高中数学人教A版(2019)必修第一册第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 教 案

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
（第一课时）》教学设计
教学目标
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学抽象素养；
2．能用二次函数的观点，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式问题，感悟数学知识的整体性和关联性，提升逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养．
教学重难点
教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并会借助二次函数求解一元二次不等式，体会函数思想、化归思想及数形结合的思想．
教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．
课前准备
PPT课件．
教学过程
情境引入

问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来．
预设的答案：1．因为学生已经学习过基本不等式，所以部分学生会令矩形的一边长为x，另一边为y，可以得到此时还需要消元从而转化为一元二次不等式求解．
2．部分学生用一个未知数x即可表示问题中的不等式，但学生容易忘记自变量x的取值范围．
追问：不等式即，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？
师生活动：学生可以回答这个问题．之后学生阅读课本获得定义，或者教师给出一元二次不等式的定义，一元二次不等式的一般形式：，并且强调二次项的系数a≠0．
设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．
探究新知
1．探究一元二次不等式的解法
问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？
师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：
设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．
问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数为例．
师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．
追问1：教师用信息技术画出函数的图象，图象与x轴有两个交点，并在函数图象上任取一点P（x，y）．当点P在抛物线上移动时，请你观察：随着点P的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？
师生活动：学生观察思考后回答．
预设的答案：当点P移动到x轴上时，它的纵坐标等于0（即）；当点P移动到x轴上方时，它的纵坐标大于0（即）；当点P移动到x轴下方时，它的纵坐标小于0（即）．
追问2：当点P的纵坐标=0时、＞0时、＜0时所对应的横坐标x的取值范围分别是什么？
师生活动：学生独立获得答案．
预设的答案：当=0时，即方程的解，并且也是二次函数的零点．
当＞0时，即不等式的解集是，
当＜0时，即不等式的解集是．
教师总结：利用函数的图象，可以求得不等式和的解集．
追问3：问题1中的解答是什么？（略．）
设计意图：在具体的例子中，类比三个“一次”的关系理解三个“二次”之间的关系，进一步感受用函数观点看方程和不等式，掌握利用函数求解方程和不等式的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力．
2．归纳一元二次不等式的一般解法．
问题4：求解一元二次不等式解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？对于一般的一元二次方程一元二次不等式与相应的函数之间是否也具有类似的关系？请你完成下表．
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象


ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根


ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集


ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集


师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．
预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x轴的相关位置确定不等式对应的x的取值范围，而确定x的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象


ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}

设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．
3．应用举例
例1 求下列不等式的解集：
（1） （2） （3）
追问：求解不等式的依据是什么？步骤是什么？第（3）题与（1）（2）题有何异同？能否转化为（1）（2）题．
师生活动：学生独立完成后展示交流，师生总结求解思路．对于二次项系数是负数（即)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解．
预设的答案：
（1）解：对于方程，因为＞0，
所以它有两个实数根，解得，
画出二次函数的图象（图2.3-2）
结合图象得不等式的解集为．
（2）解：对于方程，因为=0，所以它有两个相等的实数根，解得，画出二次函数的图象（图2.3-3），结合图象得不等式的解集为．
（3）解：不等式可化为，因为=-8＜0，所以方程无实数根，画出二次函数的图象（图2.3-4），结合图象得不等式的解集为．因此原不等式的解集为．
追问：通过这三道题的学习，请你试着总结一下：解一元二次不等式的一般步骤是什么？
师生活动：学生总结，教师完善．
预设的答案：步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．
设计意图：这三道例题对应的三个二次函数的图象分别与轴有两个交点、有一个交点和没有交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应用，培养学生思维的严谨性．
例2 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为________．
追问：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？
师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出a，b，c之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．
预设的答案：
解：根据题意可知．
令．由根与系数的关系得
解得代入所求不等式得．①
又∵，∴①化为．
对于方程，因为＞0，所以它有两个实数根，解得，画出二次函数的图象（图2-3-5），结合图象得不等式的解集为．
设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．
三、归纳小结，布置作业

★资源名称： 【知识点解析】二次函数与一元二次方程、不等式
★使用说明：本资源为二次函数与一元二次方程、不等式的知识讲解视频，主要以二次
问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式解的过程的？在这个过程中体现了哪些数学方法和思想？
师生活动：师生共同总结，教师强调关键点是从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集．其中体现了数形结合、化归及函数思想．
追问：请简单说明如何解一元二次不等式？
师生活动：提醒学生注意二次项系数的正负，如果是负的话先化成正的，然后求方程的解，再画出函数图象，最后观察函数图象得到不等式的解集．
设计意图：完善学生的知识结构，强化学生对知识的理解，以及本节课所涉及到的数学思想方法和研究方法．要将重点放在引导学生进一步理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系上，提升学生对数学内容的联系性和整体性的认识．
作业布置：教科书习题2.3第1，2，3，5题．
四、目标检测设计
1．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
设计意图：考查学生对一元二次不等式的解法．
2．不等式（其中）的解集为（ ）
A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)
设计意图：考查学生对方程两个根的大小的判断．
3．已知不等式的解集为．
（1）求a，b的值；
（2）解不等式．
设计意图：考查学生对二次不等式的解集和方程两个根的关系的理解．
参考答案：
1．A．不等式可化为，即，
解得，∴不等式的解集为．
2．B．∵其中，∴．
∴不等式的解集为（）．
3．（1）由题意得是方程的两根，且，则
（2）由得不等式为
∴不等式得解集为（1，2）．