《5.1.1 任意角》课件（27张PPT）

5.1.1 任意角

（1）本章将要学习的函数是什么？
（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？
（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？
（1）本章将要学习的函数是三角函数；
整体感知
问题1　请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：

（1）本章将要学习的函数是什么？
（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？
（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？
（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；
整体感知
问题1　请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：

（1）本章将要学习的函数是什么？
（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？
（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？
（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用．
整体感知
问题1　请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：

通过角的变化进行刻画．
新知探究
问题2　如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化呢？

（1）
（2）
“前空翻转体540度”
“后空翻转体720度”
如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360°
新知探究
问题3　我们以前所学角都在0°~360°的范围内，生活中有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明．
生活中的实例

追问1　这些角的不同，体现在哪几个方面？
追问2　假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？从几个方向描述角？
（1）
（2）
分针会旋转450°．
假如校准前如图（1），
校准后应该为图（2）．
新知探究
两个方面，一是大小；二是方向．
逆时针旋转；

追问3　以上问题中对角的描述的共性是什么？
都要说清楚角的大小及旋转方向．
新知探究

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
新知探究
问题4　请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？

因此，角可以分为正角、负角、零角．
这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的．
新知探究
问题4　请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？

练习1：你能分别作出210°、－150°、750°、－660°吗？
新知探究
（1）
（2）
（4）
（3）

练习2：你能用作图的方式反映出30°与－30°；30°＋120°与150°；30°－120°与－90°的关系吗？
（3）
（2）
新知探究
（1）

从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β＞0°，则顺时针旋转│β│；若β＜0°，则逆时针旋转│β│；若β＝0°，则不作旋转），这时终边所对应的角是α－β．
如果α＝β，则α－β＝0°；
如果α＜β，则α－β＜0°．
新知探究
追问：对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？
如果α＞β，则α－β＞0°；

为了方便，使角的顶点与原点重合，
根据角终边所在象限，
将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；
在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．
角的始边与x轴的非负半轴重合，
新知探究
问题5　在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？

练习3：教材第171页第1、2、3题．
2．三，三，五．
3．（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角．
新知探究
1．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角．

还有－392°、328°、688°等等；
有无数个；相差360°的整数倍；
{β｜β＝－32°＋k·360°，k∈Z}；
与α终边相同角的集合为{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}
新知探究
问题6　在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？将－32°推广到一般角 ，结论应该是什么？

解：与－950°12′角终边相同的角可以写成
{β｜β＝－950°12′＋k·360°，k∈Z}，
当k＝3时，β＝129°48′，它是第二象限角．
新知探究
例1　在0°~360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
分析：首先可以考虑清楚下列问题：这些角终边在几条射线上？

两条射线上的角均相差180°的整数倍；
终边落在每条射线上的角如何表示？
这两条射线上的角都相差多少度？
能不能用一个集合表示这所有的角？
这些角终边在两条射线上；
终边落在y轴正、负半轴上的角的集合分别为
k∈Z}、{β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}；
解：{β｜β＝90°＋k·180°，k∈Z}．
{β｜β＝90°＋k·360°，
新知探究
例2　写出终边在y轴上的角的集合．

解：S＝{β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}；
分析：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？
判断的根据是什么？
因为所求角的范围包含了三周，
而直线y＝x在一周内有两条射线，
因此满足条件的元素有六个．
－315°、－135°、45°、225°、405°、585°．
新知探究
例3　写出终边在直线 上的角的集合 ． 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？

归纳小结
三角函数的主要作用就是刻画现实生活中的周期现象；
它的研究方法与其它基本初等函数一样，
出图象，观察图象研究性质，
先抽象出定义，
角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角；
再由定义作
最后是其初步应用；
问题7　通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容?其作用是什么?其基本的研究方法是什么?本节课关于角的概念出现了几个定义?分别是怎样规定的?你能从数与形两个角度进行描述吗?能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容?
本节课我们学习了三角函数；

归纳小结
时针方向旋转形成的角叫做负角．
称它形成了一个零角．
的始边与x轴的非负半轴重合，
在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，
限角．
角
角的终边落在第几象限就称角为第几象
按顺
如果一条射线没有做任何旋转，就
问题7　通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容?其作用是什么?其基本的研究方法是什么?本节课关于角的概念出现了几个定义?分别是怎样规定的?你能从数与形两个角度进行描述吗?能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容?
规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，

归纳小结
轴重合，
S＝｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝，
表示成角α与整数个周角的和．
即任一与角α终边相同的角，
旋转整数周回到原来的位置”．
都可以
从形上看，
角的始边与x轴的非负半
所有与角α终边相同的角，
连同角α在内，可构成一个集合
终边相同的角就是“终边
问题7　通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容?其作用是什么?其基本的研究方法是什么?本节课关于角的概念出现了几个定义?分别是怎样规定的?你能从数与形两个角度进行描述吗?能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容?
在直角坐标系中， 将角的顶点与原点重合，

归纳小结
问题7　通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容?其作用是什么?其基本的研究方法是什么?本节课关于角的概念出现了几个定义?分别是怎样规定的?你能从数与形两个角度进行描述吗?能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容?
实际问题
任意角
象限角
性质
定义
表示
度量
运算
终边相同角

作业布置
（1）分别写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合；
（2）预习5.1.2弧度制的内容；
（3）第175页习题5.1复习巩固1、2．

目标检测
终边在坐标轴上的角的集合为 ．
写出终边在x轴与坐标轴上的角的集合．
1
答案：终边在x轴上的角的集合为{α｜α＝kπ，k∈Z}；

目标检测
（1）1303°18′； （2）－225°．
－496°42′、－136°42′、223°18′；
（2）S＝{β｜β＝－225°＋k·360°，k∈Z}；
－585°、－225°、135°．
写出与下列各角度终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β．
2
解答：（1）S＝{β｜β＝1303°18′＋k·360°，k∈Z}；
再见