每天在销售吉祥物上盈利是：
（45﹣5）×（20+10）=1200（元）
团队协作，创新突破
（2）设每套应降价x元（x是5的整数倍），
依题意得：（45﹣x）（20+2x）=1500
整理得：x2﹣35x+300=0
解得：x1=15，x2=20
∵尽快减少库存且x是5的倍数，∴x=20
答：若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1500元，那么每套应降价20元。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究二：百分数应用问题
重点、难点知识★▲
师生共研
例3：某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产。
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
找出不等关系：
枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍
解：设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：400－x≤7x，
解得：x≥50，
答：该果农今年收获樱桃至少50千克。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究二：百分数应用问题
重点、难点知识★▲
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值。
师生共研
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究二：百分数应用问题
重点、难点知识★▲
用代数式表示下列数量：
①若该果农今年收获樱桃x千克，则收获枇杷 千克。
400-x
②填表
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}?
去年
今年
市场销售量
销售均价
市场销售量
销售均价
樱桃
100kg
30元/kg


枇杷
200kg
20元/kg


100（1－m%）kg
30元/kg
200（1+2m%）kg
20（1-m%）元/kg
③等量关系是
今年樱桃销售金额+今年枇杷销售金额=去年樱桃和枇杷的市场销售总金额
师生共研
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究二：百分数应用问题
重点、难点知识★▲
解：由题意可得：
100（1－m%）×30＋200×（1＋2m%）×20（1－m%）
=100×30＋200×20，
令m%=y，原方程可化为：
3000（1－y）＋4000（1＋2y）（1－y）=7000，
整理可得：8y2－y=0
解得：y1=0，y2=0.125
∴m1=0（舍去），m2=12.5
∴m=12.5，
答：m的值为12.5。
师生共研
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究二：百分数应用问题
重点、难点知识★▲
团队协作，创新突破
例4：每年春节是市民购买葡萄酒的高峰期，某商场分两批购进同一种葡萄酒，第一批所用资金是8000元，第二批所用资金是10000元。第二批葡萄酒每瓶比第一批葡萄酒每瓶贵90元，结果购买数量比第一批少20%。
（1）求该商场两次共购进多少瓶葡萄酒。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究二：百分数应用问题
重点、难点知识★▲
解：（1）设第一批购买了x瓶葡萄酒，
解得，x=50，
经检验x=50是原分式方程的解，
∴x（1﹣20%）=50（1﹣20%）=40，
∴该商场两次共购进葡萄酒的瓶数是：50+40=90，
即该商场两次共购进90瓶葡萄酒。
团队协作，创新突破
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究二：百分数应用问题
重点、难点知识★▲
（2）由题意可得，
解得，a1=92.5，a2=20（舍去），
即a的值是92.5。
（2）第一批葡萄酒的售价是每瓶200元，很快售完，但因为进价的提高第二批葡萄酒的售价在第一批基础上提高了2a%，实际售卖对比第一批少卖a%，结果两次销售共赚得利润3200元，求a（其中a＞25）。
团队协作，创新突破
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
基础型例题
例1：百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
解：设每件童装降价x元，则（40－x）（20＋2x）=1200
即：x2－30x＋200=0
∴x1=10，x2=20
∵要扩大销售量，减少库存。
∴舍去x1=10
答：每件童装应降价20元。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动1
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
练习：某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价　　元。
解：设每千克水果应涨价x元，
则每天可售出（500﹣20x）千克，每千克盈利（10+x）元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，
整理，得x2﹣15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10，
要使顾客得到实惠，应取x=5，即每千克水果应涨价5元。
5
基础型例题
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
例2：某水果商在今年1月份用2.2万元购进A种水果和B种水果共400箱。其中A、B两种水果的数量比为5：3。已知A种水果的售价是B种水果售价的2倍少10元，预计当月即可全部售完。
（1）该水果商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱A水果至少卖多少元？
解：（1）设每箱B水果卖x元，则A水果每箱卖（2x－10）元，
根据题意，得：
解得：x≥50，
2x－10=100－10=90。
则A水果每箱至少卖90元，B水果每箱至少卖50元。
提升型例题
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
（2）若A、B两种水果在（1）的条件下均以最低价格销售，但在实际销售中，受市场影响，A水果的销量还是下降了 a%，售价下降了a%；B水果的销量下降了a%，但售价不变。结果A、B两种水果的销售总额相等。求a的值。
（2）根据题意，得：
解得：a%=0.5，
则a=50。
故a的值为50。
提升型例题
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
提升型例题
练习：今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价格齐跌态势。数据显示，2016年前两个月，鲁能地产开发公司开发的鲁能星城13街区的销售面积一共8000平方米，其中1月份的销售面积不多于总面积的40%。
（1）求鲁能地产开发公司开发的鲁能星城13街区2016年2月份最少销售了多少平方米？
解：（1）设2月份的销售面积为xm2，则
8000﹣x≤8000×40%，
解得：x≥4800，
答：鲁能地产开发公司开发的鲁能星城13街区2016年2月份最少销售了4800m2。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动2
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
（2）鲁能地产前两月每平方米的售价为8000元，为了解资金链问题，公司决定从3月份开始，以降价促销的方式回笼资金。根据数据调查显示，每平方米销售单价下调a%，3月份销售面积将会在2月份最少销售面积的基础上增加（a+10）%，结果3月份总销售额为3456万元，求a的值。
（2）由题意可得：
8000（1﹣a%）×4800[1+（a+10）%]=34560000
令t=a%，则整理为：10t2+t﹣2=0，
解得：t=0.4或t=﹣0.5
故a=40或a=﹣50（不符合题意，舍去）
答：a的值为40。
提升型例题
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
探究型例题
例3：第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日在巴西里约热内卢举行，里约热内卢成为奥运史上首个主办奥运会的南美洲城市，某经销商抓住商机在今年6月底购进了一批奥运吉祥物1160件，预计在7月份进行试销，购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出。若每涨价0.1元，销售量就减少2件。
（1）求该经销商在7月份的销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？
解：（1）设售价应为x元，依题意有
解得：x≤15。
答：售价应不高于15元。
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
（2）由于销量好，8月份该吉祥物进价比6月底的进价每件增加20%，该经销商增加了进货量，并加强了宣传力度，结果8月份的销售量比7月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比7月份在（1）的条件下的最高售价减少 m%，结果8月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）。
（2）8月份的进价：10×（1+20%）=12（元），
由题意得：
设m%=t，化简得50t2﹣25t+2=0，
解得：t1=0.4，t2=0.1，
所以m1=40，m2=10，
因为m＞10，
所以m=40。
答：m的值为40。
探究型例题
知识回顾
问题探究
课堂小结
活动3
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
练习：区政府决定从2014年11月起到2016年底，两年时间创建成为国家卫生城区，辖区内企业的污水处理通常有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理，某企业每月的污水量均为2500吨，数量巨大需要两种处理方式同时进行。由于企业自身设备老化等问题，2015年每月自身处理污水量y（吨）与月份x（x取整数）之间满足的函数关系式为y=2500﹣100x，该企业自身处理每吨污水的成本为4元，其余部分由污水厂统一处理，污水厂收取企业每吨污水处理费10元。
（1）该企业2015年哪几个月用于污水处理的费用不超过12000元？
探究型例题
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问题探究
课堂小结
活动3
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
解：（1）根据题意得：
4（2500﹣100x）+10[2500﹣（2500﹣100x）]≤12000，
整理得：600x+10000≤12000，
解得：
∵x为正整数，
∴x=1、2、3。
∴该企业2015年一、二、三月用于污水处理的费用不超过12000元。
探究型例题
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问题探究
课堂小结
活动3
探究三：销售问题和百分数问题的训练
重点、难点知识★▲
（2）2016年以来，由于该企业自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后2016年每月的污水量都将在2015年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在每吨4元的基础上增加5（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助，若该企业每月的污水处理费用为8437.5元，请计算出a的值。
（2）根据题意得：
2500（1+a%）×4[1+5（a﹣30）%]=8437.5×2，
整理得：a2+90a﹣4375=0，
解得：a=35或a=﹣125（舍去）。
答：若该企业每月的污水处理费用为8437.5元，a的值为35。
探究型例题
知识梳理
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问题探究
课堂小结
（1）通过抓住经济问题中各个数量之间的关系，寻找等量关系；
利润=售价－进价
总利润=（售价－进价）×销量，
或总利润=总收入－总支出
（2）培养在文字中提取信息的能力。
重难点归纳
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问题探究
课堂小结
（1）本节课主要内容是一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解；
（2）经济问题中各个数量间的关系；
（3）最后的结果要符合实际情况。
实际问题与一元二次方程
第三课时
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问题探究
课堂小结
（1）列方程解应用题的一般步骤：审，找，设，列，解，检验，答。
（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解。
（3）正方形，长方形，三角形，圆等几何图形的周长及面积计算公式；长方体，正方体的体积及表面积计算公式。
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问题探究
课堂小结
探究一：面积体积问题
活动1
面积问题
例：如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程。
（1）挂图长为__________cm，宽为__________cm。
（2）等量关系是：___________________。
（80+2x）
（50+2x）
挂图面积为5400cm2
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问题探究
课堂小结
如何列方程？
解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；
所以（80+2x）（50+2x）=5400，
即4x2+160x+4000+100x=5400，
所以4x2+260x-1400=0。
即x2+65x-350=0。
【思路点拨】找出挂图的长和宽，根据其积为5400，即长×宽=5400，列方程进行化简即可。
探究一：面积体积问题
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问题探究
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探究一：面积体积问题
活动2
体积问题
如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：
（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积。
（2）请列出关于x的方程。
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问题探究
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问题：（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为________m，进而得到容积为___________m3。
（2）等量关系是：_________________。
容积是15m3
（x+2）
x（x+2）
如何列方程？
解：（1）长方体运输箱底面的宽为x m，则长为（x+2）m。
容积为x（x+2）×1=x2+2x。
（2）x2+2x=15。
探究一：面积体积问题
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问题探究
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问题：
（1）设最短边为2x，另外两边长为:________，_________。
（2）等量关系是：___________________________________。
探究二：勾股定理中的一元二次方程
活动1
勾股定理的应用
例：直角三角形的三边长是3个连续偶数，求这个三角形的三边长。
直角三角形两直角边的平方和=斜边的平方
2x+2
2x+4
解：设最短边为2x，则另外两边的长为2x+2，2x+4，
根据题意得：（2x）2+（2x+2）2=（2x+4）2；
化为一般形式为：x2-2x-3=0。故x1=3，x2=-1（舍）
所以三边长为 6，8，10。
如何列方程求解？
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问题探究
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探究二：勾股定理中的一元二次方程
活动2
航行问题中的勾股定理
例：如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，台风中心 海里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里。若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。
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问题探究
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解：若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风。
设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到E点，如图所示：
则可知AC=20t，AE=100-40t，
根据勾股定理得：EC2=AC2+AE2。
问题：（1）设t时刻，轮船行驶到C点，此时AC=_________；
台风中心运动到E点，此时AE=_________；
（2）等量关系是：_____________________。
EC2=AC2+AE2
20t
100-40t
如何列方程求解？
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问题探究
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整理得出：t2-4t+3=0
解得：t1=1，t2=3，
∵求最初遇台风时间，
∴t=1。
答：点C在台风影响的范围内，会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时。
当EC= 时，
探究二：勾股定理中的一元二次方程
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探究三：动点问题
活动1
三角形背景下的三角形面积
例：已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm。点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？
说明理由。
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问题探究
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问题：
（1）设经过x秒钟，BQ=_______，BP=________。
（2）等量关系是：_______________________。
BP2+BQ2=PQ2
2x
5-x
如何列方程求解？
解：（1）设：经过x秒以后△PBQ面积为6，
×（5-x）×2x=6
整理得：x2-5x+6=0
解得：x=2或x=3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2。
探究三：动点问题
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问题探究
课堂小结
（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，
∴（5-x）2+（2x）2=52， 5x2-10x=0，
∴ x（5x-10）=0， x1=0，x2=2，
∴ 当x=0或2时，PQ的长度等于5cm。
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
整理得：x2-5x+8=0
∴△PQB的面积不能等于8cm2。
×（5-x）×2x=8
探究三：动点问题
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问题探究
课堂小结
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm。动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。若点P以1cm/s速度运动，点Q以 cm/s的速度运动，连接BQ、PQ。当时间t为_______秒时，△BQP的面积为24cm2。
探究三：动点问题
活动2
四边形背景下的三角形面积
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问题探究
课堂小结
此时，BP=_________，QG=_________。
问题：整个运动过程中有几种情况？
两种情况的时间的分界点是多少？
4s。
分两种情况讨论：
①点Q在CD上；②点Q在DA上。
14-t
2t
问题：当Q在CD上，要表示△BPQ的面积，需要知道它的底和高。若以BP为底，则需要做什么辅助线？
过Q点作QG⊥BC于G
探究三：动点问题
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问题探究
课堂小结
问题：当Q在AD上，要表示△BPQ的面积，需要知道它的底和高。若以BP为底，则需要做什么辅助线？
过Q点作QG⊥BC于G
此时，BP=_________，QG=________。
如何列方程求解？
14-t
8
探究三：动点问题
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问题探究
课堂小结
解：当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t
①如图，当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC= 。
又∵DH=HC，DH⊥BC， ∴∠C=45°。
∴ 在Rt△QCG中，由勾股定理可得QG=2t。
又∵BP=BC-PC=14-t，
∴ S△BPQ=
=14t-t2。
当Q运动到D点时所需要的时间
∴S=14t-t2（0＜t≤4），
当S=24时，14t-t2=24，解得：t1=2，t2=12（舍）。
探究三：动点问题
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问题探究
课堂小结
②如图，当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G。
则：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，
当Q运动到A点时所需要的时间
∴ S=56-4t
当S=24时，56-4t=24
解得： ，舍去
=56-4t。
∴ S△BPQ=
综上① ② ，当t=2时，S=24。
探究三：动点问题
知识回顾
问题探究
课堂小结
【思路点拨】
由于点P在线段CB上运动，而点Q沿C→D→A方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q在CD上；②点Q在DA上。针对每一种情况，都可以过Q点作QG⊥BC于G。
由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，根据面积为24cm2，列出方程，解方程并结合t的范围取舍。
探究三：动点问题
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课堂小结
探究四：几何问题训练
活动1
基础型例题
例：在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地。若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少？（只列方程）
解：设修建的路宽为x米。
余下的面积表示为：20×30-（30x+20x-x2）米2，
根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积=耕地面积，
依此列出等量关系：余下的面积表示为 20×30-（30x+20x-x2）米2，
则根据题意得： 20×30-（30x+20x-x2）=551。
知识回顾
问题探究
课堂小结
练习：如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　）
A．21cm2 B．16cm2
C．24cm2 D．9cm2
解：设AB=xcm，AD=（10-x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10-x）2cm2。
根据题意得 x2+（10-x）2=68， 整理得 x2-10x+16=0。
解之得 x1=2，x2=8，
所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，
综上可求矩形ABCD的面积是16cm2。
B
探究四：几何问题训练
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：几何问题训练
活动2
提升型例题
例：已知△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，△ABC的面积为 ，若AC=m，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
解：如图：作CD⊥AB于点D，
∵∠A=30°，∠B=45°，AC=m，
∴ CD=BD=
∴ 由勾股定理得：
∴ AB=AD+BD=
解得：m=2或m=-2（舍去），∴m=2。
B
知识回顾
问题探究
课堂小结
练习：甲、乙两船同时从A港出航，甲船以30千米/时的速度正北航行，乙船以比甲船快10千米/时的速度向东航行，几小时后两船相距150千米？可列方程________________________。
解：设x小时后两船相距150千米，则AC=30x，AB=40x，
列方程得（30x）2+（40x）2=1502。
【思路点拨】画出相应图形后，易得两船相距的路程，甲航线路程，乙航行路程组成以两船相距的路程为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解即可。
探究四：几何问题训练
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究四：几何问题训练
活动3
探究型例题
例：等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S。
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段
DE的长度是否改变？ 证明你的结论。
知识回顾
问题探究
课堂小结
解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t。
当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t，PB=t-10。
（2）∵S△ABC =
∴当t＜10秒时，S△PCQ=
整理得 t2-10t-100=0 解得
（舍去负值）。
当t ＞10秒时，S△PCQ=
∴ 当点P运动 秒时，S△PCQ=S△ABC
整理得 t2-10t+100=0 ，无解。
探究四：几何问题训练
知识回顾
问题探究
课堂小结
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
证明：
过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM。
∴AE=PE=CM=QM=
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半。
又∵ EM=AC=
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
∴ DE=
同理，当点P在点B右侧时，DE=
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
探究四：几何问题训练
知识回顾
问题探究
课堂小结
【思路点拨】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S= QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系；另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答。
探究四：几何问题训练
知识回顾
问题探究
课堂小结
练习： 如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，G为边AB上一点，GB=1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DG﹣GB﹣BC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动ts时，△DEF的面积为5cm2，则t的值为________。
【思路点拨】分三种情况：①点F在DG上；②点F在BG上；③点F在BC上；根据等量关系：△DEF的面积为5cm2，列出方程求解即可。
探究四：几何问题训练
知识回顾
问题探究
课堂小结
解：在Rt△ADG中，DG=
①点F在DG上，依题意有：
②点F在BG上，依题意有：
解得 （负值舍去）
因此，当F在BG上时，△DEF的面积不可能等于5。
③点F在BC上，依题意有：
解得 t=7。
所以t的值为 或7。
探究四：几何问题训练
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程的方法来解决，体现数学建模的思想。
（2）根据实际情况验证结果的合理性。
知识梳理
重难点归纳
知识回顾
问题探究
课堂小结
（1）几何问题转化为方程来解决，体会数形结合的思想。
（2）动点问题中常用动点运动路径来表示边长，进而通过几何关系寻找等量关系。
谢 谢