沪教版数学六年级上册1.1 整数和整除的意义讲义（教师版）
文档属性
| 名称 | 沪教版数学六年级上册1.1 整数和整除的意义讲义（教师版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 542.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-13 14:06:21 | ||
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文档简介
整数和整除
内容分析
内容分析
知识结构
整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．
知识结构
模块一：整数和整除的意义
模块一：整数和整除的意义
知识精讲
知识精讲
1、整数的意义和分类
（1）自然数：零和正整数统称为自然数；
（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．
2、整除的意义
整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．
例题解析
例题解析
在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．
【难度】★
【答案】12，0，30，1；12，0，30，1．
【解析】自然数：零和正整数统称为自然数；正整数、 零、负整数，统称为整数．
【总结】本题主要考查自然数和整数的概念．
关于，下列说法正确的是（ ）
A．18能整除3 B．3能被整除18
C．18能被3整除 D．3不能整除18
【难度】★
【答案】C
【解析】整数除以整数，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．
【总结】本题主要考查整除的概念．
下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．
3和0.3；12和4；5和15；0.2和0.4；1.4和14；5和0.1．
【难度】★★
【答案】③
【解析】整数除以整数，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．
【总结】本题依旧考查整除的概念．
下列说法中，正确个数是（ ）
整数包括负数、整数；
1是最小的自然数；
a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b整除；
有最大的自然数，而没有最小的自然数；
最大的正整数和最大的负整数都不存在．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【难度】★★
【答案】A
【解析】①错，整数包括正整数、负整数和0；
②错，0是最小的自然数；
③错，要求a和b也要为整数；
④错，没有最大的自然数，有最小的自然数为0．
⑤错，没有最大的正整数，有最大的负整数为-1．
【总结】本题主要考查整数的分类问题，注意0的特殊性．
下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．
7和11； 9和2538；2和5； 15和5；
13和91； 2和0.4； 0.3和6；1.5和2.5．
【难度】★★
【答案】②③⑤⑥⑦
【解析】能除尽是指所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开．
【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分．
师生总结
整除与除尽有什么相同点？
整除与除尽有什么不同点？
有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？
【难度】★★
【答案】一组、三组、五组、十五组均可．不能平均分成4个小组，因为4不能整除15．
【解析】因为，所以可分为一组、三组、五组或者十五组．
【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．
一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？
【难度】★★★
【答案】不对，因为4不能整除342．
【解析】，余数不为0．
【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．
在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？
【难度】★★★
【答案】300，400，200
【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个；既能被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．
【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．
模块二：因数和倍数
模块二：因数和倍数
知识精讲
知识精讲
1、因数和倍数
整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）．
注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．
例题解析
例题解析
在9、12、15、30、45、66有因数2的是_________，是3的倍数的是_________．
【难度】★
【答案】12、30、66；12、15、30、45、66．
【解析】有因数2的是：12、30、66；是3的倍数的有：9、12、15、30、45、66．
【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．
既是23的倍数，又是23的因数的数是______．
【难度】★
【答案】23．
【解析】23的因数有1、23，其中是23的倍数为23．
【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．
下列说法中不正确的是（ ）
A．1是任何整数的因数，任何整数都是1的倍数
B．偶数的因数不一定是偶数
C．奇数的因数一定是奇数
D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数
【难度】★★
【答案】D
【解析】D答案中一个数的最大因数都是等于它的最小倍数的，故D是不正确的．
【总结】本题主要考查因数和倍数的定义，注意1的特殊性．
一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是______．
【难度】★★
【答案】6
【解析】因为一个正整数最小的因数为1，最大的因数为它本身，故这个数是6．
【总结】本题主要考查正整数的因数的特征．
既是3的倍数，又是30的因数的数是________________．（写出所有符合条件的数）
【难度】★★
【答案】3、6、15、30．
【解析】，所以30的因数为1、2、3、5、6、10、15、 30．其中3的倍数为3、6、15、30．
【总结】本题可以将30的因数一一列出，然后判断其实不是3的倍数，反过来也可以．
一个数即是10的倍数，又是100的因数，且不能被4整除，这个数是______．
【难度】★★
【答案】10、50．
【解析】10的倍数为：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，其中又是100的因数，且不能被4整除的是10、50．
【总结】本题也可一一列举出即是10的倍数，又是100的因数的数，然后再判断哪些不能被4整除．
已知一个三位数，若两位数能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．
【难度】★★★
【答案】正确．
【解析】三位数可以表示为，两位数可以表示为，因为两位数能被4整除，∴能被4整除．
而，没有余数，所以这个三位数就能被4整除．
【解析】本题主要考查整除的概念，注意合理的运算方法的选择以及对于三位数的表示．
模块三：能被2、5整除的数
模块三：能被2、5整除的数
知识精讲
知识精讲
能被2整除的数
能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；
能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．
2、奇数偶数的运算性质
奇数奇数 = 偶数；奇数偶数 = 奇数；偶数偶数 = 偶数；奇数奇数 = 奇数；
奇数偶数 = 偶数；偶数偶数 = 偶数．
推广结论：
（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数；
（2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数；
（3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；
如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数；
（4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；
如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同；
（5）两个整数的和与差的奇偶性相同．
3、能被5整除的数
能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．
4、能同时被2、5整除的数
能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．
例题解析
例题解析
两个连续自然数的差是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．既不是奇数也不是偶数
【难度】★
【答案】A
【解析】两个连续自然数的差为±1，为奇数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
9个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数．
【难度】★
【答案】偶．
【解析】9个连续的自然数中必定会有偶数，则乘积必定为偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
已知一个三位数．
（1）若这个三位数能被2整除，求x；
（2）若这个三位数能被5整除，求x；
（3）若这个三位数能同时被2和5整除，求x．
【难度】★★
【答案】（1）0，2，4，6，8；（2）0，5；（3）0．
【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；
能被5整除的数的特征：个位上是0，5的整数；
能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．
【总结】本题主要考查能被2、5整除的数的特点．
用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【难度】★★
【答案】C
【解析】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数有120、102、210、201，其中 偶数有120、102、210．
【总结】一一列举符合题目条件的数字，考查偶数的概念．
5个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？
【难度】★★
【答案】44、46、48、50、52．
【解析】这5个偶数的平均数为48，则中间的数字为48，则这5个连续的偶数为44、 46、48、50、52．
【总结】本题主要考查利用平均数解决连续整数和的问题．
的结果是奇数还是偶数？请说明理由．
【难度】★★
【答案】偶数，理由见解析．
【解析】1到2016个数字中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；则这2016个数字之和为偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
用25、26、27、28、29这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？
【难度】★★
【答案】7．
【解析】要使乘积为偶数，则乘数中至少有一个为偶数．则26与25、27、28、29相乘，可以得到偶数；28与25、26、27、29相乘，可以得到偶数．中间有重复的26与28相乘，则一共有4+4-1=7个偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？
【难度】★★★
【答案】其中偶数最多有13个；偶数最少有1个．
【解析】当偶数有13个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有13个；偶数为0个时， 则这13个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为100；偶数为1个时，则有12个 奇数，这13个数字之和为偶数，所以偶数最少有1个．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？
【难度】★★★
【答案】不能，理由见解析．
【解析】对一只杯口朝上的杯子而言，需要“翻转”奇数次，才能使其杯口朝下，对于 五只杯口朝上的杯子放在桌子上，则需要“翻转”的总次数为5个奇数的和，这个和定为奇数．而每次将其中四只杯子同时“翻转”，则每轮“翻转”的次数为4次（可以看做4个杯子各“翻转”1次），所以无论你“翻转”多少次，总次数都是4的倍数，定为偶数，不可能为奇数，则不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下．
【总结】本题主要是将实际问题转化成奇、偶数的运算性质等问题．
的结果的末尾有多少个零？
【难度】★★★
【答案】225．
【解析】只要有因数5和因数2的两个整数相乘，末尾就会出现0．1到1000中5的倍数要少于2的倍数，其中5的倍数有个，25 的倍数有个，125的倍数有个，625的倍数有1个，而1到100中5的倍数有20个，25的倍数有4个，因此在的结果的末尾中含零的个数为：个．
【总结】两数相乘结果末尾为0，则要求整数的个位为2和个位为5的数相乘即可．
在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“”、“”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．
【难度】★★★
【答案】偶数，理由见解析．
【解析】2016个数中有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；2016个数中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则2016个数字之和为偶数．每个数前面任意添加“”、“”号，与1，2，3，…，2015，2016之和的奇偶性是一样的，所以结果为偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
模块四：能被3、9整除的数
模块四：能被3、9整除的数
知识精讲
知识精讲
能被3整除的数
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数．
能被9整除的数
能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．
例题解析
例题解析
要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________；
要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．
【难度】★
【答案】1、4、7；4．
【解析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；能被9整除的数的特征：
各个数位上的数字和是9的倍数．
【总结】本题主要考查能被3和9整除的数的特点．
一个五位数能被3整除，且能被2整除，这样的五位数有______个．
【难度】★★
【答案】16．
【解析】能被2整除，则为0、2、4、6、8；能被3整除，则能
被3整除．当B=0时，A可为1、4、7；当B=2时，A可为2、5、8；当B=4时，
A可为0、3、6、9；当B=6时，A可为1、4、7；当B=8时，A可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．
【总结】先一一列举符合能被2整除的数，然后一一列举数字，判断符不符合题意．
从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．
【难度】★★★
【答案】4．
【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、 280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、 480、
840．
【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．
已知一个三位数，试证明：若能被9整除，则能被9整除．
【难度】★★★
【答案】证明见解析．
【解析】因为能被9整除，则可得（为正整数），又=
，因为能被9整除，也能被9整除，所以能被9整除．
【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．
随堂检测
随堂检测
下列说法正确的是（ ）
A．一个数至少有两个因数
B．个位上是3、6、9的整数都能被3整除
C．一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么这个数一定是10的倍数
D．非负整数是正整数
【难度】★
【答案】C
【解析】A答案错误，如1只有一个因数；B答案中考查能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；C答案是正确的；D答案中0也属于非负整数．
【总结】本题主要考查因数、倍数的概念以及整数分类的问题．
50以内的7的倍数有_______个．
【难度】★
【答案】7
【解析】50以内的7的倍数有：7、14、21、27、35、42、49．
【总结】从最小的倍数一一尝试即可得到答案．
一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是______．
【难度】★★
【答案】1007．
【解析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是1007．
【总结】任何一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身．
下列说法不正确的个数有（ ）个
（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；
（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；
（3）任何正整数都能被0整除；
（4），则n一定能整除m；
（5）三个连续自然数的乘积能被2整除．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）对；（2）错，考查整除的定义；（3）错，0能被任何正整数整除；（4）错，n和m不一定为整数；（5）对，因为三个连续自然数中一定有偶数，则它们的积一定是偶数．
【总结】本题主要考查整除的概念，注意整除的定义中的被除数、除数、商都必须是整数，且余数为零，另外还考差了奇、偶数运算性质的问题．
下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个．
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）．
【难度】★★
【答案】（3）、（4）、（5）；（1）、（3）、（4）、（5）、（7）、（8）
【解析】整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．
【总结】本题主要考查整除和除尽的概念，注意除尽与整除的区别．
能整除18的数有________________．
【难度】★★
【答案】1、2、3、6、9、18．
【解析】整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们 就说能被整除；或者说能整除．
【总结】本题主要考查整除的概念．
一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5整除，求所有符合条件的两位数：_______________．
【难度】★★
【答案】35．
【解析】能被5整除的数尾数为0或5．0为个位数时，十位数字为负数，不合题意，舍去．所以个位上的数字只能为5，十位上的数字为3，则这个两位数为35．
【总结】本题主要考查能被5整除是数的特点，可以一一举例得到最后的答案．
四位数能同时被3和5整除，写出所有满足条件的四位数__________．
【难度】★★
【答案】2190、2490、2790、2295、2595、2895．
【解析】能被5整除的数的个位数为0或5，则B为0或5；当B=0时，A为1、4、7；当 B=5时，A为2、5、8．所以满足条件的四位数为2190、2490、2790、2295、2595、2895．
【总结】本题主要考查能被3、5同时整除的数的特点，可以一一举例得到最后的答案．
三个连续的自然数的和一定能被3整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．
【难度】★★★
【答案】是，证明见解析
【解析】设三个连续的自然数为，则其和为，此数一定能被3整除．
【总结】三个连续的自然数的表示方法为．
小明有12张卡片，其中3张卡片上面写着1，3张卡片上面写着3，3张卡片上面写着5，3张卡片上面写着7，小明从中选出5张卡片，它们上面的数字之和可能等于22吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】不能．
【解析】因为12张卡片上的数字都是奇数，5个奇数之和一定为奇数，不可能为偶数，22是偶数，所以不能．
【解析】本题主要考查数字的奇偶性，偶数个奇数相加结果为偶数；奇数个奇数相加结果为奇数．
课后作业
课后作业
如果A表示一个正整数，它的最小因数是_______，最小倍数是_______．
【难度】★
【答案】1；A．
【解析】一个正整数的最小因数为1，最小倍数为它本身．
【总结】本题主要考查一个正整数的最小因数的和最大因数的特征．
731最少加上______，就是5的倍数．
【难度】★
【答案】4
【解析】能被5整除的数的特点：个位数字为0或5，因此最少加上4即可．
【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．
三位数“15□”是8的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】B
【解析】可以填2，四个答案一一验算．
【总结】本题主要考查因数和倍数的概念，是8的倍数，则说明该数能被8整除．
一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有______个
（1）加上；
（2）减去；
（3）乘以2；
（4）除以2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】A
【解析】（1）为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数；
（2）为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数；
（3）奇数乘以2，为偶数；
（4）奇数除以2余数为1．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
三个连续的奇数的和是321，则这三个奇数为____________
【难度】★★
【答案】105、107、109
【解析】这三个连续的奇数平均数为，则中间的数为107，其余两个数为 105和109．
【总结】连续的奇数和偶数之和的问题均可以用平均数来解决．
小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）
【难度】★★
【答案】11．
【解析】，则84的因数为1、2、3、4、 6、 7、12、14、21、28、42、84，共有12个，因为不能一次全拿出，所以共有11中 不同的拿法．
【总结】将实际问题转化为寻找因数的方法来解决．
一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．
【难度】★★
【答案】1、2、4、7、14、28．
【解析】一个整数的最大因数为它本身，最小因数为1，则这个数为28． ，则28的因数有1、2、4、7、14、28．
【总结】任何一个正整数的最大因数为它本身，最小因数为1．
的结果是______．（填奇数或偶数）
【难度】★★
【答案】偶数．
【解析】连续的自然数乘积为偶数，表达式中有101个偶数相加，则其结果为偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
五位数能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．
【难度】★★★
【答案】2、5、8．
【解析】能被2、5整除的数的特点是个位上数字为0，则B=0．能被3整除的数的特点是各个数位上的数字之和能被3整除，则A可为2、5、8．则A+B为2、5、8．
【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特点．
油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？
12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；
22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．
【难度】★★★
【答案】机油；柴油；机油；柴油；柴油；汽油；柴油．
【解析】因为柴油的总重量是机油的3倍，所以他们的重量和一定为4的倍数．而7桶 油的总重量是12+13+17+22+27+32=139（千克），而139÷4=34．．．．．．3， 我们容易推出汽油的重量被4除余3，由此可见，汽油的重量是27千克．剩下的6 桶共重139-27=112（千克），其中包括1份机油和3份柴油，因此机油的总重量 为112÷4=28 （千克），柴油的总重量为112-28=84（千克），剩下的6个数字中 只有12和16的和为28，则重量是12千克、16千克的这两只桶内装的是机油，其 余4只桶内装的柴油．
【总结】本题综合性较强，主要考查利用倍数的概念来解决实际问题．
内容分析
内容分析
知识结构
整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．
知识结构
模块一：整数和整除的意义
模块一：整数和整除的意义
知识精讲
知识精讲
1、整数的意义和分类
（1）自然数：零和正整数统称为自然数；
（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．
2、整除的意义
整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．
例题解析
例题解析
在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．
【难度】★
【答案】12，0，30，1；12，0，30，1．
【解析】自然数：零和正整数统称为自然数；正整数、 零、负整数，统称为整数．
【总结】本题主要考查自然数和整数的概念．
关于，下列说法正确的是（ ）
A．18能整除3 B．3能被整除18
C．18能被3整除 D．3不能整除18
【难度】★
【答案】C
【解析】整数除以整数，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．
【总结】本题主要考查整除的概念．
下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．
3和0.3；12和4；5和15；0.2和0.4；1.4和14；5和0.1．
【难度】★★
【答案】③
【解析】整数除以整数，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．
【总结】本题依旧考查整除的概念．
下列说法中，正确个数是（ ）
整数包括负数、整数；
1是最小的自然数；
a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b整除；
有最大的自然数，而没有最小的自然数；
最大的正整数和最大的负整数都不存在．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【难度】★★
【答案】A
【解析】①错，整数包括正整数、负整数和0；
②错，0是最小的自然数；
③错，要求a和b也要为整数；
④错，没有最大的自然数，有最小的自然数为0．
⑤错，没有最大的正整数，有最大的负整数为-1．
【总结】本题主要考查整数的分类问题，注意0的特殊性．
下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．
7和11； 9和2538；2和5； 15和5；
13和91； 2和0.4； 0.3和6；1.5和2.5．
【难度】★★
【答案】②③⑤⑥⑦
【解析】能除尽是指所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开．
【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分．
师生总结
整除与除尽有什么相同点？
整除与除尽有什么不同点？
有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？
【难度】★★
【答案】一组、三组、五组、十五组均可．不能平均分成4个小组，因为4不能整除15．
【解析】因为，所以可分为一组、三组、五组或者十五组．
【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．
一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？
【难度】★★★
【答案】不对，因为4不能整除342．
【解析】，余数不为0．
【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．
在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？
【难度】★★★
【答案】300，400，200
【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个；既能被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．
【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．
模块二：因数和倍数
模块二：因数和倍数
知识精讲
知识精讲
1、因数和倍数
整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）．
注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．
例题解析
例题解析
在9、12、15、30、45、66有因数2的是_________，是3的倍数的是_________．
【难度】★
【答案】12、30、66；12、15、30、45、66．
【解析】有因数2的是：12、30、66；是3的倍数的有：9、12、15、30、45、66．
【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．
既是23的倍数，又是23的因数的数是______．
【难度】★
【答案】23．
【解析】23的因数有1、23，其中是23的倍数为23．
【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．
下列说法中不正确的是（ ）
A．1是任何整数的因数，任何整数都是1的倍数
B．偶数的因数不一定是偶数
C．奇数的因数一定是奇数
D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数
【难度】★★
【答案】D
【解析】D答案中一个数的最大因数都是等于它的最小倍数的，故D是不正确的．
【总结】本题主要考查因数和倍数的定义，注意1的特殊性．
一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是______．
【难度】★★
【答案】6
【解析】因为一个正整数最小的因数为1，最大的因数为它本身，故这个数是6．
【总结】本题主要考查正整数的因数的特征．
既是3的倍数，又是30的因数的数是________________．（写出所有符合条件的数）
【难度】★★
【答案】3、6、15、30．
【解析】，所以30的因数为1、2、3、5、6、10、15、 30．其中3的倍数为3、6、15、30．
【总结】本题可以将30的因数一一列出，然后判断其实不是3的倍数，反过来也可以．
一个数即是10的倍数，又是100的因数，且不能被4整除，这个数是______．
【难度】★★
【答案】10、50．
【解析】10的倍数为：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，其中又是100的因数，且不能被4整除的是10、50．
【总结】本题也可一一列举出即是10的倍数，又是100的因数的数，然后再判断哪些不能被4整除．
已知一个三位数，若两位数能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．
【难度】★★★
【答案】正确．
【解析】三位数可以表示为，两位数可以表示为，因为两位数能被4整除，∴能被4整除．
而，没有余数，所以这个三位数就能被4整除．
【解析】本题主要考查整除的概念，注意合理的运算方法的选择以及对于三位数的表示．
模块三：能被2、5整除的数
模块三：能被2、5整除的数
知识精讲
知识精讲
能被2整除的数
能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；
能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．
2、奇数偶数的运算性质
奇数奇数 = 偶数；奇数偶数 = 奇数；偶数偶数 = 偶数；奇数奇数 = 奇数；
奇数偶数 = 偶数；偶数偶数 = 偶数．
推广结论：
（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数；
（2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数；
（3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；
如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数；
（4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；
如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同；
（5）两个整数的和与差的奇偶性相同．
3、能被5整除的数
能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．
4、能同时被2、5整除的数
能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．
例题解析
例题解析
两个连续自然数的差是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．既不是奇数也不是偶数
【难度】★
【答案】A
【解析】两个连续自然数的差为±1，为奇数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
9个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数．
【难度】★
【答案】偶．
【解析】9个连续的自然数中必定会有偶数，则乘积必定为偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
已知一个三位数．
（1）若这个三位数能被2整除，求x；
（2）若这个三位数能被5整除，求x；
（3）若这个三位数能同时被2和5整除，求x．
【难度】★★
【答案】（1）0，2，4，6，8；（2）0，5；（3）0．
【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；
能被5整除的数的特征：个位上是0，5的整数；
能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．
【总结】本题主要考查能被2、5整除的数的特点．
用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【难度】★★
【答案】C
【解析】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数有120、102、210、201，其中 偶数有120、102、210．
【总结】一一列举符合题目条件的数字，考查偶数的概念．
5个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？
【难度】★★
【答案】44、46、48、50、52．
【解析】这5个偶数的平均数为48，则中间的数字为48，则这5个连续的偶数为44、 46、48、50、52．
【总结】本题主要考查利用平均数解决连续整数和的问题．
的结果是奇数还是偶数？请说明理由．
【难度】★★
【答案】偶数，理由见解析．
【解析】1到2016个数字中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；则这2016个数字之和为偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
用25、26、27、28、29这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？
【难度】★★
【答案】7．
【解析】要使乘积为偶数，则乘数中至少有一个为偶数．则26与25、27、28、29相乘，可以得到偶数；28与25、26、27、29相乘，可以得到偶数．中间有重复的26与28相乘，则一共有4+4-1=7个偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？
【难度】★★★
【答案】其中偶数最多有13个；偶数最少有1个．
【解析】当偶数有13个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有13个；偶数为0个时， 则这13个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为100；偶数为1个时，则有12个 奇数，这13个数字之和为偶数，所以偶数最少有1个．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？
【难度】★★★
【答案】不能，理由见解析．
【解析】对一只杯口朝上的杯子而言，需要“翻转”奇数次，才能使其杯口朝下，对于 五只杯口朝上的杯子放在桌子上，则需要“翻转”的总次数为5个奇数的和，这个和定为奇数．而每次将其中四只杯子同时“翻转”，则每轮“翻转”的次数为4次（可以看做4个杯子各“翻转”1次），所以无论你“翻转”多少次，总次数都是4的倍数，定为偶数，不可能为奇数，则不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下．
【总结】本题主要是将实际问题转化成奇、偶数的运算性质等问题．
的结果的末尾有多少个零？
【难度】★★★
【答案】225．
【解析】只要有因数5和因数2的两个整数相乘，末尾就会出现0．1到1000中5的倍数要少于2的倍数，其中5的倍数有个，25 的倍数有个，125的倍数有个，625的倍数有1个，而1到100中5的倍数有20个，25的倍数有4个，因此在的结果的末尾中含零的个数为：个．
【总结】两数相乘结果末尾为0，则要求整数的个位为2和个位为5的数相乘即可．
在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“”、“”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．
【难度】★★★
【答案】偶数，理由见解析．
【解析】2016个数中有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；2016个数中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则2016个数字之和为偶数．每个数前面任意添加“”、“”号，与1，2，3，…，2015，2016之和的奇偶性是一样的，所以结果为偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
模块四：能被3、9整除的数
模块四：能被3、9整除的数
知识精讲
知识精讲
能被3整除的数
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数．
能被9整除的数
能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．
例题解析
例题解析
要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________；
要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．
【难度】★
【答案】1、4、7；4．
【解析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；能被9整除的数的特征：
各个数位上的数字和是9的倍数．
【总结】本题主要考查能被3和9整除的数的特点．
一个五位数能被3整除，且能被2整除，这样的五位数有______个．
【难度】★★
【答案】16．
【解析】能被2整除，则为0、2、4、6、8；能被3整除，则能
被3整除．当B=0时，A可为1、4、7；当B=2时，A可为2、5、8；当B=4时，
A可为0、3、6、9；当B=6时，A可为1、4、7；当B=8时，A可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．
【总结】先一一列举符合能被2整除的数，然后一一列举数字，判断符不符合题意．
从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．
【难度】★★★
【答案】4．
【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、 280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、 480、
840．
【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．
已知一个三位数，试证明：若能被9整除，则能被9整除．
【难度】★★★
【答案】证明见解析．
【解析】因为能被9整除，则可得（为正整数），又=
，因为能被9整除，也能被9整除，所以能被9整除．
【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．
随堂检测
随堂检测
下列说法正确的是（ ）
A．一个数至少有两个因数
B．个位上是3、6、9的整数都能被3整除
C．一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么这个数一定是10的倍数
D．非负整数是正整数
【难度】★
【答案】C
【解析】A答案错误，如1只有一个因数；B答案中考查能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；C答案是正确的；D答案中0也属于非负整数．
【总结】本题主要考查因数、倍数的概念以及整数分类的问题．
50以内的7的倍数有_______个．
【难度】★
【答案】7
【解析】50以内的7的倍数有：7、14、21、27、35、42、49．
【总结】从最小的倍数一一尝试即可得到答案．
一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是______．
【难度】★★
【答案】1007．
【解析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是1007．
【总结】任何一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身．
下列说法不正确的个数有（ ）个
（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；
（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；
（3）任何正整数都能被0整除；
（4），则n一定能整除m；
（5）三个连续自然数的乘积能被2整除．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）对；（2）错，考查整除的定义；（3）错，0能被任何正整数整除；（4）错，n和m不一定为整数；（5）对，因为三个连续自然数中一定有偶数，则它们的积一定是偶数．
【总结】本题主要考查整除的概念，注意整除的定义中的被除数、除数、商都必须是整数，且余数为零，另外还考差了奇、偶数运算性质的问题．
下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个．
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）．
【难度】★★
【答案】（3）、（4）、（5）；（1）、（3）、（4）、（5）、（7）、（8）
【解析】整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．
【总结】本题主要考查整除和除尽的概念，注意除尽与整除的区别．
能整除18的数有________________．
【难度】★★
【答案】1、2、3、6、9、18．
【解析】整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们 就说能被整除；或者说能整除．
【总结】本题主要考查整除的概念．
一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5整除，求所有符合条件的两位数：_______________．
【难度】★★
【答案】35．
【解析】能被5整除的数尾数为0或5．0为个位数时，十位数字为负数，不合题意，舍去．所以个位上的数字只能为5，十位上的数字为3，则这个两位数为35．
【总结】本题主要考查能被5整除是数的特点，可以一一举例得到最后的答案．
四位数能同时被3和5整除，写出所有满足条件的四位数__________．
【难度】★★
【答案】2190、2490、2790、2295、2595、2895．
【解析】能被5整除的数的个位数为0或5，则B为0或5；当B=0时，A为1、4、7；当 B=5时，A为2、5、8．所以满足条件的四位数为2190、2490、2790、2295、2595、2895．
【总结】本题主要考查能被3、5同时整除的数的特点，可以一一举例得到最后的答案．
三个连续的自然数的和一定能被3整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．
【难度】★★★
【答案】是，证明见解析
【解析】设三个连续的自然数为，则其和为，此数一定能被3整除．
【总结】三个连续的自然数的表示方法为．
小明有12张卡片，其中3张卡片上面写着1，3张卡片上面写着3，3张卡片上面写着5，3张卡片上面写着7，小明从中选出5张卡片，它们上面的数字之和可能等于22吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】不能．
【解析】因为12张卡片上的数字都是奇数，5个奇数之和一定为奇数，不可能为偶数，22是偶数，所以不能．
【解析】本题主要考查数字的奇偶性，偶数个奇数相加结果为偶数；奇数个奇数相加结果为奇数．
课后作业
课后作业
如果A表示一个正整数，它的最小因数是_______，最小倍数是_______．
【难度】★
【答案】1；A．
【解析】一个正整数的最小因数为1，最小倍数为它本身．
【总结】本题主要考查一个正整数的最小因数的和最大因数的特征．
731最少加上______，就是5的倍数．
【难度】★
【答案】4
【解析】能被5整除的数的特点：个位数字为0或5，因此最少加上4即可．
【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．
三位数“15□”是8的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】B
【解析】可以填2，四个答案一一验算．
【总结】本题主要考查因数和倍数的概念，是8的倍数，则说明该数能被8整除．
一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有______个
（1）加上；
（2）减去；
（3）乘以2；
（4）除以2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】A
【解析】（1）为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数；
（2）为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数；
（3）奇数乘以2，为偶数；
（4）奇数除以2余数为1．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
三个连续的奇数的和是321，则这三个奇数为____________
【难度】★★
【答案】105、107、109
【解析】这三个连续的奇数平均数为，则中间的数为107，其余两个数为 105和109．
【总结】连续的奇数和偶数之和的问题均可以用平均数来解决．
小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）
【难度】★★
【答案】11．
【解析】，则84的因数为1、2、3、4、 6、 7、12、14、21、28、42、84，共有12个，因为不能一次全拿出，所以共有11中 不同的拿法．
【总结】将实际问题转化为寻找因数的方法来解决．
一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．
【难度】★★
【答案】1、2、4、7、14、28．
【解析】一个整数的最大因数为它本身，最小因数为1，则这个数为28． ，则28的因数有1、2、4、7、14、28．
【总结】任何一个正整数的最大因数为它本身，最小因数为1．
的结果是______．（填奇数或偶数）
【难度】★★
【答案】偶数．
【解析】连续的自然数乘积为偶数，表达式中有101个偶数相加，则其结果为偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
五位数能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．
【难度】★★★
【答案】2、5、8．
【解析】能被2、5整除的数的特点是个位上数字为0，则B=0．能被3整除的数的特点是各个数位上的数字之和能被3整除，则A可为2、5、8．则A+B为2、5、8．
【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特点．
油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？
12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；
22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．
【难度】★★★
【答案】机油；柴油；机油；柴油；柴油；汽油；柴油．
【解析】因为柴油的总重量是机油的3倍，所以他们的重量和一定为4的倍数．而7桶 油的总重量是12+13+17+22+27+32=139（千克），而139÷4=34．．．．．．3， 我们容易推出汽油的重量被4除余3，由此可见，汽油的重量是27千克．剩下的6 桶共重139-27=112（千克），其中包括1份机油和3份柴油，因此机油的总重量 为112÷4=28 （千克），柴油的总重量为112-28=84（千克），剩下的6个数字中 只有12和16的和为28，则重量是12千克、16千克的这两只桶内装的是机油，其 余4只桶内装的柴油．
【总结】本题综合性较强，主要考查利用倍数的概念来解决实际问题．