【2021年高考一轮课程】物理 全国通用版 第24讲 带电粒子在复合场中的运动 现代科技中的电磁场问题 教案

2021年高考一轮复习
第二十四讲
带电粒子在复合场中的运动
现代科技中的电磁场问题
教材版本
全国通用
课时说明（建议）
120分钟
知识点
1.带电粒子在复合场中的运动分析和计算
2.
电磁的应用
复习目标
1．掌握带电粒子在复合场中的运动分析和计算应用
2．认识电磁现象的研究在社会发展中的作用：通过实验和理论分析，知道带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场，做匀速圆周运动；理解质谱仪、回旋加速器、速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应的的原理。
复习重点
1．速度选择器、质谱仪、回旋加速器的模型和解题思路
2．磁流体发电机的电动势的计算；
3．电磁流量计的流量；霍尔效应的应用。
4．带电粒子在复合场中的运动分析和计算
复习难点
带电粒子在复合场中的运动分析和计算
一、自我诊断
知己知彼
1．CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图（a）是某种CT
机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图（b）所示。图（b）中M、N之间有一电子束的
加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到
靶上，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）；将电子束打到靶上的点记为P点。则（
）
A．M处的电势高于N处的电势
B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
【答案】
D
【解析】A．由于电子带负电，要在MN间加速则MN间电场方向由N指向M，根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知M的电势低于N的电势，故A错误；B．增大加速电压则根据,
可知会增大到达偏转磁场的速度；又根据在偏转磁场中洛伦兹力提供向心力有，可得R＝，可知会增大在偏转磁场中的偏转半径，由于磁场宽度相同，故根据几何关系可知会减小偏转的角度，故P点会右移，故B错误；C．电子在偏转电场中做圆周运动，向下偏转，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，故C错误；
D．由B选项的分析可知，当其它条件不变时，增大偏转磁场磁感应强度会减小半径，从而增大偏转角度，使P点左移，故D正确。故选D。
2．如图所示，a、b是一对平行金属板，分别接到直流电源两极上，右边有一挡板，正中间开有一小孔d，在较大空间范围内存在着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，在a、b两板间还存在着匀强电场E.从两板左侧中点c处射入一束正离子(不计重力)，这些正离子都沿直线运动到右侧，从d孔射出后分成3束．则下列判断正确的是(　　)
A．这三束正离子的速度一定不相同
B．这三束正离子的质量一定不相同
C．这三束正离子的电荷量一定不相同
D．这三束正离子的比荷一定不相同
【答案】
D
【解析】本题考查带电粒子在电场、磁场中的运动，速度选择器的知识．带电粒子在金属板中做直线运动，qvB＝Eq，v＝，表明带电粒子的速度一定相等，而电荷的带电量、电性、质量、比荷的关系均无法确定；在磁场中R＝，带电粒子运动半径不同，所以比荷一定不同，D项正确．
3．(多选)1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示．这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是(　　)
A．离子由加速器的中心附近进入加速器
B．离子由加速器的边缘进入加速器
C．离子从磁场中获得能量
D．离子从电场中获得能量
【答案】
AD
【解析】本题源于课本而又高于课本，既考查考生对回旋加速器的结构及工作原理的掌握情况，又能综合考查磁场和电场对带电粒子的作用规律．由R＝知，随着被加速离子的速度增大，离子在磁场中做圆周运动的轨道半径逐渐增大，所以离子必须由加速器中心附近进入加速器，A项正确，B项错误；离子在电场中被加速，使动能增加；在磁场中洛伦兹力不做功，离子做匀速圆周运动，动能不改变．磁场的作用是改变离子的速度方向，所以C项错误，D项正确．
4．（多选）为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于上下底面方向加磁感应强度为B的匀强磁场，在前后两个内侧固定有金属板作为电极，污水充满管口从左向右流经该装置时，电压表将显示两个电极间的电压U.若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是(　　)
A．若污水中正离子较多，则前表面比后表面电势高
B．前表面的电势一定低于后表面的电势，与哪种离子多少无关
C．污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大
D．污水流量Q与U成正比，与a、b无关
【答案】BD
【解析】由左手定则可知，正离子受洛伦兹力向后表面偏，负离子向前表面偏，前表面的电势一定低于后表面的电势，流量Q＝＝＝vbc，其中v为离子定向移动的速度，当前后表面电压一定时，离子不再偏转，受洛伦兹力和电场力达到平衡，即qvB＝q，得v＝则流量Q＝·bc＝c，故Q与U成正比，与a、b无关．
5.
如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B1＝0.4T，方向垂直纸面向里，电场强度E＝2.0×105V/m，方向向下，PQ为板间中线。紧靠平行板右侧边缘的xOy坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.25T，磁场边界AO和y轴的夹角∠AOy＝45°。一束带电荷量q＝8.0×10－19C的正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为(0,0.2m)的Q点垂直于y轴射入磁场区域，离子通过x轴时的速度方向与x轴正方向的夹角为45°～90°之间。离子所受重力不计，则：
(1)离子运动的速度为多大？
(2)离子的质量应在什么范围内？
【答案】(1)5×105m/s　(2)4×10－26kg～8×10－26kg
【解析】　(1)因离子沿直线PQ运动，则有：qE＝qvB1，
∴v＝＝5×105m/s。
(2)离子进入磁场B2后，垂直于OA射出时，速度方向与x轴成45°角，由r1＝＝0.2m，∴m1＝＝8×10－26kg。
离子垂直于x轴射出时，如图所示，则有：r2＝r1＝0.1m；
由r2＝，∴m2＝＝4×10－26kg。
∴离子质量范围是4×10－26kg～8×10－26kg。
二、温故知新
夯实基础
三、典例剖析
举一反三
考点一
带电粒子在复合场中的运动
（一）典例剖析
例
多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
（1）求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为的离子总飞行时间为，待测离子的总飞行时间为，两种离子在质量分析器中
反射相同次数，求待测离子质量。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设离子经加速电场加速后的速度大小为v，有
①
离子在漂移管中做匀速直线运动，则
②
联立①②式，得
③
（2）根据动能定理，有
④
得
⑤
（3）离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，设其为，有
⑥
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为，在无场区的总路程设为，根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为v，设离子的总飞行时间为。有
⑦
联立①⑥⑦式，得
⑧
可见，离子从A到B的总飞行时间与成正比。由题意可得
可得
⑨
【易错点】粒子的运动过程不会分析
【方法点拨】（1）判定出粒子在漂移管中做匀速直线运动；
（2）理解带电粒子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的
（二）举一反三
1．如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0，周期为T0.在t＝0时刻将一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子由S1静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t＝时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区．(不计粒子重力，不考虑极板外的电场)
(1)求粒子到达S2时的速度大小v和极板间距d.
(2)为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件．
(3)若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t＝3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小．
【答案】(1)
　
　(2)B<
(3)　
【解析】(1)粒子由S1至S2的过程，根据动能定理得qU0＝mv2
①
由①式得v＝
②
设粒子的加速度大小为a，由牛顿第二定律得q＝ma
③
由运动学公式得d＝a()2
④
联立③④式得d＝
⑤
(2)设磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得qvB＝m
⑥
要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞，需满足2R>
⑦
联立②⑥⑦式得B<
(3)设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程所用时间为t1，有d＝vt1
⑧
联立②⑤⑧式得t1＝
⑨
若粒子再次到达S2时速度恰好为零，粒子回到极板间应做匀减速运动，设匀减速运动的时间为t2，根据运动学公式得d＝t2
⑩
联立⑧⑨⑩式得t2＝
?
设粒子在磁场中运动的时间为t
t＝3T0－－t1－t2
?
联立⑨??式得t＝
?
设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，由⑥式结合运动学公式得T＝
?
由题意可知T＝t
?
联立???式得B＝.
2．如图所示，两块平行金属极板MN水平放置，板长L＝1
m．间距d＝
m，两金属板间电压UMN＝1×104
V；在平行金属板右侧依次存在ABC和FGH两个全等的正三角形区域，正三角形ABC内存在垂直纸面向
里的匀强磁场B1，三角形的上顶点A与上金属板M平齐，BC边与金属板平行，AB边的中点P恰好在下金
属板N的右端点；正三角形FGH内存在垂直纸面向外的匀强磁场B2.已知A、F、G处于同一直线上，B、C、
H也处于同一直线上．AF两点的距离为
m．现从平行金属板MN左端沿中心轴线方向入射一个重力不计
的带电粒子，粒子质量m＝3×10－10
kg，带电荷量q＝＋1×10－4
C，初速度v0＝1×105
m/s.
(1)求带电粒子从电场中射出时的速度v的大小和方向；
(2)若带电粒子进入中间三角形区域后垂直打在AC边上，求该区域的磁感应强度B1；
(3)若要使带电粒子由FH边界进入FGH区域并能再次回到FH界面，求B2应满足的条件．
【答案】(1)×105
m/s　与水平方向夹角为30°
(2)
T　(3)大于
T
【解析】(1)设带电粒子在电场中做类平抛运动时间为t，加速度为a，＝ma
故a＝＝×1010
m/s2
t＝＝1×10－5
s
竖直方向的速度为vy＝at＝×105
m/s
射出电场时的速度为v＝＝×105
m/s
速度v与水平方向夹角为θ，tan
θ＝＝，故θ＝30°，即垂直于AB方向射出
(2)带电粒子出电场时竖直方向偏转的位移y＝at2＝
m＝，即粒子由P点垂直AB边射入磁场，由几何关系知在磁场ABC区域内做圆周运动的半径为R1＝＝
m
由B1qv＝知B1＝＝
T
(3)分析知当运动轨迹与边界GH相切时，对应磁感应强度B2最小，运动轨迹如图所示：
由几何关系可知R2＋＝1
故半径R2＝(2－3)
m
又B2qv＝m，
故B2＝
T
所以B2应满足的条件为大于
T.
考点二
回旋加速器
（一）典例剖析
例
1932年美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，巧妙地利用带电粒子在磁场中的运动特点，解决了粒子的加速问题。现在回旋加速器被广泛应用于科学研究和医学设备中。某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图为俯视图乙。回旋加速器的核心部分为D形盒，D形盒装在真空容器中，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，磁场可以认为是匀强在场，且与D形盒盒面垂直。两盒间狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。D形盒半径为R，磁场的磁感应强度为B。设质子从粒子源A处时入加速电场的初速度不计。质子质量为m、电荷量为+q。加速器接一定频率高频交流电源，其电压为U。加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。
(
高频电源
出口处
R
A
B
D
2
1
D
1
1
图甲
图乙
)
(1)求质子第1次经过狭缝被加速后进入D形盒运动轨道的半径r1；
(2)求质子从静止开始加速到出口处所需的时间t
；
(3)如果使用这台回旋加速器加速α粒子，需要进行怎样的改动？请写出必要的分析及推理。
【答案】（1）
（2）
(3)
改动方法一：让回旋磁场的磁感应强度加倍。
改动方法二：让加速高频电压的频率减半。
【解析】（1）设质子第1次经过狭缝被加速后的速度为v1
①
②
联立①②解得：
（2）设质子从静止开始加速到出口处被加速了n圈，质子在出口处的速度为v
③
④
⑤
⑥
联立③④⑤⑥解得
(3)
回旋加速器正常工作时高频电压的频率必须与粒子回旋的频率相同。设高频电压的频率为f,
则
当速α粒子时α粒子的比荷为质子比荷的2倍，
，所以不用直接使用。
改动方法一：让回旋磁场的磁感应强度加倍。
改动方法二：让加速高频电压的频率减半。
【易错点】回旋加速器改动不会分析。
【方法点拨】
(1)回旋加速器的构造及工作原理。
(2)回旋加速器的工作条件。
(3)带电粒子在电场中的加速时间相对于在磁场中做圆周运动的时间可忽略不计。
（二）举一反三
1．在高能物理研究中，粒子加速器起着重要作用，而早期的加速器只能使带电粒子在高压电场中加速一次，因而粒子所能达到的能量受到高压技术的限制。1930年，Earnest
O.
Lawrence提出了回旋加速器的理论，他设想用磁场使带电粒子沿圆弧形轨道旋转，多次反复地通过高频加速电场，直至达到高能量。图甲为Earnest
O.
Lawrence设计的回旋加速器的示意图。它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝；两个D型盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压。图乙为俯视图，在D型盒上半面中心S处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D型盒中。在磁场力的作用下运动半周，再经狭缝电压加速；为保证粒子每次经过狭缝都被加速，应设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，最后到达D型盒的边缘，获得最大速度后被束流提取装置提取出。已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，狭缝之间的距离为d。设正离子从离子源出发时的初速度为零。
(
B
接交流电源
甲
S
乙
)
（1）试计算上述正离子从离子源出发被第一次加速后进入下半盒中运动的轨道半径；
（2）尽管粒子在狭缝中每次加速的时间很短但也不可忽略。试计算上述正离子在某次加速过程当中从离开离子源到被第n次加速结束时所经历的时间；
（3）不考虑相对论效应，试分析要提高某一离子被半径为R的回旋加速器加速后的最大动能可采用的措施。
【答案】（1）
（2）+
（3）增大加速器中的磁感应强度B。
【解析】（1）设正离子经过窄缝被第一次加速加速后的速度为v1，由动能定理得
正离子在磁场中做匀速圆周运动，半径为r1，由牛顿第二定律得
由以上两式解得
（2）设正离子经过窄缝被第n次加速加速后的速度为vn，由动能定理得
粒子在狭缝中经n次加速的总时间
由牛顿第二定律
由以上三式解得电场对粒子加速的时间
正离子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
又
粒子在磁场中做圆周运动的时间
由以上三式解得
所以，粒子从离开离子源到被第n次加速结束时所经历的时间
+
（3）设离子从D盒边缘离开时做圆周运动的轨迹半径为rm，速度为vm
离子获得的最大动能为
所以，要提高某一离子被半径为R的回旋加速器加速后的最大动能可以增大加速器中的磁感应强度B。
2.
如图所示为一种获得高能粒子的装置。环形区域内存在垂直纸面向外，大小可调的匀强磁场。M、N为两块中心开有小孔的极板，每当带电粒子经过M、N板时，都会被加速，加速电压均为U；每当粒子飞离电场后，M、N板间的电势差立即变为零。粒子在M、N间的电场中一次次被加速，动能不断增大，而绕行半径R不变（M、N两极板间的距离远小于R）。当t=0时，质量为m，电荷量为+q的粒子静止在M板小孔处，
(
M
N
O
R
B
)
（1）求粒子绕行n圈回到M板时的动能En；
（2）为使粒子始终保持在圆轨道上运动，磁场必须周期性递增；求粒子绕行第n圈时磁感应强度B的大小；
（3）求粒子绕行n圈所需总时间tn。
【答案】（1）粒子绕行一圈动能的增量为qU，绕行n圈所获得的总动能
（2）
（3）
【解析】（1）粒子绕行一圈动能的增量为qU，绕行n圈所获得的总动能
（2）因为
得
（3）粒子做半径为R的匀速圆周运动，每一圈所用时间为，
由于第一圈速度不同，所以每一圈所需时间也不同
第一圈：
第二圈：
……第n圈的速度
故绕行n圈所需总时间
考点三
磁流体发电机
（一）典例剖析
例1.
磁流体发电是一项新兴技术，如图是它的示意图。相距为d的两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场。一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子）以速度v沿垂直于磁场的方向射入磁场，由于等离子体在磁场力的作用下运动方向发生偏转，P、Q板上就会聚集电荷，从而在两板间产生电压。若P、Q两板间的磁场、电场按匀强磁场、匀强电场处理，磁感应强度为B。
(
N
S
P
b
a
R
等离子体
Q
)
（1）求这个发电机的电动势E；
（2）发电机的输出端a、b间接有阻值为R的电阻，发电机的内电阻为r。
a．在图示磁极配置的情况下，判断通过电阻R的电流方向；
b．计算通过电阻R的电流大小I。
【答案】（1）
（2）a．从a到b
b．
【解析】（1）发电机的电动势
（2）a．通过电阻R的电流方向：从a到b
b．根据闭合电路欧姆定律
通过电阻R的电流大小
【易错点】发电机的电动势中d的确定。
【方法点拨】磁流体发电机共6个面，B、d、v各穿过2个面。
例2如图是磁流体发电机原理示意图．设平行金属板间距为d，发电通道长为a、宽为b，其间有匀强磁场，磁感应强度为B，导电流体的流速为v，电阻率为，负载电阻为R，导电流体从一侧沿垂直磁场且与极板平行方向射入极板间，求：
（1）该发电机产生的电动势；
（2）负载R上的电流I；
（3）证明磁流体发电机总功率p与发电通道的体积成正比，与磁感应强度的平方成正比；
（4）为了使导电流体以恒定速度v通过磁场，发电通道两端需保持一定的压强差，试计算压强差。
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）在发电通道的前后两面加上匀强磁场后，等粒子体经过管道时受洛伦兹力作用会发生偏转（即霍尔效应）．达到动态平衡时，满足
则发电机产生的电动势为
（2）
（3）发电机的总功率为
（其中
）
（4）当等粒子体受到的安培力与受到的压力差相等时，等粒子体才能以恒定速度通过磁场，即有
【易错点】压强公式忘记，无法求解。
【方法点拨】安培力与压力差等大反向。
（二）举一反三
1．磁流体发电技术是目前世界上正在研究的新兴技术。如图所示是磁流体发电机示意图，发电管道部分长l、高为h、宽为d。前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极。两个电极与负载电阻R相连。整个管道放在匀强磁场中，磁感强度大小为B，方向垂直前后侧面向后。现有平均电阻率为的电离气体持续稳定地向右流经管道。实际情况较复杂，为了使问题简化，设管道中各点流速相同，电离气体所受摩擦阻力与流速成正比，无磁场时电离气体的恒定流速为v0，有磁场时电离气体的恒定流速为v。
（1）求流过电阻R的电流的大小和方向；
（2）为保证持续正常发电，无论有无磁场存在，都对管道两端电离气体施加附加压强，使管道两端维持一个水平向右的恒定压强差△p，求△p的大小；
（3）求这台磁流体发电机的发电效率。
【答案】（1）
电流方向为M到N
（2）
（3）
【解析】　（1）将电离气体等效为导体切割磁感线产生感应电动势E=Bhv
内电阻
根据欧姆定律
解得
电流方向为M到N
（2）已知摩擦力与流速成正比，设比例系数k
取管道内全部气体为研究对象，根据力的平衡
无磁场时
有磁场时
解得
（3）输入功率
电源功率
发电效率
2．磁流体发电具有结构简单、启动快捷、环保且无需转动机械等优势。如图所示，是正处于研究阶段的磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极，这两个电极通过开关与阻值为R的某种金属直导体MN连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里。高温等离子体以不变的速率v水平向右喷入发电通道内，发电机的等效内阻为r，忽略等离子体的重力、相互作用力及其他因素。
(
l
B
等离子体流动方向
a
b
R
M
N
)
（1）求该磁流体发电机的电动势大小E；
（2）当开关闭合后，整个闭合电路中就会产生恒定的电流。
a．要使等离子体以不变的速率v通过发电通道，必须有推动等离子体在发电通道内前进的作用力。如果不计其它损耗，这个推力的功率PT就应该等于该发电机的总功率PD，请你证明这个结论；
b．若以该金属直导体MN为研究对象，由于电场的作用，金属导体中自由电子定向运动的速率增加，但运动过程中会与导体内不动的粒子碰撞从而减速，因此自由电子定向运动的平均速率不随时间变化。设该金属导体的横截面积为s，电阻率为，电子在金属导体中可认为均匀分布，每个电子的电荷量为e。求金属导体中每个电子所受平均阻力的大小f。
【答案】8
m/s.
【解析】（1）当外电路断开时，极板间的电压大小等于电动势。此时，发电通道内电荷量为q的离子受力平衡。有：
①
可得：②（3分）
（2）a．当电键闭合，由欧姆定律可得：③
该电流在发电通道内受到的安培力大小为：
④
要使等离子体做匀速直线运动，所需的推力为:
⑤
推力F的功率为：
⑥
联立②③④⑤⑥可得：⑦
闭合电路中发电机的总功率为:
联立②③⑧可得：
由⑦⑨可得：
可见，推力的功率就等于该发电机的总功率。
b．方法一：
设金属导体R内电子运动的平均速率为v1，单位体积内的电子数为n，
t时间内有N个电子通过电阻的横截面，则：
t时间内通过横截面的电荷量为：
电流为：
联立
可得：
设金属导体中的总电子数为N1，长度为d，由于电子在金属导体内可视为匀速直线运动，所以电场力的功率（电功率）应该等于所有电子克服阻力f做功的功率，即：
由电阻定律得：
联立
（4分）
方法二：
设金属导体的长度为d，电阻为R，由电阻定律得：
金属导体两端的电压为：
金属导体内的电场可看作匀强电场，设场强大小为E0，则：
电子在金属导体内匀速直线运动，阻力等于电场力，则：
联立
考点四
霍尔元件
（一）典例剖析
例
如图所示，厚度为h，宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的均匀磁场中，当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A′之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。实验表明，当磁场不太强时，电势差U、电流I和B的关系为U=kIB/d，式中的比例系数k称为霍尔系数。
霍尔效应解释如下：外部磁场的洛伦兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与洛伦兹力方向相反的静电力，当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。设电流I是由于电子的定向移动形成的，电子的平均定向移动速度为v，电量为e。回答下列问题：
（1）达到稳定状态时，比较导体板上侧面A的电势与下侧面A′的电势的高低；
（2）电子所受洛伦兹力的大小为多少？
（3）当导体板上下两侧之间的电势差为U时，电子所受静电力的大小为多少？
（4）由静电力和洛伦兹力平衡的条件，证明霍尔系数为k=1/ne，其中n代表导体板单位体积中电子的个数。
【答案】（1）A侧面的电势低于A′侧面的电势（2）evB（3）F=
（4）k=
【解析】（1）当导体置于磁场中时，导体内自由电子在洛伦兹力作用下向上侧面A偏转，结果A侧面有多余的电子，A′侧面少了电子，故A侧面的电势低于A′侧面的电势；
（2）电子在运动中所受洛伦兹力的大小为evB；
（3）当导体板上下两侧面之间出现电势差Ｕ时，导体内产生的电场大小为E=U/h，方向由A′侧面指向A侧面.故电子所受静电力的大小为F=eE=；
（4）如图所示，当电子所受的电场力与洛伦兹力平衡时，得
evB=eE，即E=Bv
又I=neSv=nehdv
将以上各式代入U=
k
，可得k=
【易错点】那一部分电势高判断出错。
【方法点拨】用左手定则判断：先判断带电粒子电性，再用左手四指指电流方向大拇指指带电粒子受力方向，再判断电势高低。
（二）举一反三
1.
(1)如图所示，一段长方体金属导电材料，厚度为a、高度为b、长度为l，内有带电量为e的自由电子。该导电材料放在垂直于前后表面的匀强磁场中，内部磁感应强度为B。当有大小为I的稳恒电流垂直于磁场方向通过导电材料时，在导电材料的上下表面间产生一个恒定的电势差U。求解以下问题：
(a)分析并比较上下表面电势的高低；
(b)该导电材料单位体积内的自由电子数量n。
(2)经典物理学认为金属导体中恒定电场形成稳恒电流，而金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞。设某种金属中单位体积内的自由电子数量为n，自由电子的质量为m，带电量为e，自由电子连续两次碰撞的时间间隔的平均值为t。试这种金属的电阻率。
【答案】(1)下表面电势高；
(2)
(3)
【解析】(1)下表面电势高；
(2)
①
②
③
④
⑤
联立①②③④⑤
(3)
设金属导电材料内的匀强电场强度为E
电子定向移动的加速度为
经过时间t获得的定向移动速度为
在时间t内的平均速度为
电流为
欧姆定律
得
四、分层训练
能力进阶
【基础】
1.
如图所示为实验用磁流体发电机，两极板间距
d=20
cm，磁感应强度B=5
T。若接入额定功率P＝100
W的灯泡，恰好正常发光，且灯泡正常发光的电阻R＝400
Ω。不计发电机内阻，则等离子体的流速
为
m/s。若等离子体为一价离子，每秒钟打在上极板的离子个数为
，离子带
电。
【答案】200
1.6×1018个
负
【解析】本题考查对磁流体发电原理的理解。
当等离子体匀速通过两极板时，极板间的电压即为电源的电动势。
即q=qvB，U=Bdv
而由灯泡正常发光得P=，可求出U=
V=200
V
则等离子体流速v=m/s=200
m/s。
由于通过灯泡的电流是由等离子体向极板定向运动形成的，故每秒钟打在上极板的离子个数为：
n==1.6×1018（个）。
2.一电荷量为q的带正电粒子，速度大小为v，方向水平向右，不计粒子重力。
(1)如图甲，若进入电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场，求粒子受到电场力的大小和方向。
(2)如图乙，如进入磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场，求粒子刚进入磁场时受到洛伦兹力的大小和方向。
【答案】(1)F=Eq方向水平向右
(2)F=qvB方向垂直纸面向里
【解析】（1）根据F=Eq可知，粒子受到的电场力F=Eq，粒子带正电，故受力方向与电场强度方向相同，即水平向右；
（2）洛伦兹力F=Bqv，根据左手定则可知，洛伦兹力的方向垂直纸面向里。
3．（多选）劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示。这台加速器由两个铜质D形盒构成，其间留有空隙。下列说法正确的是(　　)
A．离子由加速器的中心附近进入加速器
B．离子由加速器的边缘进入加速器
C．离子从磁场中获得能量
D．离子从电场中获得能量
【答案】AD
【解析】离子在磁场中做匀速圆周运动，速度越大，轨道半径越大，所以离子要从加速器的中心附近进入加速器。洛伦兹力总是垂直于速度的方向，所以磁场是不对离子做功的，它的作用只是改变离子的速度方向，而电场的作用才是加速离子，使之获得能量。由此可见，选项A、D是正确的。
4.
如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】由几何关系可得：从a点射出的粒子半径，从d点射出的粒子半径为；由可得：，解得，，所以B正确。故本题选择B。
【巩固】
1.如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设粒子进入第二象限时坐标为（），由于粒子垂直于x轴射入，又垂直于y轴射出，由几何关系可知，粒子在第二象限中运动的半径=，根据可知，粒子在第一象限运动时，=2=2，设粒子在第一象限运动对应的偏转角为，则由几何关系可得
，得=60°。
粒子运动时间，，,
2.笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作。当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的（
）
A.前表面的电势比后表面的低
B.前、后表面间的电压U与v无关
C.前、后表面间的电压U与c成正比
D.自由电子受到的洛伦兹力大小为
【答案】D
【解析】根据左手定则，负电荷受洛伦兹力偏向后表面，所以后表面电势低，A项错误；极板间稳定电压出现在电场力与洛伦兹力平衡时则，则B、C错误，D正确。
3.如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是（
）
A.粒子带正电
B.粒子在b点速率大于在a点速率
C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D.若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
【答案】C
【解析】根据一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出由此可以判断粒子在a点受力向下，由左手定则粒子带负电，A选项错。由于粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力不做功，粒子速率不变，B选项错。若仅减小磁感应强度，则粒子半径变大，可能从b点右侧射出，C正确。若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动半径变小，旋转角度变大，由周期公式可知，运动时间变长。
4.
磁流体推进船的动力来源于电流与磁场间的相互作用。图甲是在平静海面上某实验船的示意图，磁流体推进器由磁体、电极和矩形通道（简称通道）组成，如图乙所示，通道尺寸a=2.0
m、b＝0.15
m、c＝0.10
m。工作时。在通道内沿z轴正方向加B=
8.0
T的匀强磁场；沿x轴负方向加匀强电场，使两金属板间的电压U=99.6
V；海水沿y轴方向流过通道。已知海水的电阻率ρ=0.20
Ω·m。
图甲
图乙
（1）船静止时，求电源接通瞬间推进器对海水推力的大小和方向；
（2）船以v＝5.0
m/s的速度匀速前进。若以船为参照物，海水以5.0
m/s的速率涌入进水口，由于通道的截面积小于进水口的截面积，在通道内海水速率增加到vd＝8.0
m/s。求此时两金属板间的感应电动势U感；
（3）船行驶时，通道中海水两侧的电压按U′=U–U感计算，海水受到电磁力的80%可以转化为对船的推力。当船以vs＝5.0
m/s的速度匀速前进时，求海水推力的功率
【答案】　（1）796.8
N
（2）9.6
V
（3）2880
W
【解析】（1）根据安培力公式，推力F1=I1Bb，其中I1=，R=
则F1==796.8
N
对海水推力的方向沿y轴正方向（向右）。
（2）U感=Bvdb=9.6
V
（3）根据欧姆定律，I2==600
A
安培推力F2=I2Bb＝720
N
对船的推力F=80％F2=576
N
推力的功率P=Fvs=80％F2vs=2880
W
【拔高】
1.如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°。粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）粒子在电场中加速后速度为v，则
解得
粒子在磁场中偏转，运动轨迹如图所示：
洛伦兹力提供向心力，则：
解得
由几何关系可知：
综上，解得
（2）粒子在磁场中运动的周期：
所以粒子在磁场中运动时间：
粒子离开磁场后，根据几何关系，到x轴的距离：
离开磁场后运动时间：
所以，粒子运动的总时间：
2.
磁流体发电是一种新型发电方式，如图是其工作原理示意图。左图中的长方体是发电导管，其中空部分的长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可略的导体电极，这两个电极与负载电阻RL相连。整个发电导管处于右图中磁场线圈产生的匀强磁场里，磁感应强度为B，方向如图所示。发电导管内有电阻率为ρ的高温、高速电离气体沿导管向右流动，并通过专用管道导出。由于运动的电离气体受到磁场作用，产生了电动势。发电导管内电离气体流速随磁场有无而不同。设发电导管内电离气体流速处处相同，且不存在磁场时电离气体流速为v0，电离气体所受摩擦阻力总与流速成正比，发电导管两端的电离气体压强差Δp维持恒定，求：
（1）不存在磁场时电离气体所受的摩擦阻力F多大；
（2）磁流体发电机的电动势E的大小；
（3）磁流体发电机发电导管的输入功率P。
【答案】（1）　（2）（3）
【解析】（1）不存在磁场时，由力的平衡得
（2）设磁场存在时的气体流速为，则磁流体发电机的电动势
回路中的电流
电流I受到的安培力
设为存在磁场时的摩擦阻力，依题意
存在磁场时，由力的平衡得
根据上述各式解得
（3）磁流体发电机发电导管的输入功率
由能量守恒定律得
故
3.有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图所示。左侧静电分析器中有方向指向圆心O、与O点等距离各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零。离子源发出两种速度均为v0、电荷量均为q、质量分别为m和0.5m的正离子束，从M点垂直该点电场方向进入静电分析器。在静电分析器中，质量为m的离子沿半径为r0的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从N点水平射出，而质量为0.5m的离子恰好从ON连线的中点P与水平方向成θ角射出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m的离子打在O点正下方的Q点。已知OP＝0.5r0，OQ＝r0，N、P两点间的电势差，，不计重力和离子间相互作用。
（1）求静电分析器中半径为r0处的电场强度E0和磁分析器中的磁感应强度B的大小；
（2）求质量为0.5m的离子到达探测板上的位置与O点的距离l（用r0表示）；
（3）若磁感应强度在（B﹣△B）到（B+△B）之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为m和0.5m的两東离子，求的最大值
【答案】（1）静电分析器中半径为r0处的电场强度E0为，磁分析器中的磁感应强度B的大小为；
（2）质量为0.5m的离子到达探测板上的位置与O点的距离l为1.5r0；
（3）若磁感应强度在（B﹣△B）到（B+△B）之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为m和0.5m的两東离子，的最大值为：0.12。
【解析】解：（1）在静电分析器中，电场力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qE0＝m，
解得：E0；
离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv0B＝m，
解得：B；
（2）对离子，由动能定理得：qUNP，
解得：vv0，
离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB＝0.5m，
解得：rr0，
距离：l＝2rcosθ﹣0.5r0，
解得：l＝1.5r0；
（3）恰好能分辨的条件：，
解得：4≈0.12；
4.
1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q
，在加速器中被加速，加速电压为U。加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。
（1）求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；
（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t
；
（3）实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能E㎞。
【答案】(1)
（2）（3）当≤时，当≥时，
【解析】　(1)设粒子第1次经过狭缝后的半径为r1,速度为v1
qu=mv12
qv1B=m
解得
同理，粒子第2次经过狭缝后的半径
则
（2）设粒子到出口处被加速了n圈
解得
（3）加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即
当磁场感应强度为Bm时，加速电场的频率应为
粒子的动能
当≤时，粒子的最大动能由Bm决定
解得
当≥时，
粒子的最大动能由fm决定
解得
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