高中数学人教A版(2019)必修第一册第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式（习题课 ） 教 案

《二次函数与一元二次方程、不等式习题课》
教学设计
教学目标
1．熟练掌握一元二次不等式的解法；
2．理解二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系；
3．通过二次函数的图象研究对应不等式解集的方法，提高学生分析问题，解决问题的能力；提升学生数学运算，数据分析的核心素养．
教学重难点
教学重点：一元二次不等式的解及应用．
教学难点：一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者之间的关系．
课前准备
PPT课件．
教学过程
复习回顾
问题1：二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系是怎样的？请你默写．
师生活动：学生默写，之后互批答．案略．
设计意图：通过默写复习基本知识，师生掌握学情，为后续学习扫清障碍。
典例分析
1．一元二次不等式的解法
例1 求不等式的解集．
问题1：这个不等式和一元二次不等式有什么关系？如何求解？
师生活动：师生一起分析，将(x-2)(x-3)＞0展开后，是一元二次不等式，画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集．
追问1：你能总结或，其中a＜b的解集吗？
师生活动：学生自己总结反思，写出结论．
追问2：若一元二次不等式的解集为，你能否猜出这个不等式吗？这个不等式唯一吗？
师生活动：学生独立完成，之后互相讨论，教师引导学生画出二次函数的简图，在构造不等式时，注意二次项的正负，并总结构造的不等式可以为或．
2．含参数的一元二次不等式的解法

例2 求不等式的解集．
问题2：该不等式与不等式有什么不同？这个不同点将使得该不等式的求解发生怎样的变化？
师生活动：学生关注到a与3的大小关系不能确定，教师引导学生要分类讨论求解，分类的标准就是a与3的大小关系，因此可以分三类．
预设答案：
解：当时，不等式解集为．
当时，不等式解集为．
当时，不等式解集为．
变式1：求不等式的解集．
追问：该不等式与例2中的不等式有何异同？又该如何分类求解？
师生活动：学生求得一元二次方程的两个实根，然后根据的大小关系，分三类求解．
预设答案：
解：当，即时，不等式解集为．
当，即时，不等式解集为．
当，即时，不等式解集为．
追问2：当时，变式1的解集又如何求解？
师生活动：学生思考对参数进行讨论，教师帮助梳理清楚分类标准：首先，该不等式是否为二次的，因此分为a=0和a≠0两类．第二，依据该不等式对应的二次函数图象开口方向不同，分为a＞0和a＜0两类。第三，当a＞0时，根据方程的两个根的大小关系又可以分为三类．
预设答案：
解：当时，不等式可化为，解得．
当时，方程的根为．
若，则，不等式解为．
若a＞0，则
当，即时，不等式解为．
当，即时，不等式解为 ．
当，即时，不等式解为．
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
变式2：①不等式如何求解？②不等式呢？
师生活动：学生自主思考，教师引导学生观察式子特点和例题的差异，对式子进行变形求解，要求学生紧紧围绕二次函数的特点寻找解题思路．师生一起总结：转化为，和例2相同；对应的一元二次方程的解无法确定，为此需要对的取值情况讨论，分三类进行．
预设答案：
解：①转化为，之后与例2相同，略．
②对于，，所以当，即≤0时，不等式的解集为．
当或，即＞0时，不等式的解集为．
设计意图：通过问题串引导学生根据函数图象得到相应的一元二不等式的解集．学会对于含参的一元二次不等式的分类讨论，理清分类标准的依据，进一步认识一元二次函数，不等式和方程关系的整体性，体会数形结合思想，提高分析问题和解决问题的能力．
3．含参数的一元二次不等式求参数范围
例3 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_____．
师生活动：教师指导学生借助一元二次函数图象完成．同时强调本题不等式没有说明是二次不等式，因此需要分类讨论．
预设答案：
解：当时，恒成立，因此适合；
当时，要使不等式对一切恒成立，则，解得．
综上可知：的取值范围是[0，1]．
追问：若不等式解集为空集时，的取值范围是什么？
师生活动：学生独立完成，之后互相讨论，教师引导学生画出二次函数的简图，在构造不等式时，注意对的分类．
设计意图：从不同角度体会一元二次不等式与一元二次函数与方程根的关系，学会分类讨论，突出体现数形结合的思想及等价转化思想．
三、归纳总结 布置作业
问题3：回顾本节内容思考下列三个问题：
1．三个“二次”的关系是什么？
2．求解一元二次不等式的基本步骤？
3．如何对含参的一元二次不等式的分类讨论？
师生活动：教师引导学生回顾本节知识．答案略．
设计意图：帮助学生梳理方法，提升数学运算素养．
目标检测
1．若，则不等式的解集（ ）
A． B．
C． D．
设计意图：考查学生对含参一元二次不等式解法的掌握情况．
2．已知一元二次不等式的解集为，则不等式解集为_____．
设计意图：考查学生对一元二次不等式逆向问题求解方法的掌握．
3．若集合，则实数的取值范围是___________．
设计意图：本题考查了一元二不等式的解法、集合包含关系判断及应用．
4．已知关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围_______．
设计意图：考查一元二次不等式的解集与判别式的关系，以及分类讨论思想和计算能力．
5．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是_________．
设计意图：此题考查含参的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，及对分类讨论掌握情况．
参考答案：
1．解：因为，所以，不等式的解集．
2．解：已知不等式可知，且2和3是方程的两根，由根与系的关系可知，，解得，所以不等式可以化为，因为，不等式，解得．
3．解：集合，则不等式无解，所以，解得，所以实数的取值范围是．
4．解：①当，即．
当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此不满足题意，应舍去．
②当，即时．
因为关于的不等式的解集为空集，
所以，解得．
综上可得：的取值范围是．
5．解：由题恰有2个整数解，
即恰有2个整数解，
所以，即．
当时，不等式解为，
因为，恰有两个整数解，即：1，2，
所以，解得：；
当时，不等式解为，
所以，恰有两个整数解，即：-1，-2，
所以，解得：，
综上所述：．