高中数学人教A版(2019)必修第一册第一章常用逻辑用语小结课 教 案（Word）

《1.5.3 常用逻辑用语小结课》教学设计
教学目标
1．通过梳理常用逻辑用语的相关内容，构建知识网络，使所学的内容更加系统化、结构化，同时进一步加深理解各个知识之间的逻辑关系．
2．巩固充分、必要条件的判断方法以及全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断，提高转化和化归、分析和解决问题的能力．
教学重难点
教学重点：本章知识结构图；充分、必要条件的判断；全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断．
教学难点：隐含全称量词的命题的否定；充分、必要条件判断方法的逆用；全称量词命题和存在量词命题的否定及真假关系的逆用．
课前准备
PPT课件
教学过程
（一）整体概览
问题1：回顾1.4和1.5两节的内容，你能画出常用逻辑用语的知识结构图吗？请你试一试．
师生活动：学生课前完成，上课以小组为单位展示，互相补充纠正．
预设的答案：
设计意图：通过绘制和展示知识结构图，使学生对所学知识重新整理，加深学生对知识之间内在联系的理解，建立知识框架，使所学知识更加系统化、框架化．
（二）回顾与思考
问题2：（1）对给定的p和q，如何判定p是q的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件？
（2）如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？如何判断一个全称量词命题和存在量词命题的真假？你发现两者之间有怎样的联系？
师生活动：学生独立思考，以表格形式呈现自己的答案，然后小组讨论，最后展示交流，互相补充．
预设的答案：
（1）的答案：
方法1：命题法．通过判断“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”的真假，从而得出p是q的什么条件．
命题“若p，则q”的真假
命题“若q，则p”的真假
p与q的关系
真命题，即false
真命题，即false
p是q的充要条件
真命题，即false
假命题，即qfalsep
p是q的充分不必要条件
假命题，pfalseq
真命题，即false
p是q的必要不充分条件
假命题，pfalseq
假命题，即qfalsep
p是q的既不必要也不充分条件
方法2：集合法．集合false，集合false，通过判断集合A与集合B的关系从而得出p是q的什么条件．
记法
A={x| x满足p} B={x|x满足q}
关系：
集合A，B的关系
AB
BA
A=B
AfalseB且BfalseA
false
false
结论：
p与q的关系
p是q充分不必要条件
p是q必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
p是q的充分条件
p是q的必要条件
（2）的答案：
全称量词命题
存在量词命题
表示
false
false
判断
如果对集合M中的每一个x，p（x）都成立，那么“false”为真命题
如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）成立，那么“false”为真命题
如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）不成立，那么“false”为假命题
如果对集合M中每一个x，p（x）都不成立，那么“false”为假命题
否定
false
false
联系：判断全称量词命题或存在量词为假命题的过程就是判断它们的否定为真命题的过程．
设计意图：两个问题是对知识结构图的一个补充，主要是对两个重点问题的解决方法进行梳理，也为接下来的典例探究做好铺垫．
（三）典例探究
例1 下列各题中，p是q的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．
（1）p：false，q：false；
（2）p：false，q：false；
（3）p：x＞2且y＞3，q：x+y＞5；
（4）p：false，q：集合A，B中至多有一个为空集；
追问：判断p是q的什么条件的依据与方法是什么？
预设的答案：本例求解的依据是充分条件与必要条件的概念．
判断方法：（1）命题法：通过判断“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”的真假，从而得出p是q的什么条件．
（2）集合法：集合false，集合false，通过判断集合A与集合B的关系从而得出p是q的什么条件．
解：（1）设false，false，因为BA，所以p是q的必要不充分条件；
（2）设false，false，因为A=B，所以P是q的充要条件；
（3）“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”是真命题．
当x=1，y=8时，满足“x+y＞5”，但不满足“x＞2且y＞3”，所以“若x+y＞5，则x＞2且y＞3”为假命题，则P是q充分不必要条件；（备注：学了线性规划之后，也可用集合法得到结果）
（4）若false，满足“false”，但不满足“集合false中至多有一个为空集”，所以“若false，则集合false中至多有一个为空集”为假命题；
若false满足“集合false中至多有一个为空集”，但不一定满足“false”，所以“若集合false中至多有一个为空集，则false”为假命题，则p是q的既不充分也不必要条件．
设计意图：进一步熟悉利用判断命题真假或者判断集合关系来判定充要条件、充分不必要等条件的方法．在具体问题解决中，学会灵活选择，提高学生分析问题的能力．
例2 已知集合false，false．
（1）若p是q的充要条件，求实数m的值．
（2）若falseq是falsep的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
追问：对于（1），根据充要条件的含义，两个条件p与q对应的数集之间应该有怎样的关系？对于（2）呢？“falsep”的含义是什么？
预设的答案：
解：（1）设false，false，
因为p是q的充要条件，所以false，即false解得false．
（2）因为false，false，
所以false，false．
设false，false，
因为falseq是falsep的充分不必要条件，所以BA，则false或false，
解得false．
所以实数m的取值范围是false．
设计意图：进一步熟悉充分、必要条件的逆用，将问题转化为集合之间关系问题．其中（2）转化之后的集合关系是BA，在集合关系中这是易错点，容易忽视false，这里进一步巩固加深．另外，进一步熟悉符号“falseq”的含义．总之，让学生在变化的情境中加深对概念的理解．
例3 写出下列命题的否定并判断真假：
（1）false；
（2）有些平行四边形不是中心对称图形；
（3）可以被5整除的数，末位是0；
（4）梯形的对角线相等．
追问：全称量词命题与存在量词命题的否定形式是什么？判断这两类命题的真假的方法是什么？命题（3）是真命题还是假命题？为什么？你发现它隐去了哪个量词？命题（4）呢？
预设的答案：
命题（3）是假命题．因为可以被5整除的数，末位是0或5，所以说这是一个假命题．实际上该命题隐去了量词“所有”，命题也可以叙述为“所有可以被5整除的数，末位都是0”．
命题（4）是假命题．因为有些梯形的对角线不相等，比如直角梯形，所以这是一个假命题．该命题隐去了量词“每一个”，即它可以叙述为“每一个梯形的对角线相等”．
解：（1）该命题的否定：false．因为当false时，false，所以这是一个假命题．
（2）该命题的否定：所有的平行四边形都是中心对称图形．因为平行四边形对角线的交点是它的对称中心，所以这是一个真命题．
（3）该命题的否定：存在可以被5整除的数，末位不是0．因为能被5整除的数，末位是0或5，所以这是一个真命题．
（4）该命题的否定：存在一个梯形，它的对角线不相等．因为直角梯形的对角线不相等，所以这是一个真命题．
设计意图：进一步巩固全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断的方法，并学会识别命题中隐含的量词．
例4 已知命题p：“false，使得false”是假命题，求实数m的最大值．
追问：全称量词命题和存在量词命题与其否定命题的真假有什么关系？可将题中命题的真假转化为哪个命题的真假？
预设的答案：
解：由命题p：“false，使得false”是假命题，
可得命题“false，使得false”为真命题，
即false对于false恒成立，所以false．
函数false在false上随着x的增大而增大，所以当x=3时，y取最小值5．
所以false．
设计意图：通过全称量词命题和存在量词命题与其否定之间的真假关系的逆用，将原命题的真假转化为其否定命题的真假，进而转化不等式恒成立或有解问题，提高学生转化化归的能力．
（四）归纳小结 布置作业
问题3：本节我们复习了常用逻辑用语的所有内容，你收获了哪些经验？
师生活动：学生自由发言，互相补充，老师将其汇总板书在黑板上．
预设的答案：
1．在判断命题真假的时候，注意隐含的全称量词．如例3的（3）（4）；
2．判断充分、必要条件有两种方法：命题法和集合法．如果p和q给出的是变量范围，用集合法判断时，可以用图示法（venn图或者数轴）表示关系，更为直观．如例1（1）（2），例2（2）；
3．全称量词命题和存在量词命题的真假与其否定命题的真假对立，在具体问题解决中，可以相互转化．如例4；
4．不等式的恒成立问题可以转化为函数最值问题．如例4．
设计意图：通过反思本节课的学习内容，让学生进行经验积累，并将经验总结为方法，提高学生解决问题的能力，同时加深对简易逻辑用语内涵的理解．
作业布置：教科书34页复习参考题第4，5，6，7，10，12题．
（五）目标检测设计
1．写出命题“若false，则false”的否定．
设计意图：考查隐含量词的全称量词命题的否定．
2．已知false，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
设计意图：考查充分、必要条件判断方法的逆用．
3．若“false”是假命题，求实数m的取值范围．
设计意图：考查存在量词命题与其否定命题的真假关系，不等式恒成立问题的解决方法．
附加题：
4．命题“false使得false”的否定形式是（ ）
A．false使得false
B．false使得false
C．false使得false
D．false使得false
设计意图：考查全称量词命题、存在量词命题的否定形式．命题中含有两个量词，建议教师在教学中有选择地使用．
参考答案：
1．存在大于2的实数false，满足false．
2．设false，false，
因为p是q的必要不充分条件，所以BA，则false或false，
解得false．
所以实数a的取值范围是false．
3．因为若“false”是假命题，
所以“false”为真命题，
即false对false恒成立，
所以false．
因为false，所以当false时，false，
则false．
所以实数m的取值范围是false．
4．D．全称量词命题、存在量词命题的否定要注意两个变、一个不变．“false”与“false”互变，结论“p”变为“false”，条件中的范围不变．