沪教版数学六年级上册1.2分解素因数讲义（教师版）
文档属性
| 名称 | 沪教版数学六年级上册1.2分解素因数讲义（教师版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 351.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-13 14:09:57 | ||
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文档简介
分解素因数
内容分析
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．
知识结构
模块一：素数、合数与分解素因数
知识精讲
1、素数与合数
（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；
（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；
（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．
分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
口算法分解素因数
例如：．
短除法分解素因数
35
5
7
形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
例题解析
在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，_________________________是素数，合数有______个．
【难度】★
【答案】2、17、97；7．
【解析】素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；1既不是素数，也不是合数．
【总结】本题主要考查素数和合数的定义．
将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________．
【难度】★
【答案】；2、2、3、7．
【解析】，其中素因数为2、2、3、7．
【总结】考查分解素因数的方法：可以用短除法，也可以用口算法分解素因数．
最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______．
【难度】★
【答案】6．
【解析】最小的自然数为0，最小的素数为2，最小的合数为4
【总结】考查素数和合数的定义，注意1和2的特殊性．
将100写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对．
【难度】★★
【答案】6
【解析】，共有6对．
【总结】100以内的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个．特别是20以内的素数，需要熟记．
下列说法中正确的个数有（ ）个
（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；
（2）两个素数的和一定是偶数；
（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；
（4）一个合数至少有三个因数；
（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．
A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）错．2和5的乘积为10.
错．除了2之外的素数都是奇数，但2和素数之和为奇数．
错．1和2的乘积为2，为素数．
对．一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数．
错．1不能写成素数相乘的形式．
【总结】在讨论素数和合数的分类时，需要特别注意1和2的特殊性．
如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_____________．
【难度】★★
【答案】5、6、7．
【解析】．
【总结】考查分解素因数的方法．
两个素数的和为21，那么这两个素数的积是______．
【难度】★★
【答案】38．
【解析】，．
【总结】20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，可以逐一尝试．
已知（a、b都为正整数），则a的最小值为______．
【难度】★★
【答案】2464．
【解析】，要使这个数字为一个数字的四次方，则最 小为．
【总结】考查分解素因数的方法，数字比较大的时候多采用短除法分解素因数．
面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？
【难度】★★★
【答案】44厘米或36厘米或34厘米．
【解析】，
则①长方形的长为18厘米，宽为4厘米，此时的周长为厘米；
②长方形的长为12厘米，宽为6厘米，此时的周长为厘米；
③长方形的长为9厘米，宽为8厘米，此时的周长为厘米．
【总结】将实际问题转化成数学中的分解素因数来解决．
模块二：公因数和最大公因数
知识精讲
公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
最大公因数
几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
两个数互素
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
求最大公因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
例题解析
36和54的公因数有_____________．
【难度】★
【答案】1、2、3、9、18．
【解析】36的因数有1、2、3、4、9、12、18、36；54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54．则公因数有1、2、3、9、18．
【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
126和630的最大公因数是________________．
【难度】★
【答案】126．
【解析】
故126和630的最大公因数是：．
【总结】考查短除法求最大公因数，当两个整数之间存在倍数关系时，则较小的数是它们的最大公因数．
在下列各组数中，互素的有（ ）组
（1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】D
【解析】互素的为（1）（3）（4）（5）．
【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
下列说法正确的是（ ）
A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数
B．两个不同的素数一定互素
C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素
D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5
【难度】★★
【答案】B
【解析】A错，例如4和9互素，但是4和9都是合数．
C错，1是所有整数的因数，所以如果1是两个整数的公因数，则这两个数不一定互素．
D错，若5能被a整除，则a为1或5，因为5是b的最小倍数，则，所以a和b
的最大公因数不一定是5，还有可能是1．
【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
三个数16、24和30的公因数有______．
【难度】★★
【答案】1、2．
【解析】16的因数是1、2、4、8、16；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
30的因数是1、2、3、5、6、10、15、30．则16、24、30的公因数为1、2．
【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．
【难度】★★
【答案】12．
【解析】因为，，所以60和48的公因数有2、3、2， 则60和48的最大公因数为，即这四个数的最大公因数是12．
【总结】求几个数的最大公因数时，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．
【难度】★★★
【答案】14．
【解析】每两棵树之间的距离要整除90和15，则为90和15的公因数，题目中问最少种多少棵树，则是求90和15的最大公因数，最大公因数为15．则每两棵树之间距离15米种一棵树，一排种7棵树，两排共种14棵树．
【总结】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公有素
因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．
【难度】★★★
【答案】486平方分米．
【解析】长方体的上面的面积等于长×宽，正面的面积等于长×高，则上面和正面面积之和是长×（宽+高），因为长、宽、高都是素数，所以209可以分解成两个素数之积与两个素数之的形式．而，且11不能写成两个素数相加的形式，19可以写成2和17相加的形式．则长方体的长宽高分别为11、17、2．可求出长方体的表面积为平方分米．
【总结】生活实际问题转化为数学中分解素因数问题．
求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）
【难度】★★★
【答案】79．
【解析】被除数÷除数=商．．．．．．余数，
42897÷18644=2．．．．．．5609，
18644÷5609=3．．．．．．1817，
5609÷1817=3．．．．．．158，
1817÷158=11．．．．．．．79，
158÷79=2．．．．．．0，
所以最大公因数为79．
【总结】对于特大数字的最大公因数的求法的问题，可以用辗转相除法来解决．
辗转相除法步骤：设两数为 ，求和最大公因数的步骤如下：用除以：
得：．若，则和最大公因数为；若，则再用除以，
得：．若，则和最大公因数为，若，则继续用除
以，……如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为和的最大公因数．
模块三：公倍数与最小公倍数
知识精讲
1、公倍数与最小公倍数
公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；
最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2、求两个数的最小公倍数
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；
如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
3、求三个数的最小公倍数
求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．
为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．
例题解析
已知，，则A与B的最小公倍数是______．
【难度】★
【答案】6300．
【解析】公有因数为2、5、7，则最小公倍数为．
【总结】考查最小公倍数的求法：取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，
将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数．
已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______．
【难度】★★
【答案】8、9．
【解析】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．所以72可以写成两个
合数的乘积，则这两个数为8和9.
【总结】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
下列说法中正确的个数为（ ）个
（1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；
（2）若，则两个正整数m、n的最小公倍数是m；
（3）互素的两个数没有公因数；
（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；
（5）若（a、b、c都是正整数），则a与b的最大公因数是c．
A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）错．三个正整数只有公因数1，并不能说明两个数的公因数只有1．例如2、
3、4，公因数只有1，但是2和4的公因数有1和2，不是互素的．
对．如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数．
错．互素的两个数的公因数为1．
错．如24能够同时被6、8整除，但24不能被48整除．
错．例如8÷2=4，8与2的最大公因数为2，不是4．
【总结】本题主要考查整除的相关概念，注意认真区分．
两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．
【难度】★★
【答案】36．
【解析】两个正整数的乘积等于这两个正整数的最小公倍数和最大公因数的乘积．
【总结】通过最小公倍数和最大公因数的求法可知，两个正整数的乘积等于这两个正整数的
最小公倍数和最大公因数的乘积．
求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）187和442； （2）36、84和39．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）
最大公因数为17，最小公倍数为17×11×26=4862；
（2）
最大公因数为3，最小公倍数为3×7×12×13=3276．
【总结】考查用短除法求最大公因数和最小公倍数．也可以用分解素因数的方法求最大公因
数和最小公倍数．需要注意两个数字的最大公因数的求法和三个数字的最大公因数的求法不
一样，两个数字的最大公因数为短除法左边素因数乘积即可，但是三个数字的最大公因数是
取三个公有的因数相乘．
某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．
【难度】★★
【答案】131人．
【解析】如果9人一组，则多5人，可以理解成若9人一组，则少4人．则题目可以理解
成若9人一组，则少4人；如果15人一组，则少4人．因为学生人数在130到 140
人，在130到140之间，9和15的公倍数为135，则该年级共有135-4=131人．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个实际问题了．
能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．
【难度】★★
【答案】810；1080．
【解析】 因为5、6、9互素，则5、6、9的最小公倍数为5×6×9=270，所以能被5、6、
9整除的数为270的倍数．其倍数中最大的三位数为270×3=810，最小的四位数为
270×4=1080．
【总结】能被整除的数可以转化为求的公倍数的问题来处理．
已知四位数是24的倍数，则A+B的最大值为多少？
【难度】★★★
【答案】16．
【解析】因为24=2×2×2×3，所以24的倍数一定能被2和3整除．被2整除，个位
B为0、2、4、6、8，其中最大取8；被3整除，A+2+0+8能被3整除，A最大取8．
此时，8208÷24=342，所以A+B的最大值为8+8=16．
【总结】本题主要考查能被2、3整除的数的特点．
动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？
【难度】★★★
【答案】540粒；45只．
【解析】因为如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子， 则
每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．所以共有花生
粒个数能同时被12、15、18整除．利用短除法求出12、15、18的最小公倍数为180，
则共有花生粒个数是180的倍数．因为第一群猴子猴四十几只，所以共有花生粒个数
在12×40=480到12×50=600之间．因为在480到600之间，180的倍数有540，则总
共有540粒花生，共有540÷12=45只猴子．
【总结】可以将实际问题转化成公倍数问题来处理．
一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？
【难度】★★★
【答案】37．
【解析】因为一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，所以这个数减去1之后能
同时被4、6、9整除，短除法可求出4、6、9的最小公倍数为36，则这个是最小为
36+1=37．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个问题了．
某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？
【难度】★★★
【答案】59．
【解析】如果平均分给10个班，则余下9个；也可以理解成如果平均分给10个班，则少1
个；如果平均分给12个班，则余下11个；也可以理解成如果平均分给12个班，则少
1个；如果平均分给15个班，则余下14个，也可以理解成如果平均分给15个班，
则少1个．所以皮球的个数加上1能同时被10、12、15整除，用短除法求出10、12、15的最小公倍数为60，所以皮球的个数为60-1=59个．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个实际问题了．
甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？
【难度】★★★
【答案】9月14日．
【解析】因为甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，所以下次
去少年宫距离上次同时去少年宫的天数能同时被3、5、7整除，短除法可得3、5、7
的最小公倍数为105，则经过105天（6月30天，7月31天，8月31天），即9 月
14日甲、乙、丙同时去少年宫．
【总结】本题主要考查利用最小公倍数解决实际问题．
随堂检测
在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．
【难度】★
【答案】74．
【解析】1到100这100个整数中，分为三类，1，素数，合数．所以合数的个数为
个．
【总结】考查素数、合数的定义，注意1的特殊性．
下列选项中分解素因数正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】考查分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式．A答案中 1
不是素数；B答案中9不是素数；C答案中4不是素数．
【总结】分解素因数一定要分解彻底，即分解到每个数都是素因数为止．
已知a和b都是小于10的合数，两位数是一个素数，这样的两位数是______．
【难度】★★
【答案】89．
【解析】小于10的合数为4、6、8、9．则四个数构成的两位数为素数的有89．
【总结】20以内的素数要求必须熟记．
在小于10的正整数中，两个互素的合数有____________．
【难度】★★
【答案】4和9、8和9．
【解析】小于10的正整数中，合数有4、6、8、9，其中互素的有4和9、8和9．
【总结】20以内的素数要求必须熟记．
三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，则n = ______．
【难度】★★
【答案】7．
【解析】因为三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，所以35、63、91
能够被整除，则为35、63、91的最大公因数，所以为7．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个问题了．
已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，求三数的最小公倍数及最大公因数．
【难度】★★
【答案】6，540．
【解析】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，则甲、乙、丙分别为18，12，
90，则由短除法可知：最大公因数为6，最小公倍数为540．
【总结】考查求最小公倍数和最大公因数的求法．
如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么共有______个小朋友．
【难度】★★
【答案】7．
【解析】因为如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，
所以14个梨和21个苹果刚好平均分，14和21的最大公因数为7，则共有7个小朋友．
【总结】将生活实际问题转化为求最大公因数问题来解决．
一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，用它去除283和23，所得
余数也相同，求这个两位数．
【难度】★★★
【答案】13．
【解析】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，则这个两位数能够整除391和
此余数，也能整除40和此余数，则这个两位数一定能够整除（391+此余数）-（40+此
余数）=351，同理可得：这个两位数一定能被283-23=260整除．
因为391-40=351=13×27，283-23=260=13×20，所以这个数是13．
【总结】拓展提高题目，需要对整除定义非常熟练，对学生要求比较高．
共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？
【难度】★★★
【答案】17；49．
【解析】3和4的最小公倍数为12，则每隔12米的倍数的位置上的树不用移动．因为每
隔3米种了66棵树，则小路长（66-1）×3=195米．因为195÷12=16．．．．．．3，
所以16+1=17棵树不要移动．新挖树坑66-17=49个．
【总结】将实际问题转化为最小公倍数问题来解决．注意小路端点的树不要重复计算．
甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．
【难度】★★★
【答案】60、24、15．
【解析】因为12=2×2×3，15=3×5，而最小公倍数为120=2×2×2×3×5，所以丙是
3×5=15，则甲为3×5×2×2=60，乙为2×2×2×3=24，
所以甲为60，乙为24，丙为15．
【总结】利用短除法求最大公因数和最小公倍数的规律，分析题目中数字的规律，进而求解
结果．
课后作业
2431是三个素数的乘积，这三个素数是____________．
【难度】★
【答案】11、13、17．
【解析】．
【总结】从最小的素数开始除，利用能被2、3、5整除的数的特点来判断能不能整除．
108的素因数有____________________．
【难度】★
【答案】2、2、3、3、3．
【解析】．
【总结】本题一方面考查分解素因数，另一方面考查素因数的概念，注意与因数的区别．
两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是______．
【难度】★★
【答案】194．
【解析】99=2+97．
【总结】除了2之外的素数都是奇数，则和定为偶数，所以两素数之和如果为奇数的话，
则其中必定有2．
以下说法正确的有（ ）个
（1）任何一个奇数都是素数；
（2）除2以外的偶数都是合数；
（3）两个素数的积一定是合数；
（4）任何一个素数加上1都是偶数；
（5）两个连续的偶数一定互素；
（6）两个连续正整数一定互素．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】C
【解析】（1）错，1既不是素数也不是合数；（2）正确；（3）正确；（4）错，2加上1就是
奇数；（5）错，两个连续的偶数一定有公因数2；（6）正确．
【总结】本题主要考查素数、合数以及偶数等基本概念．
两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为____________．
【难度】★★
【答案】3和180；9和60；15和36；45和24．
【解析】因为，所以满足题目中条件的两个数为：①3和180；②3×3=9，
3×5×2×2=60；③3×5=15，3×3×2×2=36；④3×3×5=45，3×2×2=24．
【总结】利用短除法求最大公因数和最小公倍数的规律，分析题目中数字的规律，进而求解
结果．
24的所有因数中，互素的数共有______对．
【难度】★★
【答案】10对．
【解析】24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；其中1与其他的7个数字都互素，共有
7对；2与3互素，共1对；3与4、8互素，共2对；4、6、8、12、24两两均不互素，
则共有10对．
【总结】本题一方面考查因数的概念，另一方面考查互素的概念．
已知（a、b、c都是素数），那么M的因数中是合数的有_________．
【难度】★★
【答案】，，，．
【解析】M的因数有1，，，，，，，其中为合数的是，，
，．
【总结】主要考查素数、合数的定义．
把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm的木料锯成尽可能大，且大小、性质完
全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？
【难度】★★★
【答案】90块．
【解析】7.2cm=72毫米，6cm=60毫米，0.36dm=36毫米．
∵72，60，36的最大公因数为12，
∴正方体木块的边长为12毫米．
∵72÷12=6，60÷12=5，36÷12=3，
∴至少能锯6×5×3=90块．
【总结】给出的数据为小数，则可以利用单位之间的换算变成正整数，进而题目就转化为求
最大公因数问题．
一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？
【难度】★★★
【答案】72人．
【解析】2、3、4的最小公倍数为12，可安排12人一桌，那么一桌共需要饮料：
12÷2+12÷3+12÷4=13瓶，一共有78÷13=6桌，一共有6×12=72人．
【总结】将此问题转化为公倍数来解决．
已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．
【难度】★★★
【答案】28和12．
【解析】这两个正整数的最大公因数能整除最小公倍数，则它们的最大公因数能整除它
们的最大公因数和最小公倍数之和．88=1×2×2×2×11．
当最大公因数为1，则最小公倍数为87=3×29，显然，29-3=26不等于16，不合题意；
当最大公因数为2，则最小公倍数为86=2×43，86-2=84不等于16，不合题意；
当最大公因数为4，则最小公倍数为84=4×3×7，84-4=80不等于16，28-12=16等于
16，符合题意；
当最大公因数为8，则最小公倍数为80=8×2×5,40-26=14不等于16，不合题意；
当最大公因数为11，则最小公倍数为77=11×7，77-11=66不等于16，不合题意；
当最大公因数为22，则最小公倍数为66=22×3，66-22=44不等于16，不合题意；
当最大公因数为44，则最小公倍数为44，44-44=0不等于16，不合题意．
综上所述，这两个正整数为28和12．
【总结】本题综合性较强，主要考查对最大公因数和最小公倍数的理解，注意对解题方法的
理解和运用．
内容分析
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．
知识结构
模块一：素数、合数与分解素因数
知识精讲
1、素数与合数
（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；
（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；
（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．
分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
口算法分解素因数
例如：．
短除法分解素因数
35
5
7
形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
例题解析
在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，_________________________是素数，合数有______个．
【难度】★
【答案】2、17、97；7．
【解析】素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；1既不是素数，也不是合数．
【总结】本题主要考查素数和合数的定义．
将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________．
【难度】★
【答案】；2、2、3、7．
【解析】，其中素因数为2、2、3、7．
【总结】考查分解素因数的方法：可以用短除法，也可以用口算法分解素因数．
最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______．
【难度】★
【答案】6．
【解析】最小的自然数为0，最小的素数为2，最小的合数为4
【总结】考查素数和合数的定义，注意1和2的特殊性．
将100写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对．
【难度】★★
【答案】6
【解析】，共有6对．
【总结】100以内的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个．特别是20以内的素数，需要熟记．
下列说法中正确的个数有（ ）个
（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；
（2）两个素数的和一定是偶数；
（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；
（4）一个合数至少有三个因数；
（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．
A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）错．2和5的乘积为10.
错．除了2之外的素数都是奇数，但2和素数之和为奇数．
错．1和2的乘积为2，为素数．
对．一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数．
错．1不能写成素数相乘的形式．
【总结】在讨论素数和合数的分类时，需要特别注意1和2的特殊性．
如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_____________．
【难度】★★
【答案】5、6、7．
【解析】．
【总结】考查分解素因数的方法．
两个素数的和为21，那么这两个素数的积是______．
【难度】★★
【答案】38．
【解析】，．
【总结】20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，可以逐一尝试．
已知（a、b都为正整数），则a的最小值为______．
【难度】★★
【答案】2464．
【解析】，要使这个数字为一个数字的四次方，则最 小为．
【总结】考查分解素因数的方法，数字比较大的时候多采用短除法分解素因数．
面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？
【难度】★★★
【答案】44厘米或36厘米或34厘米．
【解析】，
则①长方形的长为18厘米，宽为4厘米，此时的周长为厘米；
②长方形的长为12厘米，宽为6厘米，此时的周长为厘米；
③长方形的长为9厘米，宽为8厘米，此时的周长为厘米．
【总结】将实际问题转化成数学中的分解素因数来解决．
模块二：公因数和最大公因数
知识精讲
公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
最大公因数
几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
两个数互素
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
求最大公因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
例题解析
36和54的公因数有_____________．
【难度】★
【答案】1、2、3、9、18．
【解析】36的因数有1、2、3、4、9、12、18、36；54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54．则公因数有1、2、3、9、18．
【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
126和630的最大公因数是________________．
【难度】★
【答案】126．
【解析】
故126和630的最大公因数是：．
【总结】考查短除法求最大公因数，当两个整数之间存在倍数关系时，则较小的数是它们的最大公因数．
在下列各组数中，互素的有（ ）组
（1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】D
【解析】互素的为（1）（3）（4）（5）．
【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
下列说法正确的是（ ）
A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数
B．两个不同的素数一定互素
C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素
D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5
【难度】★★
【答案】B
【解析】A错，例如4和9互素，但是4和9都是合数．
C错，1是所有整数的因数，所以如果1是两个整数的公因数，则这两个数不一定互素．
D错，若5能被a整除，则a为1或5，因为5是b的最小倍数，则，所以a和b
的最大公因数不一定是5，还有可能是1．
【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
三个数16、24和30的公因数有______．
【难度】★★
【答案】1、2．
【解析】16的因数是1、2、4、8、16；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
30的因数是1、2、3、5、6、10、15、30．则16、24、30的公因数为1、2．
【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．
【难度】★★
【答案】12．
【解析】因为，，所以60和48的公因数有2、3、2， 则60和48的最大公因数为，即这四个数的最大公因数是12．
【总结】求几个数的最大公因数时，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．
【难度】★★★
【答案】14．
【解析】每两棵树之间的距离要整除90和15，则为90和15的公因数，题目中问最少种多少棵树，则是求90和15的最大公因数，最大公因数为15．则每两棵树之间距离15米种一棵树，一排种7棵树，两排共种14棵树．
【总结】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公有素
因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．
【难度】★★★
【答案】486平方分米．
【解析】长方体的上面的面积等于长×宽，正面的面积等于长×高，则上面和正面面积之和是长×（宽+高），因为长、宽、高都是素数，所以209可以分解成两个素数之积与两个素数之的形式．而，且11不能写成两个素数相加的形式，19可以写成2和17相加的形式．则长方体的长宽高分别为11、17、2．可求出长方体的表面积为平方分米．
【总结】生活实际问题转化为数学中分解素因数问题．
求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）
【难度】★★★
【答案】79．
【解析】被除数÷除数=商．．．．．．余数，
42897÷18644=2．．．．．．5609，
18644÷5609=3．．．．．．1817，
5609÷1817=3．．．．．．158，
1817÷158=11．．．．．．．79，
158÷79=2．．．．．．0，
所以最大公因数为79．
【总结】对于特大数字的最大公因数的求法的问题，可以用辗转相除法来解决．
辗转相除法步骤：设两数为 ，求和最大公因数的步骤如下：用除以：
得：．若，则和最大公因数为；若，则再用除以，
得：．若，则和最大公因数为，若，则继续用除
以，……如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为和的最大公因数．
模块三：公倍数与最小公倍数
知识精讲
1、公倍数与最小公倍数
公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；
最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2、求两个数的最小公倍数
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；
如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
3、求三个数的最小公倍数
求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．
为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．
例题解析
已知，，则A与B的最小公倍数是______．
【难度】★
【答案】6300．
【解析】公有因数为2、5、7，则最小公倍数为．
【总结】考查最小公倍数的求法：取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，
将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数．
已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______．
【难度】★★
【答案】8、9．
【解析】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．所以72可以写成两个
合数的乘积，则这两个数为8和9.
【总结】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
下列说法中正确的个数为（ ）个
（1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；
（2）若，则两个正整数m、n的最小公倍数是m；
（3）互素的两个数没有公因数；
（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；
（5）若（a、b、c都是正整数），则a与b的最大公因数是c．
A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）错．三个正整数只有公因数1，并不能说明两个数的公因数只有1．例如2、
3、4，公因数只有1，但是2和4的公因数有1和2，不是互素的．
对．如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数．
错．互素的两个数的公因数为1．
错．如24能够同时被6、8整除，但24不能被48整除．
错．例如8÷2=4，8与2的最大公因数为2，不是4．
【总结】本题主要考查整除的相关概念，注意认真区分．
两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．
【难度】★★
【答案】36．
【解析】两个正整数的乘积等于这两个正整数的最小公倍数和最大公因数的乘积．
【总结】通过最小公倍数和最大公因数的求法可知，两个正整数的乘积等于这两个正整数的
最小公倍数和最大公因数的乘积．
求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）187和442； （2）36、84和39．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）
最大公因数为17，最小公倍数为17×11×26=4862；
（2）
最大公因数为3，最小公倍数为3×7×12×13=3276．
【总结】考查用短除法求最大公因数和最小公倍数．也可以用分解素因数的方法求最大公因
数和最小公倍数．需要注意两个数字的最大公因数的求法和三个数字的最大公因数的求法不
一样，两个数字的最大公因数为短除法左边素因数乘积即可，但是三个数字的最大公因数是
取三个公有的因数相乘．
某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．
【难度】★★
【答案】131人．
【解析】如果9人一组，则多5人，可以理解成若9人一组，则少4人．则题目可以理解
成若9人一组，则少4人；如果15人一组，则少4人．因为学生人数在130到 140
人，在130到140之间，9和15的公倍数为135，则该年级共有135-4=131人．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个实际问题了．
能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．
【难度】★★
【答案】810；1080．
【解析】 因为5、6、9互素，则5、6、9的最小公倍数为5×6×9=270，所以能被5、6、
9整除的数为270的倍数．其倍数中最大的三位数为270×3=810，最小的四位数为
270×4=1080．
【总结】能被整除的数可以转化为求的公倍数的问题来处理．
已知四位数是24的倍数，则A+B的最大值为多少？
【难度】★★★
【答案】16．
【解析】因为24=2×2×2×3，所以24的倍数一定能被2和3整除．被2整除，个位
B为0、2、4、6、8，其中最大取8；被3整除，A+2+0+8能被3整除，A最大取8．
此时，8208÷24=342，所以A+B的最大值为8+8=16．
【总结】本题主要考查能被2、3整除的数的特点．
动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？
【难度】★★★
【答案】540粒；45只．
【解析】因为如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子， 则
每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．所以共有花生
粒个数能同时被12、15、18整除．利用短除法求出12、15、18的最小公倍数为180，
则共有花生粒个数是180的倍数．因为第一群猴子猴四十几只，所以共有花生粒个数
在12×40=480到12×50=600之间．因为在480到600之间，180的倍数有540，则总
共有540粒花生，共有540÷12=45只猴子．
【总结】可以将实际问题转化成公倍数问题来处理．
一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？
【难度】★★★
【答案】37．
【解析】因为一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，所以这个数减去1之后能
同时被4、6、9整除，短除法可求出4、6、9的最小公倍数为36，则这个是最小为
36+1=37．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个问题了．
某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？
【难度】★★★
【答案】59．
【解析】如果平均分给10个班，则余下9个；也可以理解成如果平均分给10个班，则少1
个；如果平均分给12个班，则余下11个；也可以理解成如果平均分给12个班，则少
1个；如果平均分给15个班，则余下14个，也可以理解成如果平均分给15个班，
则少1个．所以皮球的个数加上1能同时被10、12、15整除，用短除法求出10、12、15的最小公倍数为60，所以皮球的个数为60-1=59个．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个实际问题了．
甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？
【难度】★★★
【答案】9月14日．
【解析】因为甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，所以下次
去少年宫距离上次同时去少年宫的天数能同时被3、5、7整除，短除法可得3、5、7
的最小公倍数为105，则经过105天（6月30天，7月31天，8月31天），即9 月
14日甲、乙、丙同时去少年宫．
【总结】本题主要考查利用最小公倍数解决实际问题．
随堂检测
在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．
【难度】★
【答案】74．
【解析】1到100这100个整数中，分为三类，1，素数，合数．所以合数的个数为
个．
【总结】考查素数、合数的定义，注意1的特殊性．
下列选项中分解素因数正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】考查分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式．A答案中 1
不是素数；B答案中9不是素数；C答案中4不是素数．
【总结】分解素因数一定要分解彻底，即分解到每个数都是素因数为止．
已知a和b都是小于10的合数，两位数是一个素数，这样的两位数是______．
【难度】★★
【答案】89．
【解析】小于10的合数为4、6、8、9．则四个数构成的两位数为素数的有89．
【总结】20以内的素数要求必须熟记．
在小于10的正整数中，两个互素的合数有____________．
【难度】★★
【答案】4和9、8和9．
【解析】小于10的正整数中，合数有4、6、8、9，其中互素的有4和9、8和9．
【总结】20以内的素数要求必须熟记．
三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，则n = ______．
【难度】★★
【答案】7．
【解析】因为三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，所以35、63、91
能够被整除，则为35、63、91的最大公因数，所以为7．
【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来
解决这个问题了．
已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，求三数的最小公倍数及最大公因数．
【难度】★★
【答案】6，540．
【解析】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，则甲、乙、丙分别为18，12，
90，则由短除法可知：最大公因数为6，最小公倍数为540．
【总结】考查求最小公倍数和最大公因数的求法．
如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么共有______个小朋友．
【难度】★★
【答案】7．
【解析】因为如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，
所以14个梨和21个苹果刚好平均分，14和21的最大公因数为7，则共有7个小朋友．
【总结】将生活实际问题转化为求最大公因数问题来解决．
一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，用它去除283和23，所得
余数也相同，求这个两位数．
【难度】★★★
【答案】13．
【解析】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，则这个两位数能够整除391和
此余数，也能整除40和此余数，则这个两位数一定能够整除（391+此余数）-（40+此
余数）=351，同理可得：这个两位数一定能被283-23=260整除．
因为391-40=351=13×27，283-23=260=13×20，所以这个数是13．
【总结】拓展提高题目，需要对整除定义非常熟练，对学生要求比较高．
共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？
【难度】★★★
【答案】17；49．
【解析】3和4的最小公倍数为12，则每隔12米的倍数的位置上的树不用移动．因为每
隔3米种了66棵树，则小路长（66-1）×3=195米．因为195÷12=16．．．．．．3，
所以16+1=17棵树不要移动．新挖树坑66-17=49个．
【总结】将实际问题转化为最小公倍数问题来解决．注意小路端点的树不要重复计算．
甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．
【难度】★★★
【答案】60、24、15．
【解析】因为12=2×2×3，15=3×5，而最小公倍数为120=2×2×2×3×5，所以丙是
3×5=15，则甲为3×5×2×2=60，乙为2×2×2×3=24，
所以甲为60，乙为24，丙为15．
【总结】利用短除法求最大公因数和最小公倍数的规律，分析题目中数字的规律，进而求解
结果．
课后作业
2431是三个素数的乘积，这三个素数是____________．
【难度】★
【答案】11、13、17．
【解析】．
【总结】从最小的素数开始除，利用能被2、3、5整除的数的特点来判断能不能整除．
108的素因数有____________________．
【难度】★
【答案】2、2、3、3、3．
【解析】．
【总结】本题一方面考查分解素因数，另一方面考查素因数的概念，注意与因数的区别．
两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是______．
【难度】★★
【答案】194．
【解析】99=2+97．
【总结】除了2之外的素数都是奇数，则和定为偶数，所以两素数之和如果为奇数的话，
则其中必定有2．
以下说法正确的有（ ）个
（1）任何一个奇数都是素数；
（2）除2以外的偶数都是合数；
（3）两个素数的积一定是合数；
（4）任何一个素数加上1都是偶数；
（5）两个连续的偶数一定互素；
（6）两个连续正整数一定互素．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】C
【解析】（1）错，1既不是素数也不是合数；（2）正确；（3）正确；（4）错，2加上1就是
奇数；（5）错，两个连续的偶数一定有公因数2；（6）正确．
【总结】本题主要考查素数、合数以及偶数等基本概念．
两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为____________．
【难度】★★
【答案】3和180；9和60；15和36；45和24．
【解析】因为，所以满足题目中条件的两个数为：①3和180；②3×3=9，
3×5×2×2=60；③3×5=15，3×3×2×2=36；④3×3×5=45，3×2×2=24．
【总结】利用短除法求最大公因数和最小公倍数的规律，分析题目中数字的规律，进而求解
结果．
24的所有因数中，互素的数共有______对．
【难度】★★
【答案】10对．
【解析】24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；其中1与其他的7个数字都互素，共有
7对；2与3互素，共1对；3与4、8互素，共2对；4、6、8、12、24两两均不互素，
则共有10对．
【总结】本题一方面考查因数的概念，另一方面考查互素的概念．
已知（a、b、c都是素数），那么M的因数中是合数的有_________．
【难度】★★
【答案】，，，．
【解析】M的因数有1，，，，，，，其中为合数的是，，
，．
【总结】主要考查素数、合数的定义．
把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm的木料锯成尽可能大，且大小、性质完
全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？
【难度】★★★
【答案】90块．
【解析】7.2cm=72毫米，6cm=60毫米，0.36dm=36毫米．
∵72，60，36的最大公因数为12，
∴正方体木块的边长为12毫米．
∵72÷12=6，60÷12=5，36÷12=3，
∴至少能锯6×5×3=90块．
【总结】给出的数据为小数，则可以利用单位之间的换算变成正整数，进而题目就转化为求
最大公因数问题．
一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？
【难度】★★★
【答案】72人．
【解析】2、3、4的最小公倍数为12，可安排12人一桌，那么一桌共需要饮料：
12÷2+12÷3+12÷4=13瓶，一共有78÷13=6桌，一共有6×12=72人．
【总结】将此问题转化为公倍数来解决．
已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．
【难度】★★★
【答案】28和12．
【解析】这两个正整数的最大公因数能整除最小公倍数，则它们的最大公因数能整除它
们的最大公因数和最小公倍数之和．88=1×2×2×2×11．
当最大公因数为1，则最小公倍数为87=3×29，显然，29-3=26不等于16，不合题意；
当最大公因数为2，则最小公倍数为86=2×43，86-2=84不等于16，不合题意；
当最大公因数为4，则最小公倍数为84=4×3×7，84-4=80不等于16，28-12=16等于
16，符合题意；
当最大公因数为8，则最小公倍数为80=8×2×5,40-26=14不等于16，不合题意；
当最大公因数为11，则最小公倍数为77=11×7，77-11=66不等于16，不合题意；
当最大公因数为22，则最小公倍数为66=22×3，66-22=44不等于16，不合题意；
当最大公因数为44，则最小公倍数为44，44-44=0不等于16，不合题意．
综上所述，这两个正整数为28和12．
【总结】本题综合性较强，主要考查对最大公因数和最小公倍数的理解，注意对解题方法的
理解和运用．