人教版九年级数学上册 24.1 圆的有关性质复习讲义（Word版 无答案）

第二十四章
圆
圆的有关性质
知识点一
1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”.
2.与圆有关的概念
（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径）
弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条
弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
运用垂径定理解题时的模型如下：如图，设⊙O的半径为r，圆心到弦的距离是d，弦长是a，三者之间的关系是
常见的辅助线：(1)连半径，构造直角三角形；(2)作弦心距，构造直角三角形．
注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距，构造Rt△，再结合勾股定理求解.
典例精析
例1.如图,AB
为圆
O
的直径,弦
CD⊥AB,垂足为点
E,连结
OC,若
AB=10,CD=8,则
AE
的长度为（
）
A.2.5
B.3
C.2
D.1
或4
【变式1】如图,AB
为圆
O
的直径,弦
CD⊥AB,垂足为点
E,连结
OC。若AE长为2，CD长为8，半径为
.
【变式2】如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM=6，则⊙O的弦AB等于（
）
A.8
B.10
C.12
D.16
【变式3】在⊙O中，P为圆内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（　　）
A.2
cm
B.2
cm
C.2cm
D.1cm
例2.(1)如图,⊙O的半径为5,弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，则MN的长是_________.
⊙O的半径为25cm,AB、CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=30cm,CD=48cm,则AB和CD之间的距离为
.
例3.如图,AB是⊙O的弦,AB长为8,P是⊙O上一个动点（不与A.?B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为
.
例4.如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为　
　．
例5.如图，∠C=90°，以AC为半径的圆C与AB相交于点D．若AC=3，CB=4，求BD长．
例6.如图，已知在圆
O
中，∠A=∠B=60°，BC为圆O的弦,若
OA=6，AB=8，求弦BC的长.
基础训练
1.下列命题中，正确的是（
）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
2.点
P
到⊙O
的最近点的距离为
4cm，最远点的距离为
9cm，则⊙O
的半径是（
）
A.2.5cm
或
6.5cm
B.2.5cm
C.6.5cm
D.13cm
或
5cm
3.P
为⊙O
内一点,OP=3cm,⊙O
半径为
5cm,则经过
P
点的最短弦长为
；最长弦长为
.
4.已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为
cm.
5.在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为
cm.
6.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
7.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为(
)
A．5米
B．8米
C．7米
D．5米
8.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面
AB
宽为
8cm，水面最深地方的高度为
2cm，
则该输水管的半径为
.
9.在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦之间的距离为??
?
?.
10.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10
mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8
mm，如图4，则这个小圆孔的宽口AB的长度为_______mm.
巩固提高
1.如图,在☉O中,弦AB⊥AC,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,若AB=8
cm,AC=6
cm,则☉O的半径OA的长为(　　)
A.7
cm　　　B.6
cm　　　C.5
cm　　　D.4
cm
2.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3cm，则CD＝
cm.
3.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．2.5
4.如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
5.如图，O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交O于B、C点，则BC=（
）
A.6
B.6
C.?3
D.3
6.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为(
)
A．2
B．8
C．2或8
D．2或3
7.如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在弧MN上,且不与M,N重合,当P点在弧MN上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则的值（
）
A.
变大
B.
变小
C.
不变
D.
不能确定
8.如图,AB为☉O的弦,P为AB上一点,且PA=8,PB=6,OP=4,则☉O的半径为　　　　.?
9.下图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是　　　　mm.?
10.如图,AB
是⊙O
的直径,弦
CD⊥AB
于点
E,∠CDB=30°，⊙O
的半径为cm,则弦
CD
的长为
.
11.如图，已知⊙O
的直径
AB
和弦
CD
交于
E,已知
AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=30°.求弦
CD
的长.
12.如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12．
求⊙O的半径.
13.如图，已知
Rt△ABC
中,∠C=90°,以
C
为圆心,CA
为半径作圆
C,与
AB、BC
分别交于
D、E
两点.若
AC=4，
BC=8,求
AB
及
AD
的长度.
14.如图，在半径为5的四分之一圆中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝6时，求线段OD的长；
（2）连接AB，求DE的长．
尖子培优
1.如图,点C是⊙O上一点,⊙O的半径为,D,E分别是弦AC,BC上一动点,且OD=OE=,则AB的最大值为(　　)
A.2　　　B.2　　　C.2　　　D.4
2.在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆过点A(0,3),直线y=kx-3k+4(k≠0)与☉O交于B,C两点,则弦BC的长的最小值为　　　　.?
3.如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF，正方形CDEF面积为
.
4.如图,⊙O
过点
B、C，圆心
O
在等腰直角△ABC
的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则圆
O
的半径为
.
5.如图，AB、CD
是半径为
5
的⊙O
的两条弦，AB=8，CD=6，MN
是直径，AB⊥
MN
于点
E，CD⊥M
N
于点
F，P
为
EF
上的任意一点，则
PA+PC
的最小值为多少．
知识点二
1.
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2.
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
3.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
5.定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．
典例精析
例1.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(
)
①＝；②＝；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为(
)
A．AB>CD
B．AB＝CD
C．ABD．不能确定
例3.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是（
）
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°
例4.如图，A,B,C为⊙O上三点，∠OAB=50°，∠ACB=_______度.
例5圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是________.
例6.已知,△ABC内接于O,BC是O的直径,点E在O上,OE∥AC,连结AE,若∠AEO=20°，则∠B的度数是_________.
例7.如图,半径为5的☉A经过点C和点O,点B是y轴右侧☉A的优弧上一点,∠OBC=30°,则点C的坐标为
.
?
例8.如图,半径为5的圆A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的弦心距等于(
)
A.
B.?
C.4
D.3
例9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC。若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为
.
例10.如图,在O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=
.
例11.如图,∠AOB=90°,CD是弧AB的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F.?
求证：AE=BF=CD.
例12.如图,△ABC
内接于⊙O,∠BAC
与∠ABC
的角平分线
AE,BE
相交于点
E,延长
AE
交⊙O
于点
D,连接
BD,CD,
且∠BCA=60°.
（1）求∠BED的大小；
（2）求证:△BED为等边三角形；
（3）若∠ADC=30°,⊙O的半径为r,求等边三角形BED的边长．
基础训练
1.如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(
)
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
2.如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是(
)
A．51°
B．56°
C．68°
D．78°
3.
如图，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠AOC＝130°，
则弧AD的度数为_______，
∠CAD的度数为_____________，∠ACD的度数为
___________．
4.如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上一点，且，是延长线上一点，与半圆相交于点，如果，则
，
，
．
5.
如图，弧ACB与弧ADB的度数比是4:5，则
，
,
，
．
6.如图，△内接于圆O，，点，分别在弧AC和弧BC上，若，则
，
.
7.如图，已知：圆O是△的外接圆，，，则=_____度．
8.如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度.
9.
若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于_____________.
10.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以点C为圆心，4cm为半径作圆。则A、B、C、D四点在圆内有_____________个.
11.如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是上任一点(不与A、C重合),则
∠ADC的度数是________.毛
12.如图四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有______对相等的角.
13.已知,如图,∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
14.如图,AB是⊙O的直径,
,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.
巩固提高
1.如图所示，△内接于⊙O，点是弧AC上任意一点（不与重合），的取值范围是
．
第1题
第2题
第4题
2.如图,AB是⊙O的直径,已知AB=2,C,D是⊙O上的两点,且+=,M是AB上一点,则MC+MD的最小值是　　　　.?
3.已知在半径为2的O中,圆内接△ABC的边AB=2，则∠C的度数为
.
4.如图,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB=
30°,
则点O
到CD
的距离OE=______，
OD=
.
第5题
第6题
第8题
6.如图所示，⊙O中，弦的延长线相交于点，如果，，那么
．
7.若O为的外心，且,则.
8.如图,⊙O的直径AB为4,点C在⊙O上,∠ACB的平分线交☉O于点D,连接AD、BD,则AD的长等于
.
综合题
1.如图,△ABC为等边三角形,点O在过点A且平行于BC的直线上运动,以△ABC的高为半径的⊙O分别交线段AB、AC于点E、F,则弧EF所对的圆周角的度数为　(　　)
A.从0°到30°变化　　B.从30°到60°变化
C.总等于30°　　D.总等于60°
2.如图,AB
是⊙O
直径,CD
是⊙O
弦,AB，CD
的延长线交于
E,AB=2DE,∠E=18°,∠C=
,
∠AOC=
_____________.
3.如图,AB是☉O的弦,AB=10,点C是☉O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M、N分别是AB、BC的中点,则MN长的最大值是　　　　.?
4．如图,AB是☉O的一条弦,点C是☉O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与☉O交于G、H两点.若☉O的半径为7,则GE+FH的最大值为　　　　.?
5.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=4
cm,∠CAB=60°,P是弧BC上的一个动点,连接AP,过C点作CD⊥AP于D,连接BD,在点P移动的过程中,BD的最小值是　　　　cm.?
如图,⊙O
的直径
AB=8,P
是圆上任一点(A、B
除外),∠APB
的平分线交⊙O
于
C,弦
EF
过
AC、BC
的中点
M、N,
则
EF
的长是
.
如图，⊙O
的半径是
2，直线
l
与⊙O
相交于
A、B
两点，M、N
是⊙O
上的两个动点，且在直线
l
的异侧，若∠
AMB=45°，则四边形
MANB
面积的最大值是
.
如图,已知⊙O
为△ABC
的外接圆,CE
是⊙O
的直径,CD⊥AB,D
为垂足.
求证:∠ACD=∠BCE.
9.已知四边形ABCD内接于O,∠D=90°,P为弧CD上一动点(不与点C,D重合).
(1)若∠BPC=30°，BC=3，求O的半径；
(2)若∠A=90°,弧AD=弧AB，求证：PB?PD=PC.
10.如图,点C为△ABD的外接圆上的一动点(点C不在弧BAD上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°
(1)求证：BD是该外接圆的直径；
(2)连结CD,求证：AC=BC+CD；
(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究,,三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
11.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与A,C重合)，延长BD至E.?
(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；
(2)若∠BAC=30?，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长.
12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F
是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E.?
?
⑴
求证：AB＝AC.?
⑵
若BD＝11，DE＝2，求CD的长.