苏科版九年级数学下册5.5 用二次函数解决问题同步练习卷（Word版 含解析）

2020-2021学年第一学期
初三数学《5.5
用二次函数解决问题》同步练习卷
一．选择题（共10小题）
1．已知点M（m，2018），N（n，2018）是二次函数y＝ax2+bx+2017图象上的两个不同的点，则当x＝m+n时，其函数值y＝（　　）
A．2019
B．2018
C．2017
D．2016
2．下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．有最低点
D．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的
3．二次函数y＝2x2+3的顶点坐标为（　　）
A．（2，0）
B．（2，3）
C．（3，0）
D．（0，3）
4．已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上两点A（a，y1），B（1，y2），其中a＜1，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1＝y2
D．无法判断
5．二次函数y＝x2﹣2x图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，1）
B．（﹣1，1）
C．（1，﹣1）
D．（﹣1，﹣1）
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第三象限，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是（　　）
A．﹣6＜m＜0
B．﹣6＜m＜﹣3
C．﹣3＜m＜0
D．﹣3＜m＜﹣1
7．将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向上平移3个单位长度，再向右平移一个单位长度（　　）
A．y＝2x2
B．y＝2（x+2）2
C．y＝2x2﹣6
D．y＝2（x+2）2﹣6
8．将抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．对于二次函数
y＝（x﹣1）2+2
的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．顶点坐标是（﹣1，2）
C．对称轴是
x＝1
D．与
x
轴有两个交点
二．填空题（共8小题）
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，y1），（2，y2），则y1　
　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．将抛物线y＝﹣2x2先向上平移3个单位，再向右平移2个单位后得到的新抛物线对应的函数表达式为　
　．
13．抛物线y＝﹣x2开口向　
　．
14．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为　
　个．
15．函数y＝x2+3x+1的顶点坐标是　
　．
16．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为　
　．
17．抛物线y＝2x2+3上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，y＝　
　．
18．二次函数y＝2x2的图象如图所示，坐标原点O，点B1，B2，B3在y轴的正半轴上，点A1，A2，A3在二次函数y＝2x2位于第一象限的图象上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3都为等腰直角三角形，且点A1，A2，A3均为直角顶点，则点A3的坐标是　
　．
三．解答题（共6小题）
19．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
20．二次函数y＝ax2与直线y＝2x﹣1的图象交于点P（1，m）
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？
（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
21．求出抛物线的最大值，并说明该抛物线是由哪一条形如y＝ax2的抛物线经过怎样的变换得到的？
22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A、B、C三点．
（1）求出抛物线解析式和顶点坐标；
（2）当﹣2＜x＜2时，求函数值y的范围；
（3）根据图象回答，当x取何值时，y＞0？
23．已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，
①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据二次函数的对称性用m、n表示出二次函数图象的对称轴，可得x＝m+n＝﹣，然后代入解析式求解即可．
【解答】解：∵当x＝m和x＝n时，y的值相等，
∴x＝﹣＝，
∴m+n＝﹣，
当x＝m+n时，则y＝a（﹣）2+b（﹣）+2017＝2017
∴当x＝m+n时，二次函数y的值是2017．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的对称性，根据题意用m、n表示出抛物线的对称轴并得出x＝m+n＝﹣是解题的关键．
2．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣（x）2+，
∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；
对称轴是直线x＝，故选项B错误；
当x＝时取得最大值，该函数有最高点，故选项C错误；
在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．【分析】根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：二次函数y＝2x2+3的顶点坐标为（0，3），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称是解题的关键．
4．【分析】先根据函数的解析式得出函数的对称轴是直线x＝2，开口向下，再进行比较即可．
【解答】解：∵函数y＝﹣（x﹣2）2，
∴函数的对称轴是直线x＝2，开口向下，
∵图象上两点A（a，y1），B（1，y2），其中a＜1，
∴y1＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次函数的图象和性质内容是解此题的关键．
5．【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．【分析】先根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（0，﹣3）和（1，0），可以求出a、b、c之间的等量关系，再根据顶点在第三象限，可以求出a与b的关系．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（1，0）和点（0，﹣3），
∴c＝﹣3，a+b+c＝0，
即b＝3﹣a，
∵顶点在第三象限，
∴﹣＜0，＜0，
又∵a＞0，
∴b＞0，
∴b＝3﹣a＞0，即a＜3，
b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0
∵a+b+c＝0，
∴a﹣b+c＝﹣2b＜0，
∴a﹣b+c＝﹣2b＝2a﹣6，
∵0＜a＜3，
∴a﹣b+c＝﹣2b＝2a﹣6＞﹣6，
∴﹣6＜a﹣b+c＜0．
∴﹣6＜m＜0．
故选：A．
【点评】考查了二次函数图象与系数的关系，此题要求学生熟悉二次函数与一元二次方程的关系和图象与坐标轴交点的含义，并熟练运用．
7．【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∵先向上平移3个单位长度，再向右平移一个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点横坐标为﹣1+1＝0，
纵坐标为﹣3+3＝0，
∴平移后的抛物线解析式为y＝2x2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
8．【分析】直接根据平移的规律即可求得答案．
【解答】解：
∵将抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
9．【分析】可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
10．【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及最小值，则可得出答案．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为x＝1，
∴A、B不正确，C正确，
∵抛物线开口向上，最小值为2，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴D不正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
二．填空题（共8小题）
11．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝1，可知离对称轴的距离越大，函数值越大．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵该函数经过点（﹣1，y1），（2，y2），|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则求得新的抛物线解析式．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到新的抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2+3．
故答案是：y＝﹣2（x﹣2）2+3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
13．【分析】根据二次函数解析式可得a＝﹣1＜0，因此抛物线开口向下．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2开口向下，
故答案为：下．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口只与二次项系数a有关．
14．【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
故答案为：3．
15．【分析】运用完全平方式将二次函数表达式化为顶点式表达式求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+3x+1＝（x+）2﹣，
∴此函数的顶点坐标是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是运用完全平方式将二次函数表达式化为顶点式表达式．
16．【分析】首先在坐标系中画出已知函数y＝的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有2个的k值．
【解答】解：函数y＝的图象如图：
根据图象知道当y＝﹣1或y＞3时，对应成立的x值恰好有2个，
所以k＝﹣1或k＞3．
故答案为：k＝﹣1或k＞3．
17．【分析】先由x1≠x2，y1＝y2，可知点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于抛物线y＝2x2+3的对称轴对称，由此求出x＝x1+x2＝0，再将x＝0代入，即可求出y的值．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+3上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，
∴点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于抛物线y＝2x2+3的对称轴对称．
∵对称轴为直线x＝0，
∴x1+x2＝2×0＝0，
将x＝0代入，得y＝2×02+3＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键二次函数的对称性对称点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于抛物线y＝2x2+3的对称轴对称，由此求出x＝x1+x2＝0是解题的关键．
18．【分析】过A1，A2，A3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设OB1＝a，B1B2＝b，B2B3＝c，则AA1＝a，BA2＝b，CA3＝c，再根据等腰直角三角形的性质，分别表示A1，A2，A3的纵坐标，逐步代入抛物线y＝2x2中，求a、b、c的值，得出点A3的坐标．
【解答】解：分别过A1，A2，A3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设OB1＝a，B1B2＝b，B2B3＝c，则AA1＝a，BA2＝b，CA3＝c，
在等腰直角△OB1A1中，A1（a，a），
代入y＝2x2中，得a＝2（a）2，解得a＝1，
∴A1（，），
在等腰直角△B1A2B2中，A2（b，1+b），
代入y＝2x2中，得1+b＝2?（b）2，解得b＝2，
∴A2（1，2），
在等腰直角△B2A3B3中，A3（c，3+），
代入y＝2x2中，得3+c＝2?（c）2，解得c＝3，
∴A3（，），
故答案为（，）．
三．解答题（共6小题）
19．【分析】（1）确定出顶点坐标和与x轴的交点坐标，然后作出大致函数图象即可；
（2）根据函数图象写出二次函数图象在x轴下方的部分的x的取值范围；
（3）根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的二次函数图象的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【解答】解：（1）函数图象如图所示；
（2）当y＜0时，x的取值范围：x＜0或x＞2；
（3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），
∴平移后图象所对应的函数关系式为：y＝﹣（x+2）2．（或y＝﹣x2﹣4x﹣4）
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，以及二次函数图象与几何变换，作二次函数图象一般先求出与x轴的交点坐标和顶点坐标．
20．【分析】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y＝ax2与直线y＝2x﹣1即可求出未知数的值；
（2）把a代入二次函数y＝ax2与即可求出二次函数表达式；
根据二次函数的对称轴及增减性判断出x的取值．
（3）根据二次函数的性质直接写出即可．
【解答】解：（1）点P（1，m）在y＝2x﹣1的图象上
∴m＝2×1﹣1＝1代入y＝ax2
∴a＝1
（2）∵点P在在y＝ax2图象上，
∴得a＝1
∴次函数表达式：y＝x2
∵函数y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）y＝x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．
21．【分析】先把抛物线化为顶点式，即可求出最大值，根据上加下减，左加右减的平移原则即可说明该抛物线是由哪一条形如y＝ax2的抛物线经过怎样的变换得到的．
【解答】解：抛物线，
y＝﹣（x﹣1）2+3，当x＝1时，y取最大值为3，
故该抛物线是由y＝﹣x2经过向上平移3个单位得到y＝﹣x2+3，
再把y＝﹣x2+3中的x向右平移1个单位得到：y＝﹣（x﹣1）2+3．
【点评】本题考查了二次函数的最值及二次函数图象与几何变换，难度一般，关键是掌握用配方法求最值和上加下减，左加右减的平移原则．
22．【分析】（1）根据图象得A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），代入y＝ax2+bx+c中，解方程组可求a、b、c的值，从而确定顶点坐标；
（2）根据对称轴（顶点）的位置，开口方向，确定当﹣2＜x＜2时，y的最大值和最小值；
（3）已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为x＝1，可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合开口方向判断当y＞0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5）代入y＝ax2+bx+c中，得
，解得
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，即y＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵对称轴x＝1，开口向上，
∴当﹣2＜x＜2时，y有最小值为﹣4，
x＝﹣2时，对应点离对称轴较远，函数有最大值为5，
∴﹣4≤y＜5；
（3）∵抛物线经过A（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
又抛物线开口向上，
∴当x＞3或x＜﹣1时，y＞0．
23．【分析】（1）把（﹣2，5）代入二次函数y＝x2+bx﹣3，求出b，根据图象的对称轴即可得出y的范围；
（2）①不能，因为代入求出y1＝5，y2＝12，y3＝21，不符合三边关系定理；②求出y1+y2﹣y3的值即可．
【解答】解：（1）把（﹣2，5）代入二次函数y＝x2+bx﹣3得：5＝4﹣2b﹣3，
∴b＝﹣2，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x＝1，
把x＝1代入得：y＝﹣4，
把x＝3代入得：y＝0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0，
答：b的值是﹣2，当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0．
（2）①答：当m＝4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m＝4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P3（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1＝5，y2＝12，y3＝21，
∵5+12＜21，
∴当m＝4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：∵把P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）代入y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4得：
∴y1＝（m﹣1）2﹣4，y2＝（m+1﹣1）2﹣4，y3＝（m+2﹣1）2﹣4，
∴y1+y2﹣y3＝（m﹣1）2﹣4+（m+1﹣1）2﹣4﹣[（m+2﹣1）2﹣4]＝（m﹣2）2﹣8，
∵m≥5，y1，y2，y3都是＞0的，
∴（m﹣2）2﹣8＞0，
∴y1+y2＞y3，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
24．【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；
（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；
（3）∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．
【解答】解：（1）∵EF⊥DE，
∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴＝，即＝，解得y＝；
（2）由（1）得y＝，
将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，
所以当x＝4时，y取得最大值为2；
（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，
∴△BEF≌△CDE，
∴BE＝CD＝m，
此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，
当x＝2时，m＝6，
当x＝6时，m＝2．
【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．
1