高中数学人教A版(2019)必修第一册第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时） 教 案

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
（第二课时）》教学设计
教学目标
1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，提升数学建模的核心素养．
2．能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养．
教学重难点
教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．
教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．
课前准备
PPT课件
教学过程
知识回顾
问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格。
师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错．
预设的答案：
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象


ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}

教师讲解：
（1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．
（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍。
问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？
师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现．
预设的答案：
设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助．
二、新知探究 利用一元二次不等式解决实际问题
例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：
．
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？对于实际问题还需要注意什么？
师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解。完成之后展示交流，师生点评修改，教师给出解答示范．
预设的答案：
解：设这家工厂在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，得
．
移项整理，得
．
对于方程，方程有两个实数根
画出二次函数的图像，结合图像得不等式的解集为．从而原不等式的解集为．
追问：本题中x的实际意义是什么？如何理解解集？
师生活动：学生独立思考后回答．
预设的答案：
因为x只能取整数，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获利60000元以上．
设计意图：对实际问题深入分析，确定不等关系，解不等式，感受到由“形”到“数”的转换过程．通过问题体会二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系，体会用一元二次不等式解决实际问题的意义，并总结掌握利用一元二次不等式解决实际问题的基本步骤．
例2 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m）和汽车刹车前的车速v（单位：km/h）之间有如下关系：
．
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km/h）？
问题4：该问题中的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？
师生活动：教师给学生充足的时间独立思考并作答，再做课堂展示，教师巡视，对有困难的同学进行个别指导．
预设的答案：
解：根据题意，得
．
移项整理，得
．
对于方程，方程有两个实数根
．
画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为．
因为车速车速，所以．而，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h．
追问1：解决实际问题应该注意什么？比如本题中速度v应满足怎样的“实际意义”？
预设的答案：实际生活中速度v应该大于0 km/h．所以不能取负值。而且介于实际情况，最低车速也不能定成，而应该是不小于它的正整数。
追问2：现在你能完成教科书37页问题2了吗？请你试一试。
师生活动：学生自主完成，小组讨论展示．
预设的答案：
解：不等式①经移项整理，得．用上述方法解这个不等式得．所以当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．
设计意图：使学生进一步掌握一元二次不等式解决实际问题的基本步骤，并再次体会相关变量所具有的“实际含义”，避免今后做题过程中在此处出错．
归纳小结、布置作业
问题5：利用一元二次不等式解决生活中实际问题要经历哪些步骤？需要注意什么？
师生活动：学生总结，教师帮助梳理．
预设的答案：
基本步骤：（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
（2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
（3）求：解不等式．
（4）答：回答实际问题．
需要注意的是问题中的变量所具备的“实际意义”，须结合实际将一元二次不等式的解集转化成最终问题答案．
设计意图：本节课由学生所熟悉的现实生活问题或具体情景，抽象出数学问题，并利用一元二不等式表示出数量关系，求其结果并讨论结果的意义，经历“实际问题—数学问题—不等式—求出结果并讨论实际意义”的模式，经历数学建模的完整过程．通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确如何利用一元二次不等式解决生活中的实际问题，并牢记此类问题的易错点：忽略变量的实际意义．体会解决实际问题的方法，形成解决实际问题的一般思路．
作业布置：教科书习题2.3第4，6题．
四、目标检测设计
1．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．
2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
设计意图：考查学生利用一元二次不等式解决实际问题的能力．
参考答案：
1．解：设税率调低后“税收总收入”为y元．根据题意，得
，．
根据题意，得，即，解得．
根据x的实际意义，可知x的范围为．
2．解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为 m，宽为 m．
根据题意可得，
整理得，即，
所以或，而不符合题意，舍去．
故所求花卉带宽度范围为是大于0米不超过100米．