《5.2.1三角函数的概念（第二课时）》课件（18张PPT）

5. 2. 1 三角函数的概念
第二课时

思考　前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？
因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．
创设情境

x
y
+
-
+
-
cos α
x
y
+
-
-
+
tan α
新知探究
问题1　由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？
x
y
+
+
-
-
sin α

用集合语言表示的结果是：
当α∈{β|2kπ＜β＜2kπ＋π，k∈Z}时，sin α＞0；
当α∈{β|2kπ＋π＜β＜2kπ＋2π，k∈Z}时，sin α＜0；
当α∈{β|β＝kπ，k∈Z}时，sin α＝0．
其他两个函数也有类似结果．
新知探究
问题1　由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？

证明：先证充分性．
因为角θ为第三象限角，
所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，
也可能与y轴的负半轴重合；
又因为②式tan θ＞0成立，
所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．
新知探究
例1　求证：角θ为第三象限角的充要条件是
因为①②式都成立，
所以θ角的终边只能位于第三象限．
于是角θ为第三象限角．

再证必要性．
因为①式sin θ＜0成立，
由定义①②式都成立．
新知探究
例1　求证：角θ为第三象限角的充要条件是

sin（α＋k·2π）＝sin α，
cos（α＋k·2π）＝cos α，
tan（α＋k·2π）＝tan α，
其中k∈Z．
新知探究
问题2　联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？
（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．

（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．
（2）你认为诱导公式一有什么作用？
新知探究
追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？

（1）cos 250°； （2）sin ；
（3）tan（－672°）； （4）tan 3π．
解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos250°＜0；
（2）因为 是第四象限角，所以sin ；
新知探究
例2　确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：

（1）cos 250°； （2）sin ；
（3）tan（－672°）； （4）tan 3π．
解：（3）因为tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan 48°，
新知探究
例2　确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：
而48°是第一象限角，所以tan（－672°）＞0；
（4）因为tan 3π＝tan（π＋2π）＝tan π，而π的终边在x轴上，
所以tan π＝0．

（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）； （2）　　 ；
（3） ．
解：（1）sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）
＝sin 40°10′≈0.645；
（2）
新知探究
例3　求下列三角函数值：

（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）； （2）　　 ；
（3） ．
新知探究
例3　求下列三角函数值：
解：
（3）

教科书第182页练习第1，2，3，4，5题．
课堂练习

作业：教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．
作业布置

目标检测
（1） ； （2） ．
答案：
求下列三角函数的值：
1

目标检测
答案： 等；
角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是，说出几个满足条件的角α．
2

目标检测
②④或②⑤或④⑤
（1）角θ为第二象限角的充要条件是___________________；
（2）角θ为第三象限角的充要条件是___________________．
①④或①⑥或④⑥
对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：
3
再见