(共20张PPT)
1.1.2
弧度制
●情境引入
有人问：聊城到济南有多远时，有人回答约120公里，但也有人回答约75英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里
1.6公里）
◆知识回顾
同学们还记得我们在初中是如何定义“1度的角”吗？
0
0°
无旋转
负数
正数
0
旋转方向
180°＝π
rad
1°＝
rad≈0.01
745rad
1
rad＝
°
≈57.30°
●思考
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系，这样的关系有什么作用呢？
正角
零角
负角
正实数
0
负实数
任意角的集合
实数集R
1、为后面定义三角函数做铺垫
2、简化了一些复杂的公式
B
C
莱昂哈德·欧拉（Leonhard?Euler，1707年4月15日－1783年9月18日），瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一。1707年欧拉生于瑞士的巴塞尔，13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学等课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
欧拉早在1748年提出了弧度制的思想，从而大大简化了三角公式及其计算！
◆作业布置
习题1.1A组4、5、6题
预习1.2.1学案1.1.2弧度制
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6)
使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点
重点:
理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
难点:
理解弧度制定义，弧度制的运用.
三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:计算器、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
有人问：聊城到济南有多远时，有人回答约120公里，但也有人回答约75英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.
弧的长
旋转的方向
的弧度数
的度数
逆时针方向
逆时针方向
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地,
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?
角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.
5.根据探究中填空:
,度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
6.例题讲解
例1.
(1)
把112°30′化成弧度；
(2)
把－化成角度．
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.
7.
填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
度
弧度
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
8.例题讲评
例2.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1);
(2);
(3).
其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.
9.练习
（1）．经过一小时，时针转过了
( )
A．
rad
B．－
rad
C．
rad
D．－
rad
（2）．若α＝－3，则角α的终边在
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10.学习小结
（1）．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
（2）．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π
rad”这一关系式．
易知：度数×
rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
（3）．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
五、评价设计
?
1．习题1.1A组4、5、6题
?
预习1.2.1学案1.1.2 弧度制评测练习
一、基础过关
1．
－300°化为弧度是
( )
A．－π
B．－π
C．－π
D．－π
2．
集合A＝与集合B＝的关系是(
)
A．A＝B
B．A?B
C．B?A
D．以上都不对
3．
已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
( )
A．2
B．sin
2
C.
D．2sin
1
4．
已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于
( )
A．?
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．
若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
6．
若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______.
7．
用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．
8．
用30
cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
二、能力提升
9．
扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为
( )
A．1∶3
B．2∶3
C．4∶3
D．4∶9
10．已知α为第二象限的角，则π－所在的象限是
( )
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
11．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.
12.
如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，
依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1
s内转过的角度为θ
(0<θ<π)，经过2
s达到第三象限，经过14
s后又回到了出发点A处，
求θ.
三、探究与拓展
13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c
(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
答案
1．B 2.A 3.C 4.D 5.25 6.或
7．(1)
(2)
8．
当扇形的圆心角为2
rad，半径为
cm时，面积最大，为
cm2
9．B
10．D 11．－，－，，
12．解 因为0<θ<π，
且2kπ＋π<2θ<2kπ＋(k∈Z)，
则必有k＝0，于是<θ<，
又14θ＝2nπ(n∈Z)，所以θ＝，
从而<<，即所以n＝4或5，故θ＝或.
13．解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，
∴l＝αR＝
(cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×2×10×sin
×10×cos
＝50
(cm2)．
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，
∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R
＝－R2＋cR＝－2＋.
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.
