北师大版九年级数学上册 同步练习 1.2 矩形的性质与判定（Word版含答案）

1.2
矩形的性质与判定
一．选择题
1．下列说法中，不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．同位角相等
C．一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形
D．矩形的对角线相等且互相平分
2．如图，点E与点F是矩形ABCD两条对边AD与BC的中点，分别过点D，B作对角线AC的垂线，垂足为点G，H，顺次连接E，H，F，G，得到四边形EHFG，若AB＝4，BC＝8，则四边形EHFG的面积是（　　）
A．
B．8
C．
D．
3．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AE平分∠BAD，AE交BC于E．则下列的结论：
①△OBE是等腰三角形；
②BE＝2OE；
③∠AEO＝30°；
④S△ABE＝3S△OEC．
其中正确的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（　　）cm．
A．14
B．20
C．28
D．30
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形所在平面作直角三角形BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为（　　）
A．
B．1
C．2
D．3
7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是（　　）
A．15°
B．15.5°
C．20°
D．37.5°
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACD＝30°．如果△ABC的周长比△AOB的周长大10，那么矩形ABCD的边AB的长是（　　）
A．5
B．10
C．10
D．20
9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为（　　）
A．43°
B．34°
C．33°
D．19°
10．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（　　）
A．6
B．
C．5
D．
11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（　　）
A．4
B．8
C．2
D．4
12．下列语句正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．矩形的对角线相等
D．平行四边形是轴对称图形
二．填空题
13．如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为　
　．
14．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为　
　（用含a，b的式子表示）．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（5，0），（0，3），点P在BC边上运动，当△OAP是等腰三角形时，点P的坐标为　
　．
16．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为　
　．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，则此时点A的横坐标为　
　．
18．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝　
　度．
三．解答题
19．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，A．BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）当AD与BD满足什么数量关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．
（1）当t＝　
　时，两点停止运动；
（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？
21．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AB＝14，DE＝8，求BE的长．
参考答案
一．选择题
1．
B
2．D．
3．
A．
4．
B．
5．
C．
6．
B．
7．
A．
8．
C．
9．
C．
10．
D．
11．
D．
12．
C．
二．填空题
13．
0.3125cm2．
14．
4b﹣2a．
15．（，3）或（4，3）或（1，3）．
16．
4或5或6或16．
17．
．
18．
36．
三．解答题
19．（1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ADE＝∠FBC，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA）；
（2）解：AD＝BD，四边形DEBF是矩形．理由如下：
∵△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴平行四边形ABCD是矩形．
20．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，
∴AB+BC＝BC+CD＝14，
∵14÷2＝7，
∴t＝7；
故答案为：7；
（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，
分情况讨论：
当0＜t≤4时，若BP＝BQ，则6﹣t＝2t，
∴t＝2；
当4＜t≤6时，
若PQ＝BQ，则PB＝2CQ，6﹣t＝2（2t﹣8），
∴t＝；
当6＜t＜7时，由题意可知不存在；
综上所述，当t为2或时，△BPQ是等腰三角形．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝CE，
∴FE＝BC，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形AFED是矩形．
（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，
∵AD＝7，BE＝2，
∴FE＝7，
∴FB＝FE﹣BE＝5，
∴CE＝BF＝5，
∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，
∵∠ABF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB＝5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴OF＝AC＝．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF＝∠F．
∵∠F＝45°，
∴∠DAE＝45°．
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB＝∠DAE＝45°．
∴∠DAB＝90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°．
∵AB＝14，DE＝8，
∴CE＝6．
在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，
∴∠DEA＝∠DAE＝45°．
∴AD＝DE＝8．
∴BC＝8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：