反比例函数在物理学中的应用
一、选择题
1．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数解析式ρ＝(m为常数，m≠0，V>0)，其图象如图1所示，则m的值为( )
图1
A．9
B．－9
C．4
D．－4
2．用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P＝I2R，则下列说法正确的是( )
A．当P为定值时，I与R成反比例
B．当P为定值时，I2与R成反比例
C．当P为定值时，I与R成正比例
D．当P为定值时，I2与R成正比例
3．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图2所示，若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10
A，则此用电器的可变电阻应( )
图2
A．不小于4.8
Ω
B．不大于4.8
Ω
C．不小于14
Ω
D．不大于14
Ω
4．公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”(如图3)．若现在已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1000
N和0.5
m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数图象大致是( )
图3
图4
5．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出气体对气缸壁产生的压强p(kPa)与每一次加压后气缸内气体的体积V(mL)的关系可以用如图5所示的函数图象进行表示，则下列说法正确的是( )
图5
A．气压p关于体积V的函数解析式为p＝kV(k＞0)
B．当气压p＝70时，体积V的取值范围为70＜V＜80
C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压p也变为原来的一半
D．当60≤V≤100时，气压p随着体积V的增大而减小
二、填空题
6.
收音机刻度盘的波长λ和频率f分别是用米和千赫兹为单位标刻的，波长λ和频率f满足解析式f＝，这说明波长λ越大，频率f就越________．
7．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t＝(k≠0)，其图象为如图6所示的一段曲线，若这段公路行驶速度不得超过60
km/h，则该汽车通过这段公路最少需要________h.
图6
8．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图7所示，则当力为20牛时，此物体在力的方向上移动的距离是________米．
图7
9.
一块长方体大理石板的A，B，C三个面的边长如图8所示，如果把大理石板的A面向下放在地上时，地面所受的压强为m帕，那么把大理石板的B面向下放在地上时，地面所受的压强是________帕(用含m的代数式表示)．
图8
三、解答题
10．暑假期间，喜欢探索的小明经过调查发现了近视眼镜的度数与镜片焦距的关系，列表如下：
眼镜度数y(度)
400
625
800
1000
…
1250
镜片焦距x(厘米)
25
16
12.5
10
…
8
(1)根据上表体现出来的规律，请写出眼镜度数y(度)与镜片焦距x(厘米)之间的函数解析式；
(2)若小明所戴眼镜的度数为500度，求该镜片的焦距．
11．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y(米)是其两腿迈出的步长之差x(厘米)(x＞0)的反比例函数，其图象如图9所示．
请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为________米；
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
图9
教室里的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10
℃，加热到100
℃停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30
℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30
℃时接通电源，在第1次关机前，水温y(℃)与时间x(min)的关系如图10所示．
(1)分别写出在第1次关机前，水温上升和下降阶段y与x之间的函数解析式；
(2)怡萱同学想喝高于50
℃的水，请问她最多需要等待多长时间．
图10
答案
1．A
2．B
3．A
4．A
5．D
6．小
7.
则t≥＝，
即该汽车通过这段公路最少需要
h.
8．36
9．3m ．
10．解：(1)从表中不难发现：
400×25＝10000，800×12.5＝10000，
同样，625×16＝10000，1000×10＝10000，1250×8＝10000，可得xy＝10000，
故眼镜度数y(度)与镜片焦距x(厘米)之间的函数解析式为y＝(x>0)．
(2)当y＝500时，x＝10000÷500＝20，
即该镜片的焦距为20厘米．
11．解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝.
根据题意，得7＝，
∴k＝14，
∴y与x之间的函数解析式为y＝.
(2)当x＝0.5时，y＝＝28，
∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米．
(3)当y≥35时，即≥35.
又∵x>0，∴x≤0.4，
∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米．
12解：(1)观察图象，可知当x＝7
min时，水温y＝100
℃.
在水温上升阶段，即当0≤x≤7时，设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.根据题意，得
解得
即在水温上升阶段，y关于x的函数解析式为y＝10x＋30(0≤x≤7)．
在水温下降阶段，即当x>7时，设y关于x的函数解析式为y＝.
根据题意，得100＝，解得a＝700，
即当x>7时，y关于x的函数解析式为y＝.
当y＝30时，x＝，
即在水温下降阶段，y关于x的函数解析式为y＝(7(2)将y＝50代入y＝10x＋30，得x＝2，
将y＝50代入y＝，得x＝14，
水温从50
℃降到30
℃，然后再升到50
℃的等待时间为－14＋2＝(min)，
∴怡萱同学想喝高于50
℃的水，她最多需要等待
min.反比例函数在日常生活中的应用
一、选择题
1．为了更好地保护水资源，某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，污水处理池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足解析式：S＝(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是( )
图1
2．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(单位：公顷)与总人口数x(单位：人)的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是( )
图2
A．该村人均耕地面积随总人口数的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口数x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口数为100人
D．若该村总人口数为50人，则人均耕地面积为1公顷
3．图3为某公园“水上滑梯”的侧面图，点A在y轴上，点D在x轴上，BC段可看成是一段双曲线，过点B作BE⊥x轴于点E，其中OA＝5米，进口AB∥OD，且AB＝2米，出口点C距水面的距离CD为1米，则B，C之间的水平距离DE的长度为( )
图3
A．5米
B．6米
C．7米
D．8米
二、填空题
4．山西拉面，又叫甩面、扯面、抻面，是西北城乡独具地方风味的汉族面食名吃，为山西四大面食之一．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(cm)与粗细(横截面面积)x(cm2)之间的变化关系如图4所示(双曲线的一支)．若将这个面团做成粗为0.16
cm2的拉面，则做出来的面条的总长度为________．
图4
5．根据某商场对某款运动鞋四天中的售价与销售量关系的调查显示，售价是销售量的反比例函数(统计数据见下表)．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为________元/双．
售价x(元/双)
200
240
250
400
销售量y(双)
30
25
24
15
三、解答题
6．湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)；
(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长是多少米？
7．方方驾驶小汽车从A地匀速行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：时)，行驶速度为v(单位：千米/时)，且全程速度限定为不超过120千米/时．
(1)求v关于t的函数解析式．
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车的行驶速度v的范围；
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
8.月电科技有限公司投入160万元作为新产品的研发费用，成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为每件4元，在销售过程中发现，每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图5所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本)
(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数解析式；
(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数解析式，并求出第一年年利润的最大值；
(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时的销售价格进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品的销售价格x(元/件)定在8元/件以上(x＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数图象，求销售价格x(元/件)的取值范围．
图5
答案
1．C
2．D
3．D
4．800
cm
5．300
6．解：(1)由长方形鱼塘的面积为2000平方米，得到xy＝2000，即y＝.
(2)当x＝20时，y＝＝100.
答：当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长是100米．
7．解：(1)根据题意，得vt＝480.
∴v＝.
由v≤120可得t≥4，
∴v关于t的函数解析式为v＝(t≥4)．
(2)①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时．
将t＝6代入v＝，得v＝80；将t＝代入v＝，得v＝100，
∴小汽车的行驶速度v的范围为80≤v≤100.
②方方不能在当天11点30分前到达B地．
理由如下：
8点至11点30分时间长为小时，<4.
∵t≥4，
∴方方不能在当天11点30分前到达B地．
8.解：(1)当4≤x≤8时，设y＝，
将(4，40)代入y＝，得k＝4×40＝160，
∴y与x之间的函数解析式为y＝(4≤x≤8)；
当8＜x≤28时，设y＝k′x＋b，将(8，20)，(28，0)代入y＝k′x＋b，得
解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝－x＋28(8综上所述，y与x之间的函数解析式为y＝
(2)当4≤x≤8时，s＝(x－4)y－160＝(x－4)·－160＝－.
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，s最大值＝－＝－80；
当8＜x≤28时，s＝(x－4)y－160＝(x－4)·(－x＋28)－160＝－(x－16)2－16，
∴当x＝16时，s最大值＝－16.
∵－16＞－80，
∴第一年年利润的最大值为－16万元．
综上：S＝S的最大值为－16万元．
(3)由(2)可知第一年的年利润为－16万元，
∴16万元应作为第二年的成本．
又∵x＞8，
∴第二年的年利润s＝(x－4)(－x＋28)－16＝－x2＋32x－128，
令s＝103，则103＝－x2＋32x－128，
解得x1＝11，x2＝21.
在平面直角坐标系中，画出s关于x的大致图象如图．
观察图象可知，当s≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润不低于103万元．
