北师大版九年级数学下册2.5 二次函数与一元二次方程课件（25张ppt）

(共25张PPT)
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
知识回顾
一元二次方程根的判别式：
式子b -4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示.
(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.
(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标是什么？
获取新知
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0 (m)是抛出时的高度，v0 (m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，
那么（1）h与t的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？
h=-5t2+40t
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程 -5t2+40t=0
二次函数y=x2+2x， y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示：
（1）每个图象与x轴有几个交点？
2个交点
1个交点
没有交点
（2）一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0,x2-2x+2=0
分别有几个实数根
二次函数y=x2+2x
一元二次方程x2+2x=0
解：x(x+2)=0
x=0或x+2=0
∴x1=0，x2=-2
与x轴有两个交点：
（-2,0）、（0,0）
方程有两个根：0、-2
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
解：(x-1)2=0
x-1=0
∴x1=x2=1
与x轴有一个交点：(1,0)
方程有两个相同的根：1
二次函数y=x2-2x+2
一元二次方程x2-2x+2=0
解：Δ=b -4ac
=(-2)2-4×1×2
=-4<0
∴原方程无实数根
与x轴没有交点
方程没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
一元二次方程ax2+bx+c=0
的根有三种情况：
有两个交点
有一个交点
没有交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根
例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，你能否解决以下问题：
例题讲解
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
O
h
t
15
1
3
你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
4
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗？
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5m.
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20.5
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面.
O
h
t
获取新知
不用求根公式，利用二次函数y=x2+2x-10的图象估计方程x2+2x-10=0的根.怎样估算？
如图是二次函数y=x2+2x-10的图象，可以看出图象与x轴有两个交点，由本节知识可知，方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间.
x
y
1
2
O
-10
3
4
-4
-3
-2
-1
-5
-11
y=x2+2x-10
利用计算器探索两根的近似值，过程如下：
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
在-5和-4之间的根，可以看出x≈-4.3.
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
在2和3之间的根，可以看出x≈2.3.
x
y
1
2
O
-10
3
4
-4
-3
-2
-1
-5
-11
y=x2+2x-10
本书规定：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位
(1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值);
利用图象法求一元二次方程的近似根
(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根
（两个函数值异号）
随堂演练
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
2.根据下列表格的对应值:
C
3.(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程
ax2＋bx＋c＝0的解是_______，_______；
(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的解是________，________，
∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标是_______和________．
x1=-3
x2 =1
x1=-1
x1=-2
(-1,0)
(-2,0)
4. 在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的部分图像如图所示,直线x=1是它的对称轴.若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2-15.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，
∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴b2－4ac≥0.
∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
6. 求方程x2-2x-6=0中较大的x2精确到0.1的近似值.(结果精确到0.1)
解：如图 ，画出二次函数
y＝x2－2x－6的图像.
观察画出的抛物线，现在求x2的近似值．
(1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，
y＞0，且在3＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，∴3＜x2＜4.
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2＜4.
(3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式中试值．
当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6＝0.562 5＞0；
当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范围内，
y随x的增大而增大，
∴3.5＜x2＜3.75.
课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况