《5.2.1三角函数的概念（第一课时）课件（20张PPT）

5. 2. 1 三角函数的概念
第一课时

明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．
创设情境
问题1　如图，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？

x
y
O
α
A(1, 0)
P(x, y)
一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
都是唯一确定的．
新知探究
问题2　如图，当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？

（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？
（2）符号sin?，cos?和tan?分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
（3）为什么说当 时，tan?的值是唯一确定的？
（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是 ？
新知探究
问题3　请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下问题：

（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？
新知探究
问题3　请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下问题：
（1）正弦函数的对应关系：?→点P的纵坐标y；
余弦函数的对应关系：?→点P的横坐标x；
正弦函数的对应关系：?→

（2）符号sin?，cos?和tan?分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
新知探究
问题3　请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下问题：
（2）分别表示y，x， ；引入符号logab表示ax＝b中的x．

新知探究
问题3　请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下问题：
（3）为什么说当 时，tan?的值是唯一确定的？
（3）当 时，如果α确定，那么α的终边确定，
终边与单位圆的交点P确定，
P 点的横、纵坐标x、y就会唯一确定，

新知探究
问题3　请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下问题：
（3）为什么说当 时，tan?的值是唯一确定的？
因此 的值也是唯一确定的，
所以tan α的值也是唯一确定的．

新知探究
问题3　请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下问题：
（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是 ？
（4）当 时，α的终边在y轴上，
这时点P的横坐标x等于0，所以 无意义．
除此之外，对于任意角α，P点的横、纵坐标的值x，y都是存在且唯一确定的．

再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，
AC在x轴的正半轴上，可得出y1＝z1的结论．
对于余弦、正切也有相同的结论．
新知探究
问题5　在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设 ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为z1．y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
解答：作出Rt△ABC，其中∠A＝x，∠C＝90°，

解：如图，在直角坐标系中，作 ，
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，
所以
新知探究
例1 利用三角函数的定义求 的正弦、余弦和正切值．

课堂练习：
（1）利用三角函数定义，求 的三个三角函数值．
（2）说出几个使cos α＝1的α的值．
解：（1）sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0；
不存在．
（2）α＝0，2π，－2π等．
新知探究
M0
M

证明：设角α的终边与单位圆交于点P0（x0，y0）．
分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，
P0
x
y
O
P
则|P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，
新知探究
例2　如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r．
求证：
△OMP∽△OM0P0．

因为y0与y同号，
所以 ，即 ．
同理可得
新知探究
于是 ，即 ．
M0
M
P0
x
y
O
P
例2　如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r．
求证：

追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的．你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？
解：设α是一个任意角，
点P与原点的距离为r，
它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），
则 分别叫做角α的正弦、余弦、正切．
新知探究

课堂练习：
（3）已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s．求2 s时点P所在的位置．
解：以坐标原点为圆心O，
OP所在直线为x轴正方向建立平面直角坐标系．
2 s时点P所在位置记为Q．
因为点P是在半径为2的圆上按顺时针方向作匀速圆周运动，
角速度为1 rad/s，所以圆心角∠POQ＝－2 rad．
新知探究
所以2 s时，点P在该坐标系中的位置为（2cos 2，－2sin 2）．

作业布置
作业： 1．第175页练习；
2．第175页习题5.1A组1－9题．

目标检测
利用三角函数定义，求 的三个三角函数值．
1
答案：

目标检测
已知角θ的终边过点P（－12，5），求角θ的三角函数值．
2
答案：
再见