人教版八年级上册数学 14.3.2 用完全平方公式分解因式 课件（19张）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学 14.3.2 用完全平方公式分解因式 课件（19张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 566.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-12 15:32:35 | ||
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文档简介
用完全平方公式分解因式
复习总结
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
①提公因式法
②平方差公式
a2－b2=(a+b)(a－b)
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a?
ab
b?
新知引入
这个大正方形的面积可以怎么求？
(a+b)2
a
b
a
b
a?
ab
ab
b?
(a+b)2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
新知引入
=
a2+2ab+b2
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a?+2ab+b?和a?－2ab+b?这样的式子叫作完全平方式.
观察：
(1)每个多项式有几项？
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
新知讲解
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
新知讲解
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
±2ab
+b2
=(a±b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
新知讲解
用完全平方公式分解因式
3. a?+4ab+4b?=( )?+2· ( ) ·( )+( )?=( )?
2. m?－6m+9=( )? －2·( )·( )+( )? =( )?
1. x?+4x+4= ( )? +2·( )·( )+( )? =( )?
x
2
x+2
a
a 2b
a+2b
2b
对照 a?±2ab+b?=(a±b)?，填空：
m
m－3
3
x
2
m
3
巩固练习
下列各式是不是完全平方式？
①a2－4a+4； ②1+4a?；
③4b2+4b－1； ④a2+ab+b2；
⑤x2+x+0.25.
是
②因为它只有两项；
不是
③4b?与－1的符号不一致；
不是
分析：
不是
是
④因为ab不是a与b的积的2倍.
巩固练习
例1 如果x2－6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9 C. －11 D. －9
B
解析：根据完全平方式的特征，
中间项－6x=2x×(－3)，故可知N=(－3)2=9.
变式训练 如果x2－mx+16是一个完全平方式，那么m的值为_____.
解析：∵16=(±4)2，故－m=2×(±4)，m=±8.
±8
新知应用
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
归纳总结
例2 分解因式：
(1) 16x2+24x+9； (2)－x2+4xy－4y2.
新知应用
解： (1)16x2+24x+9
= (4x+3)2；
= (4x)2+2·4x·3+(3)2
(2)－x2+4xy－4y2
=－(x2－4xy+4y2)
=－(x－2y)2.
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2－12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，恰好是完全平方式.
(2)原式=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=(a+b－6)2.
新知应用
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
归纳总结
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99?；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100－99)?
(2)原式=(34＋16)2
利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
=1.
=2500.
新知应用
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29=0，求x2y2＋2xy＋1的值．
=112=121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29=0，
∴(x－2)2＋(y－5)2=0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2=0，y－5=0，
∴x=2，y=5，
∴x2y2＋2xy＋1=(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
新知应用
∴x2－4x＋4＋y2－10y＋25=0，
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题．
归纳总结
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，
且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)=0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)=0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2=0，
即(a－b)2＋(b－c)2=0，
∴a－b=0，b－c=0，∴a=b=c，
新知应用
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
课堂总结
复习总结
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
①提公因式法
②平方差公式
a2－b2=(a+b)(a－b)
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a?
ab
b?
新知引入
这个大正方形的面积可以怎么求？
(a+b)2
a
b
a
b
a?
ab
ab
b?
(a+b)2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
新知引入
=
a2+2ab+b2
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a?+2ab+b?和a?－2ab+b?这样的式子叫作完全平方式.
观察：
(1)每个多项式有几项？
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
新知讲解
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
新知讲解
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
±2ab
+b2
=(a±b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
新知讲解
用完全平方公式分解因式
3. a?+4ab+4b?=( )?+2· ( ) ·( )+( )?=( )?
2. m?－6m+9=( )? －2·( )·( )+( )? =( )?
1. x?+4x+4= ( )? +2·( )·( )+( )? =( )?
x
2
x+2
a
a 2b
a+2b
2b
对照 a?±2ab+b?=(a±b)?，填空：
m
m－3
3
x
2
m
3
巩固练习
下列各式是不是完全平方式？
①a2－4a+4； ②1+4a?；
③4b2+4b－1； ④a2+ab+b2；
⑤x2+x+0.25.
是
②因为它只有两项；
不是
③4b?与－1的符号不一致；
不是
分析：
不是
是
④因为ab不是a与b的积的2倍.
巩固练习
例1 如果x2－6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9 C. －11 D. －9
B
解析：根据完全平方式的特征，
中间项－6x=2x×(－3)，故可知N=(－3)2=9.
变式训练 如果x2－mx+16是一个完全平方式，那么m的值为_____.
解析：∵16=(±4)2，故－m=2×(±4)，m=±8.
±8
新知应用
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
归纳总结
例2 分解因式：
(1) 16x2+24x+9； (2)－x2+4xy－4y2.
新知应用
解： (1)16x2+24x+9
= (4x+3)2；
= (4x)2+2·4x·3+(3)2
(2)－x2+4xy－4y2
=－(x2－4xy+4y2)
=－(x－2y)2.
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2－12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，恰好是完全平方式.
(2)原式=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=(a+b－6)2.
新知应用
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
归纳总结
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99?；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100－99)?
(2)原式=(34＋16)2
利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
=1.
=2500.
新知应用
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29=0，求x2y2＋2xy＋1的值．
=112=121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29=0，
∴(x－2)2＋(y－5)2=0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2=0，y－5=0，
∴x=2，y=5，
∴x2y2＋2xy＋1=(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
新知应用
∴x2－4x＋4＋y2－10y＋25=0，
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题．
归纳总结
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，
且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)=0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)=0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2=0，
即(a－b)2＋(b－c)2=0，
∴a－b=0，b－c=0，∴a=b=c，
新知应用
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
课堂总结