人教版数学九年级上册21.3.2探究2“成本核算（利润问题）”教案

21.3
实际问题与一元二次方程----探究2
--------之增长率、下降率问题
案例实施背景分析
本节课是在一个乡村中学的多媒体教室里上的一节课，而参与上课的数学优秀生、中等生及后进生都有，所用教材为人教版义务教育教科书九年级数学（上册）。
案例描述（过程再现）
本节课是人教版义务教育教科书九年级数学（上册）第二十一章第3节内容中的一个问题——探索增长率、下降率，它是一元二次方程知识的实际应用，它是该章内容的延伸与实际生活的有力结合，更是在中考中常常出现的一个得分题，对于中考生而言有着重要的意义。
《数学课程标准》强调:数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程;动手实践，自主探索，合作交流是孩子学习数学的重要方式;合作交流的的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。
本节课将以“生活·数学”，“活动与思考”“表达·应用”为生活开展课堂数学，让学生通过基本的生活素材创设问题情境，从而引导学生活动，思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。
案例教学目标
知识与技能:
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果是否合理。
过程与方法:
1、经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
2、通过成本降低、能源增长等实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，发展实践应用意识。
3、联系实际，让生活进一步经历“问题情境?建立等量关系-求解-与实际相结合”的过程培养学生分析问题从而使学生形成数学与生活的链接。
情感态度与价值观:
让学生体验数学的乐趣，也增强学生学习数学的热情和勇于探索的精神。
案例重点、难点
重点:
1、利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题
2、一元二次在实际问题中的应用，列方程、解应用题。
难点:
1、理清增长率问题中的数量关系
2、会用含未知数的代数式表示题目里的中间量(简称关系式);能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理。
案例教学用具
教具:多媒体平台及多媒体课件
案例教学过程
（一）创设情景，导入新课
教师活动：上一节课我们学习了连续传播的问题，感受了“一传十，十传百，百传千千万”的威力。今天我们继续来探究这类问题的新类型。请同学们思考四个小问题。
某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则:
二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。（填具体数字）
某厂今年1月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x
，则：
二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。（填含有X的式子）
某种商品原价是100元，平均每次降价10%，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。（填具体数字）
4、某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。（填含有X的式子）
学生活动：组织学生分小猪讨论，请四位同学回答，师生共同完善，引导学生发现问题的联系。
学生活动：学生思考、讨论，发表意见。
如果学生讨论后只会由第一个空的结果推算出第二个空的答案，则引导学生列出式子从而发现它们的联系。
(为学生创设一个由特殊到一般的问题思考情境，为探究活动做好铺垫。)
（二）合作探究，得出规律
通过上面四个小问题的探究发现，请同学们小显身手试一试：
1、某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次提价的百分率。设平均每次提价的百分率为x，下列所列方程中正确的是（
）
A、100（1+x）2=120
B、100（1-x）2=120
C、120（1+x）2=100
D、120（1-x）2=100
上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。下列所列方程中正确的是（
）
A
、168（1+x）2=128
B、168（1-x）2=128
C、128（1+x）2=168
D、128（1-x）2=168
对比增长与减少的问题，你有什么发现？与同学交流，
板书
归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：
原数（1
＋
平均增长率）2
=
新数
原数（1
－
平均减少率）2
=
新数
鼓励学生合作交流，引导学生语言清楚、准确的表达规律。
（学生可能能正确的选择答案，但是在表述规律时可能会表达不清，在讨论中可能合作意识不强。）
通过这两个问题的对比学生很容易发现两个方程的联系和区别，进而发现规律，促使学生继续探究。
（三）自主学习理解教材
课本P46，多媒体出示探究2
问题1：你是如何理解下降额与下降率的？他们之间的联系与区别是什么？试举例说明
问题2：在该题中，若设甲种药品成本的平均下降率为x
，请填下表
甲种药品
两年前1吨甲种药品成本
一年后甲种药品成本
两年后甲种药品成本
根据题意列出一元二次方程
问题3：请解出①，得X1
=；X2
=。
问题4：对问题3的结果你还有什么见解吗？
问题5：根据下表请求出乙种药品的年平均下降率，比较两种药品哪个的年平均下降率大。
乙种药品
两年前1吨乙种药品成本
一年后乙种
药品成本
两年后乙种
药品成本
根据题意列出一元二次方程
请解出②，得
X1=；
X2=。
问题6：经过这个问题的解决，你对下降额与下降率有了新的认识吗？
分别请两位同学完成问题1、2，注意鼓励与评价，独立解决问题3，组织学生讨论问题4引导学生根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。完成后，学生独立完成问题5，组织学生讨论问题6，关注学生的语言表达，引导学生举例形成认识。
学生思考，举例说明。因为有活动（二）的基础，请两位同学分别完成问题1、2.学生可能问题不大。在解方程的时候，学生可能会因为没有计算器而无法开方，我给予一定的提示。对于问题6学生回答问题时可能语言表达不够准确。
学生通过探究与讨论，感受连续两次两次降低问题中的数量关系，巩固方程的解法，并领会解的实际意义，感受下降额与下降率的联系与区别。
（四）知识归纳
师生共同归纳
：
经过计算发现：变化额与变化率不同，成本下降额较大的产品，它的成本下降率不一定大，应结合实际问题综合考虑。
增长率问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式：若平均增长率为x，增长（或降低）前的量为a,增长（或降低）前的量为b,则它们的数量关系可表示为
a(1+x)2=b或a(1-x)2=b
（五）巩固练习
教师出示习题：学生先独立思考，分小组讨论完成；教师对全部学生的分数归拢，了解学生对知识的掌握情况，有的放矢。
1、某厂今年一月份的总产量是500吨，三月份的总产量是720吨，设平均增长率是x,可列方程为：——
2、某校去年对实验器材的投资是2万元，预计今明两年的投资总额是8万元，若该校今明两年对器材投资的平均增长率是x,则可列方程为：——
（生独立思考，互相交流，引导学生注意审题。请一位同学展示结果，与同学分享。
学生可能还是会马虎大意，不注意题目求的是增长额还是增长率，造成混淆答题，引导学生注意审题。
在充分的理解掌握问题的解题方法后，学生自然会产生动手实践的欲望，给学生展示与挑战的空间，增强学生的自信心和成就感。）
（六）布置作业：（1）教科书第21页6、7两题为作业
（2）预习下一节图形设计问题。
（七）板书设计
21.3实际问题与一元二次方程（2）
平均增长率（或平均减少率）问题：
增长率问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式：若平均增长率为x，增长（或降低）前的量为a,增长（或降低）前的量为b,则它们的数量关系可表示为
a(1+x)2=b或a(1-x)2=b