四年级数学上册教案：第5单元 1平行与垂直（人教版）

1　平行与垂直
本小节学习的内容是平行与垂直、画垂线、画长方形等。学生在掌握直线特点的基础上继续学习,了解和掌握在同一平面内两条直线的特殊位置关系:平行和垂直,进一步认知垂直与平行的概念。在教学画垂线和点到直线的距离时,重点在掌握垂线的画法,教师要让学生多进行尝试。在理解点到直线的距离时,教师可以让学生进行操作,通过量一量、比一比等活动,充分感知垂线段最短。学生在学会画垂线的基础上,掌握画长方形的方法,当然也就衍生出画正方形。一是进一步巩固对垂线画法的理解和掌握,二是运用垂线的画法画出长方形或正方形。本小节教学过程中要注重培养学生的动手操作能力,培养学生认真仔细的作图习惯等。
1.理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系。能够正确地辨认平行与垂直,掌握相关的概念。
2.掌握画垂线的方法,会用三角尺和直尺熟练、准确地画出垂线或平行线;会利用画垂线的方法准确地画出长方形。
3.通过活动,培养学生的作图能力,让学生从中感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,从而提高学习的兴趣。
【重点】
1.正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念,发展空间观念。
2.会用三角尺和直尺准确地画出垂线和长方形。
3.使学生初步体会直线外一点到直线的距离,垂线段最短。
【难点】
1.理解平行与垂直概念的本质特征。
2.会正确画出垂线和长方形。
第课时　平行与垂直
1.使学生通过探究活动,理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系,能够正确地辨认平行与垂直。
2.通过观察、讨论引导学生掌握垂直与平行的概念,使学生具有合作探究的学习意识。
3.培养学生的空间观念及空间想象能力,体会数学的美感,激发学习的兴趣,增强自信心。
【重点】
正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念,发展空间观念。
【难点】
理解平行与垂直概念的本质特征。
【教师准备】　PPT课件。
【学生准备】　直尺、三角尺、量角器、长方形卡纸、小棒等。
师:前面我们已经学习了直线,直线有什么特点?
预设 生1:直的。
生2: 直的、没有端点。
生3:直的、可以向两端无限延伸,没有端点,没有长度。
【参考答案】　可以向两端无限延伸,没有端点,没有长度。
方法一
通过联系生活,谈话创设情景。(出示课件)
课件出示运动场情景图,找找图中有哪些我们学过的数学图形?
预设 生1:角、线段、直线。
生2:线段,直角。
今天,我们继续来学习有关直线的知识。
(板书课题:平行与垂直)
[设计意图]　用观察法导入,一是可以吸引学生的注意力,二是能激发学生的竞争意识和学习的兴趣。由旧知引入到新知,产生知识的迁移,为下一步的新知学习埋下伏笔,并且在最后让学生产生疑惑,激发他们的探知欲望,可以顺利过渡到新知的学习中。
方法二
如果让你在一张白纸上画一条直线,你会画吗?我们先不画,一起来想象一下,如果画两条呢?你还能画吗?你的头脑中出现这两条直线了吗?想一想,这两条直线的位置关系可能是怎样的?想好了,就把你刚才想的画在这张白纸上,我们比比看谁画得快。
(板书课题:平行与垂直)
[设计意图]　通过现场操作,使学生了解平行、垂直的存在,知道在生活中应用非常广。体会学习数学的必要,激发学生学习的兴趣和求知欲望。
方法三
(板书课题:平行与垂直)
1.同学们先看一看我们这节课的课题,想一想,我们学过的有关知识。
2.这节课我们继续来学习这一方面的有关知识。
[设计意图]　开门见山,直接新课导入,更快地进入新知识的学习,抓住学生学习的最佳时间。
一、观察分类,感受特征
1.展示交流。
让学生随便在纸上画两条直线,老师把具有代表性的作品展示到黑板上。(选出能呈现各种情况的典型作品)
2.问题引导。
师:同学们的想象力可真丰富,画出来这么多种情况。可是大家看看黑板上画的这些不同位置关系的两条直线,你们觉得怎么样?
你们有什么好办法让它更容易让大家看明白吗?
3.自主分类。
师:能把它们按照一定的标准分类吗?请同学们先独立思考,然后将分类的情况在小组内交流。请这些小组派代表来汇报一下,你们是按什么进行分类的?分类的结果是什么?
各个小组交流分类情况。当学生在汇报过程中出现“交叉”一词时,教师随即解释:在数学上把这种交叉的关系也称为相交。(板书:相交)
师:还有没有不同的分法?能说说你们是怎么想的吗?
预设 生1:分为两类:相交的一类,不相交的一类。
生2:分为三类:相交的一类,快要相交的一类,不相交的一类。
生3:分为四类:相交的一类,快要相交的一类,不相交一类,相交成直角的一类。
4.达成共识。
师:同学们现在出现了不同的分法,这些分法,你更赞同哪一种?把你的想法在小组内交流。
通过再次操作与讨论,对于第一次分类的结果,你们现在有什么想说的?
(指名回答并说明理由)
师:他的讲解能让你们信服吗?还有什么补充或建议吗?(板书:相交,不相交)
二、自主探究,认识平行与垂直
1.认识平行。
(1)感知平行的特点。
师:同学们先来观察屏幕上这种情况,这两条直线的位置有什么特点?
预设 生1:互相平行。
生2:两条直线不相交。
同学们很快就会发现这两条直线不相交。
想象一下,再画长点,会相交吗?无限延长,会不会相交呢?
(2)揭示平行的定义。
师:像屏幕上这样两条直线在数学上叫什么呢?谁能说一说什么是平行线?
课件出示:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行。(板书:互相平行)
师:你认为在这句话中哪个词应重点强调?为什么?
预设 生1:不相交、两条直线。
生2:不相交、平行线。
生3:同一平面、不相交、平行。
学生体会“同一平面”和“互相平行”的含义。
(3)介绍平行符号。
两条直线互相平行,我们用符号“∥”来表示平行,a与b互相平行,记作a∥b,读作a平行于b。
(4)体验生活中的平行现象。
让学生举例说一说。
预设 生1:桌面的左右两边。
生2: 路的两边、铁轨。
生3: 两根电线杆。
2.认识垂直。
(1)感知垂直的特点。
师:刚才同学们在画两条直线时,还画了相交的情况。我们一起来看一看这些相交的情况。观察一下这些相交的情况,你们发现了什么?
预设 生:直角。
师:你怎么知道它们相交后形成的角是直角呢?
预设 生1:看的。
生2: 量的。
请同学们量一量,刚才所画的两条相交直线组成的角分别是多少度?通过测量,你们又有什么新发现?
预设 生1:90度。
生2: 91度。
生3: 87度。
生4:92度。
(2)认识垂直的定义。
师:如果两条直线相交成直角,我们就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。
(3)介绍垂直符号。
师:垂直和平行一样,也可以用符号表示,就是“⊥”(板书:“⊥”),这里的直线a与b互相垂直,记作a⊥b,读作a垂直于b。
(4)感受生活中的垂直现象。
让学生举例说一说。
预设 生1:墙角、电线杆和地面。
生2: 黑板的四个角。
生3: 书本的四个角。
[设计意图]　创设情景,提高学生的学习兴趣,使学生理解垂直和平行的概念,使学生掌握平行、垂直的特征,学会区分平行和垂直。
1.观察情景图,找平行与垂直的例子。
2.同学们离开座位,在教室里找找平行与垂直的例子。
3.完成教材第57页“做一做”。
【参考答案】　1.略　2.略　3.第二组互相平行　第三组互相垂直
师:谁来说说这节课你收获了什么?你觉得自己这节课怎么样?认为自己很棒的话,请给自己一点掌声。
最后做一个平行的动作,“下课”,再做一个垂直的动作,“同学们再见”。
作业1
判断题。(对的画“√”,错的画“?”)
(1)不相交的两条直线叫做平行线。 (　　)
(2)两条直线互相垂直时,相交成的四个角一定都是直角。 (　　)
(3)同一平面内两条直线不垂直就一定平行。 (　　)
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)把下面每组直线的位置关系填在括号里。
【提升培优】
2.(重点题)下面各组直线,哪组互相垂直?哪组互相平行?
【思维创新】
3.(变式题)用不同的颜色画出每个图形中的平行线。
【参考答案】
作业1:(1)?　(2)√　(3)?
作业2:1.平行　垂直　相交　垂直　平行　相交　2.第4组互相垂直,第5组互相平行　3.略
垂直与平行
两条直线相交不成直角成直角(互相垂直)在同一个平面内不相交(互相平行)
本节课主要通过预习、观察、合作讨论、交流等活动让学生去感知、理解、发现和认识。感知生活中的垂直与平行的现象,初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系,发现同一平面内两条直线的位置关系的不同情况,初步认识垂线和平行线,并且通过一系列的数学活动使学生的空间想象能力得到进一步发展,如对看似不相交而实际相交情况的想象,对两条直线永远不相交的想象等。
引导过程中,这一环节设计不够细致。语言不简练,导致学生在长时间内没把握到重点。
语言再精炼一些,引导学生上再下功夫。
【做一做·57页】
第二组互相平行　第三组互相垂直
　先观察汉字“王、下、二、工、田、开、上”,再按要求做一做。
(1)有互相垂直的线段的汉字有:　　　　;
(2)有互相平行的线段的汉字有:　　　　;
(3)既有互相平行又有互相垂直的线段的汉字有:　　　　　　　　。
[名师点拨]　要理解和掌握平行与垂直的意义和特点,再根据其对这些汉字进行分析,找到这些汉字中哪些线段互相垂直,哪些线段互相平行。两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直,在同一个平面内不相交的两条直线叫平行线。
[解答]　(1)有互相垂直的线段的汉字有:王、下、工、田、开、上。
(2)有互相平行的线段的汉字有:王、二、工、田、开、上。
(3)既有互相平行又有互相垂直的线段的汉字有:王、工、田、开、上。
数学谜语
同学们正在上数学课时,老师见他们上课都有点走神,不怎么注意听讲了,就对他们说:“这样吧,我给你们出三个谜语,你们猜猜谜底都是什么。”这三个谜语是这样的:(1)走路踩着我路近,砌墙挨着我直又平,打枪听着我指挥,保你枪枪中红心(打一数学名词)。(2)人家兄弟手拉手,咱们兄弟不碰头,火车在咱肩上跑,高压电在咱身上走(打一数学名词)。(3)步入坦途(打一数学术语)。一时之间,课堂异常活跃,讨论的声音不绝于耳。你知道这三个谜语的谜底都是什么吗?
【参考答案】　(1)直线　(2)平行线　(3)平行
不平行也不相交
你有没有发现不平行也不相交的两条直线?看下图,想一想下面的直线是哪种关系。
【参考答案】　不平行,也不相交。
第课时　垂线的画法
1.使学生理解和掌握垂直、垂线等概念。
2.通过动手操作活动,使学生经历画垂线的过程,培养学生的作图能力。
3.通过活动,让学生从中感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,从而提高学习的兴趣。
【重点】
1.正确画出垂线。
2.使学生初步体会直线外一点到直线的距离,垂线段最短。
【难点】
正确运用三角尺画出垂线。
【教师准备】　PPT课件。
【学生准备】　直尺、三角尺、每人自制活动尺一把。
1.回忆一下,你记得什么叫垂直吗?
2.看我们的数学书,每两条边都是怎样的?怎样用三角板画垂线呢?
方法一
班里设计了一期板报,这是板报小样(PPT出示),你们看,他设计的还真不错。在这张纸上有很多互相平行或互相垂直的线,请你仔细观察,什么样的两条线是互相垂直的?
预设 生:横着的边和竖着的边。
今天这节课我们就来学习画垂线。(板书课题:垂线的画法)
[设计意图]　通过现实的具体情景,使学生在生活中寻找到垂直的直线。体会学习数学的必要,让学生从中感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,从而提高学习的兴趣。
方法二
提问:上节课我们认识了垂直与平行,请说说什么是“垂直”。
其实,在“垂直”这一现象中还蕴藏着奥妙,这节课我们就一起来研究怎样画垂线。(板书课题:垂线的画法)
[设计意图]　通过实际问题,使学生迅速地把握问题关键,直入主题、开门见山,直接引出课题。
方法三
1.同学们先看一看我们这节课的课题,想一想我们学过的有关知识。
2.这节课我们继续来学习这一方面的有关知识。
(板书课题:垂线的画法)
[设计意图]　开门见山,直接新课导入,更快地进入新知识的学习,抓住学生学习的最佳时间。
一、过直线上一点画这条直线的垂线
三角尺上有一个角是直角,通常可以用三角尺来画垂线。(课件展示)
1.先画一条直线。
2.把三角尺的一条直角边与这条直线重合,让三角尺的直角顶点落在给定的这点上,沿着另一条直角边画出的直线就是已知直线的垂线(直角顶点是垂足,画上垂直符号)。
3.同桌之间为对方画一条直线,并在直线上点上一点,要求过这一点画已知直线的垂线。
4.同桌小组合作,再交换验证是否正确。
二、过直线外一点画已知直线的垂线
1.师:过直线外一点画已知直线的垂线,该怎么画呢?
预设 生1:画的方法和刚才的方法一样,只是这一点移到直线的外面了。
生2:画线前让三角尺的另一条直角边通过这个已知点。
2.学生动手尝试,小组内交流。
3.展示学生作品,全班交流。
师: 一般用左手持三角尺,右手画线。当要求直线通过某一点时,要考虑到笔画的粗细度,三角尺的边与已知点之间可稍留一些空隙。
4.同桌互相出题,试着画一个,再相互验证。
三、点到直线的距离
1.直线外一点A与直线上任意一点连接起来,可以画出多少条线段?试着画一画。
2.学生独立画出几条线段,其中包括一条垂线。
3.交流展示。
预设 生1:我画了5条线段。
生2:我画了8条线段。
师:这样的线段有无数条,这些线段在长度上有什么特点?
预设 生1:不相等。
生2:越往外边,线段越长。
生3:我量了一下,垂直的那条线段最短。
师:真不错,你们很会观察,还得出了结论。
老师把它整理了一下:
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短,它的长度叫做这点到直线的距离。(板书)
[设计意图]　通过动手操作活动,使学生经历画垂线的过程,培养学生的作图能力。让学生从动手操作的活动中感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,从而提高学习的兴趣。
1.拿一张纸,折出两条互相垂直的折痕。
2.用自制活动尺摆出两条互相垂直的直线,指出垂足,并说出这两条直线的位置关系。
3.作图练习:
(1)过直线上一点作这条直线的垂线。
(2)过直线外一点作这条直线的垂线。
师:通过学习画垂线,你有什么体会?
预设 生1:做事要认真仔细。
生2:画垂线时把三角尺的一条直角边与这条直线重合,沿着另一条直角边画出的直线就是已知直线的垂线(直角顶点是垂足)。
……
作业1
教材第58页“做一做”
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)过直线外一点,画已知直线的垂线。
【提升培优】
2.(重点题)如下图所示,表示点C到直线AB的距离的线段是(　　　)。
【思维创新】
3.李叔叔要划船从K点到河的对岸,请把最短的路线帮他画出来。
【参考答案】
作业1:
作业2:1.　2.CE　3.如下图所示。
垂线的画法
本节课做到了开放教学,大胆地放手让学生探究。比如方法的引导上,让学生进行小组讨论、独立尝试、全班辨析、归纳等活动。
在经过直线外一点画已知直线的垂线的教学时,直接运用到知识的迁移和类推,由经过直线上一点画已知直线的垂线的方法的巩固练习,再让学生自己尝试,最后还运用同桌出题,相互检查的方式,调动学生学习的积极性。
导入方式没能激发学生的学习兴趣,调动学习的积极性,导致学生整堂课没什么气氛。
再设计导入时,能吸引学生。
【做一做·58页】
【做一做·59页】
1.点到这条直线所画的垂直线段最短。路线如图所示。　2.直线a,b互相平行。
　如图,要从东村挖一条水渠与小河相通,要使水渠最短,应该怎样挖?
请在图上画出来。
[名师点拨]　要使水渠最短,其实就是过东村作小河的垂线段。
[解答]　图略,过东村作小河的垂线段。
点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离,而这条垂线段的长度是任何点到直线中最短的距离。直线Ax+By+C=0上点的坐标为(Xo,Yo),那么这点到这条直线的距离就为│AXo+BYo+C│/(A2+B2)。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。点到直线的距离叫做垂线段的长。
华罗庚
华罗庚(1910~1985),国际数学大师,中国科学院院士,是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论等多方面研究的创始人和开拓者,“中国解析数论学派”创始人。他为中国数学的发展作出了无与伦比的贡献, 被誉为“中国现代数学之父”,被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。美国著名数学家贝特曼著文称:“华罗庚是中国的爱因斯坦,足够成为全世界所有著名科学院的院士”。
第课时　画长方形
1.会利用画垂线的方法准确地画出长方形;培养学生作图的能力。
2.通过操作活动,使学生经历画长方形的全过程,培养学生作图的能力。
3.通过活动,让学生从中感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,从而提高学习的兴趣。
【重点】
巩固对平行线和垂线的认识,会用三角尺和直尺准确地画出长方形。
【难点】
会利用画垂线的方法准确地画出长方形。
【教师准备】　PPT、实物展台。
【学生准备】　铅笔、三角尺和直尺一套。
师:回忆一下,什么叫平行线?
预设 生1:同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
生2:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行。
师:举例说一说,我们身边哪些物体的边是互相平行的?
预设 生1:双杠。
生2: 教室里的两根灯管、马路边的两根电线杆。
方法一
师:回忆以前所学内容,长方形有哪些特点?
预设 生1:长方形的四个角都是直角。
生2:长方形的两组对边分别平行且相等。
师:前一节课我们学习了画垂线,今天将利用所学知识画长方形。(板书课题:画长方形)
[设计意图]　通过具体问题,使学生迅速地把握教学目标,直接引出课题。
方法二
1.同学们你先看一看我们这节课的课题,想一想,我们学过的有关知识?
2.这节课我们继续来学习长方形的有关知识。
(板书课题:画长方形)
[设计意图]　开门见山,直接情景导入,更快地进入新知识的学习,抓住学生学习的最佳时间。
一、教学例4(PPT出示课件)
1.阅读与理解。
师:画长方形首先要知道长方形的什么信息?
预设 生:要知道长和宽的长度。
2.分析与画图。
(1)师:请你独立思考怎样画这个长方形。自己尝试画一画。
(2)学生独立画长方形。
(3)独立完成后,小组内交流。指名展示。(投影)
以4人为一小组,每位学生在小组里说一说自己是怎样画的。同学之间交流画长方形的方法,并互相检验各自所画的长方形是否正确。
3.全班交流,评价哪一种方法比较恰当。
长方形相邻两边互相垂直,可以利用画垂线的方法画长方形。
二、展示画法
1.先画一条长10厘米的线段,作为长方形的长。
2.过这条线段的两个端点,分别在同一侧作与这条线段垂直的线段,使它们的长度都是8厘米。
3.把这两条8厘米长的线段另外的端点连接起来。
三、回顾与反思
修改自己的图形。指名汇报长方形的画法。
[设计意图]　通过操作活动,使学生经历画垂线的全过程,培养学生作图的能力。让学生从中感受到学习的乐趣,体会到成功的喜悦,从而提高学习的兴趣。
1.独立画一个边长是4厘米的正方形。
2.利用所学的画平行线和垂线的方法,自己设计一幅图画。
师:通过学习画长方形,你有什么体会?
预设 生1: 我发现可以有很多种方法解决问题。
生2:我们可以选择最合适的方法来解决问题。
生3:画长方形要认真仔细,不然就不正确。
作业1
教材第60页“做一做”,教材第63页练习十第12题
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)判断题。
(1)平行线之间的垂线只有一条。 (　　 )
(2)两条平行线之间的距离处处相等。 (　　)
【提升培优】
2.(重点题)画一个长3厘米,宽2厘米的长方形。
3.(变式题)将下面的长方形和正方形补充完整。
4.(重点题)画一个长5厘米,宽比长短2厘米的长方形。
5.(变式题)画一个边长为3厘米的正方形。
【思维创新】
6.(开放题)在下面的平行线中画一个最大的正方形。
【参考答案】
作业1:略
作业2:1.(1)?　(2)√　2.
3.　4.
5.　6.
画长方形
(1)先画一条长10厘米的线段,作为长方形的长。
(2)过这条线段的两个端点,分别在同一侧作与这条线段垂直的线段,使它们的长度都是8厘米。
(3)把这两条8厘米长的线段另外的端点连接起来。
本节课中,我采用了学生自主尝试,独立作图的方式探索长方形的画法。根据学生不同的作图方法,分析优劣,找出最优的作图方法。培养学生口头表达能力,学会用数学的语言来表述自己的思维过程,提高学生分析比较的思维能力。在课堂小结中,引导学生谈感受,以提升学生的思维品质。
在教学中,由于对教学过程过于开放,没有很好地利用小组合作的优势,互相学习,致使动手能力较差的学生没能画出。
在教学上,多设计一些能锻炼学生能力的题。
【练习十·61页】
2.(1)互相平行　(2)互相平行　4.(1)如图(1)所示(答案不唯一)。　(2)如图(2)所示(答案不唯一)。
(1)
(2)
5.是平行线　6.从落地点向起跳线引垂线,垂直线段的长度就是跳远的成绩。　7.将两根挂画的线调整得一样长即可。　9.如下图。
11.如图所示。　13.∠1=40°　∠2=40°　∠1和∠2相等　
15.水平方线上的线为h,其他从左向右分别为a,b,c,d,e,f,g,则a∥f,c∥e,d∥g,d⊥h,g⊥h。
　在下面的长方形中画线段,把它分成四个完全相同的小长方形。
[名师点拨]　把大长方形分成四个完全相同的小长方形,有三种作法:作法一:把长平均分成2份,在中点处画一条线段;把宽平均分成2份,在中点处画一条线段。
作法二:把长平均分成4份,分别连接各对应点。
作法三:把宽平均分成4份,分别连接各对应点。
[解答]　
画一个长方形,长是一个最小的两位数(厘米),宽是最大一位数(厘米),并算一算这个长方形的周长是多少厘米?
矩形(长方形)星系
天文学家发现了一个形状十分罕见的星系,该星系整体呈矩形(长方形),酷似一颗璀璨耀眼的钻石。天文学家在一个由250个星系组成的星系团中发现了这个形状奇特的星系,该星系据地球约7000万光年。科学人员分析,这个星系可能是由两个螺旋星云相撞产生的。天文学家表示,宇宙中的大多数星系主要是三种形状的,包括球状、圆盘状和不规则形状。这个罕见的矩形(长方形)星系可以说是一个特例,它的发现让天文学家们“眼前一亮”。