人教版八年级上册数学 13.4最短路径问题 课件（17张）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学 13.4最短路径问题 课件（17张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 805.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-12 15:26:31 | ||
图片预览
文档简介
最短路径问题
新知引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
新知引入
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小
的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
新知讲解
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
牧人饮马问题
1
新知讲解
问题1 现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB，与直线l相交于一点C.
新知讲解
问题2 如果点A ， B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
新知讲解
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
新知讲解
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
B
新知应用
A
B
C
D
F
E
新知应用
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A. (0，3) B. (0，2)
C. (0，1) D. (0，0)
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
A
B′
E
C′
例3 如图，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
P
O
A
B
P'
P''
E
F
新知应用
解析：△PEF的周长=PE+EF+PF= P'E+EF+P''F = P'P'' ，在点P'和P''之间，
线段P'P''最短，故周长最短.
【变式1】如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是( )
新知演练
D
【变式2】如图，已知∠MON＝60°，P为∠MON内一点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为( ) ° ．
A．40 B．60 C．100 D．120
新知演练
B
提示：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2，连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，
由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣60°＝120°，
∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝60°，
∴∠APB＝120°﹣60°＝60°．
【变式3】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是( )
A．10 B．15 C．20 D．30
新知演练
A
提示：过点P作关于OA，OB对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点Q，OB于点R，此时△PQR周长的最小，连接OP1 和OP2，可证△OP1 P2为等边三角形，边长为10．
拓展提升
1.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．
解：作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于点C，交OM于点D，连接AC，BD，即可得出答案．
拓展提升
2.如图，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．
课堂总结
牧马人饮马问题
原理
线段公理和垂线段最短
轴对称知识+线段公理
最短路径问题
新知引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
新知引入
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小
的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
新知讲解
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
牧人饮马问题
1
新知讲解
问题1 现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB，与直线l相交于一点C.
新知讲解
问题2 如果点A ， B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
新知讲解
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
新知讲解
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
C ′
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
B
新知应用
A
B
C
D
F
E
新知应用
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A. (0，3) B. (0，2)
C. (0，1) D. (0，0)
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
A
B′
E
C′
例3 如图，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
P
O
A
B
P'
P''
E
F
新知应用
解析：△PEF的周长=PE+EF+PF= P'E+EF+P''F = P'P'' ，在点P'和P''之间，
线段P'P''最短，故周长最短.
【变式1】如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是( )
新知演练
D
【变式2】如图，已知∠MON＝60°，P为∠MON内一点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为( ) ° ．
A．40 B．60 C．100 D．120
新知演练
B
提示：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2，连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，
由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣60°＝120°，
∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝60°，
∴∠APB＝120°﹣60°＝60°．
【变式3】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是( )
A．10 B．15 C．20 D．30
新知演练
A
提示：过点P作关于OA，OB对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点Q，OB于点R，此时△PQR周长的最小，连接OP1 和OP2，可证△OP1 P2为等边三角形，边长为10．
拓展提升
1.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．
解：作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于点C，交OM于点D，连接AC，BD，即可得出答案．
拓展提升
2.如图，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．
课堂总结
牧马人饮马问题
原理
线段公理和垂线段最短
轴对称知识+线段公理
最短路径问题