【2021年高考一轮课程】物理 全国通用版 第32讲 机械振动 机械波 教案
文档属性
| 名称 | 【2021年高考一轮课程】物理 全国通用版 第32讲 机械振动 机械波 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2020-10-13 11:54:04 | ||
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文档简介
2021年高考一轮复习
第32讲
机械振动
机械波
教材版本
全国通用
课时说明
120分钟
知识点
1．机械振动及图像
2．机械波及图像
3．波的干涉与衍射
复习目标
1．理解掌握简谐振动的公式和图像，单摆、周期公式．
2．了解受迫振动和共振
3．理解机械波的形成机制；能识别干涉和衍射图样
复习重点
简谐振动的公式和图像，单摆、周期公式、受迫振动和共振
2.
理解机械波的形成机制；能识别干涉和衍射图样
复习难点
振动波动图像
一、自我诊断
知己知彼
1．如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动．以其平衡位置为坐标原点、竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．振子的振幅为4
cm
B．振子的振动周期为1
s
C．t＝1
s时，振子的速度为正的最大值
D．t＝1
s时，振子的加速度为正的最大值
【答案】 C
【解析】由振动图象可知，该弹簧振子的振幅为2
cm，周期为2
s，t＝1
s时，振子正经过平衡位置沿y轴正方向运动，加速度为零，速度为正的最大值，故C正确．
2．如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5
cm．若振子从B到C的运动时间是1
s，则下列说法中正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1
s，振幅是10
cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20
cm
D．从B开始经过3
s，振子通过的路程是30
cm
【答案】 D
【解析】振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1
s＝2
s，选项A、B错误；振幅A＝BO＝5
cm，振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20
cm，所以两次全振动中通过的路程为40
cm，选项C错误；3
s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30
cm，选项D正确．
3．(多选)如图所示，图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中x＝2
m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图象，质点Q的平衡位置位于x＝3.5
m．下列说法正确的是( )
A．在0.3
s时间内，质点P向右移动了3
m
B．这列波的传播速度是20
m/s
C．这列波沿x轴正方向传播
D．t＝0.1
s时，质点P的加速度大于质点Q的加速度
E．t＝0.25
s时，x＝3.5
m处的质点Q到达波谷位置
【答案】 CD
【解析】据波的传播特点可知，质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，故A错误；由图知：λ＝4
m，T＝0.4
s，则波速v＝＝
m/s＝10
m/s.故B错误．由乙图读出，t＝0时刻质点P的速度向上，则由波形的平移法可知，这列波沿x轴正方向传播．故C正确．当t＝0.1
s时，质点P处于最大位移处，据简谐运动的特点可知，此时加速度最大，而质点Q此时不在最大位移处，所以质点P的加速度大于质点Q的加速度，故D正确；据图象可知经过0.2
s时，质点P再次到达平衡位置，运动方向向下，而质点Q位于平衡位置上方；由于两质点相距1.5
m，再经过0.05
s时，质点P位移与质点Q在0时刻的位移相同，所以质点Q处于平衡位置的最上方，即处在波峰，故E错误．故选C、D.
4．(多选)一质点做简谐运动的图像如图所示，则下列结论中，正确的是( )
A．质点速度最大而加速度为零的时刻分别是0.1
s、0.3
s
B．质点速度为零而加速度为负方向最大值的时刻分别是0、0.4
s
C．质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0.3
s
D．振动系统势能最大而加速度为正方向最大值的时刻是0.3
s
【答案】 ABC
【解析】质点在0.1
s和0.3
s时刻，位移为零，故加速度为零，速度最大，A正确；质点在0和0.4
s时刻，位移为正方向最大值，故速度为零，加速度为负方向最大值，B正确；质点在0.3
s时刻，位移由负方向变为正方向，则回复力由正方向变为负方向，C正确；质点在0.3
s时刻，位移为零，振动系统势能和加速度都为零，D错误．
5．(多选)如图，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.1
s时的波形图．若该波传播的速度为10
m/s，则( )
A．这列波的波长为2
m
B．这列波的周期为0.4
s
C．这列波沿x轴负方向传播
D.
t＝0时刻质点a沿y轴负方向运动
E．从t＝0时刻开始经0.2
s，质点a沿x轴负方向移动2
m
【答案】 BCD
【解析】 由题图可知，波长为λ＝4
m，故A错误；由公式v＝得：T＝＝
s＝0.4
s，故B正确；如果波向x轴正方向传播，则有：T＋nT＝0.1
s(n＝0,1,2,3…)，即(0.3＋0.4n)
s＝0.1
s(n＝0,1,2,3…)，在n的取值范围内，等式不成立，所以不可能向x轴正方向传播，如果波向x轴负方向传播，则有T＋nT＝0.1
s(n＝0,1,2，3…)，当n＝0时等式成立，故C正确；由C项分析可知，波向x轴负方向传播，根据“同侧法”可知，t＝0时刻质点a沿y轴负方向运动，故D正确；质点不会随波迁移，只会在各自平衡位置附近振动，故E错误．
6．(多选)如图所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是( )
A．只有A、C的振动周期相等
B．C的振幅比B的振幅小
C．C的振幅比B的振幅大
D．A、B、C的振动周期相等
【答案】 CD
【解析】 B球、C球做受迫振动，周期都等于A球的振动周期，选项A错误，D正确；A球、C球摆长相等，所以固有频率相等，则C球发生共振，C的振幅比B的振幅大，选项B错误，C正确．
二、温故知新
夯实基础
三、典例剖析
举一反三
考点一
简谐振动的规律
简谐运动的五大特征
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大．在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置O用时相等
(一)典例剖析
例1
（多选）如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin
(2.5πt)
m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6
s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10
m/s2.以下判断正确的是( )
A．h＝1.7
m
B．简谐运动的周期是0.8
s
C．0.6
s内物块运动的路程为0.2
m
D．t＝0.4
s时，物块与小球运动方向相反
【答案】AB
【解析】由物块简谐运动的表达式y＝0.1sin
(2.5πt)
m知，ω＝2.5π
rad/s，T＝＝
s＝0.8
s，B正确；t＝0.6
s时，y＝－0.1
m，对小球：h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7
m，A正确；物块0.6
s内路程为0.3
m，t＝0.4
s
时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故C、D错误．
【易错点】本题考查简谐运动的性质，要注意明确简谐运动中的受力、位移及速度均随时间做周期性变化．
【方法点拨】机械能运动中最简单、最基本的运动是匀速直线运动，简谐运动是一种变加速的周期性运动．简谐运动包括弹簧振子和单摆等的运动
例2如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5
cm.若振子从B到C的运动时间是1
s，则下列说法中正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1
s，振幅是10
cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20
cm
D．从B开始经过3
s，振子通过的路程是30
cm
【答案】D
【解析】选D.振子从B经O到C仅完成了半次全振动，所以其振动周期T＝2×1
s＝2
s，振幅A＝BO＝5
cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20
cm，所以两次全振动中通过的路程为40
cm，3
s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30
cm.综上可知，只有D正确．
【易错点】本题首先要抓住振幅的概念：振动物体离开平衡位置的最大距离，分析振幅关系，其次，抓住简谐运动中一个全振动中路程为4A．
【方法点拨】抓住在运动中的振动周期以及路程的计算．
(二)举一反三
1．(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6
s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度g＝10
m/s2．以下判断正确的是( )
A．h＝1.7
m
B．简谐运动的周期是0.8
s
C．0.6
s内物块运动的路程是0.2
m
D．t＝0.4
s时，物块与小球运动方向相反
【答案】AB
【解析】t＝0.6
s时，物块的位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1
m，则对小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7
m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝＝
s＝0.8
s，选项B正确；0.6
s内物块运动的路程是3A＝0.3
m，选项C错误；t＝0.4
s＝时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误．
2．【2019·高考全国卷Ⅱ】
如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )
【答案】A
【解析】由单摆的周期公式T＝2π可知，小球在钉子右侧时，振动周期为在左侧时振动周期的2倍，所以B、D错误．由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同，当小球在右侧摆动时，最大水平位移较大，故A正确，C错误．
3．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1
m，t＝1
s时位移为0.1
m，则( )
A．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
s
B．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
s
C．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为4
s
D．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为6
s
【答案】AD
【解析】若振幅为0.1
m，则T＝1
s，其中n＝0、1、2、…，当n＝0时，T＝2
s，n＝1时，T＝
s，n＝2时，T＝
s，故A正确，B错误；若振幅为0.2
m，振动分4种情况讨论：
第①种情况，设振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)，t＝0时，－＝Asin
φ，解得φ＝－，所以由P点到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，由P点到Q点用时至少为，即T＝1
s，其中n＝0、1、2、…，当n＝0时，T＝6
s，n＝1时，T＝
s；第②③种情况，由P点到Q点用时至少为，周期最大为2
s；第④种情况，周期一定小于2
s，故C错误，D正确．
4．（多选）【2019年物理江苏卷】一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的(
)
A．位移增大
B．速度增大
C．回复力增大
D．机械能增大
【答案】AC
【解析】由简谐运动的特点可知，当偏角增大，摆球偏离平衡位置的位移增大，故A正确；当偏角增大，动能转化为重力势能，所以速度减小，故B错误；由回复力
可知，位移增大，回复力增大，故C正确，单摆做简谐运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，故D错误．
考点二
简谐运动图象的理解和应用
1．根据简谐运动图象可获取的信息：
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
2．利用简谐运动图象理解简谐运动的对称性：
(1)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速度也等大反向．
(2)相隔Δt＝nT(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同．
(一)典例剖析
例1某一弹簧振子做简谐运动，在图的四幅图象中，正确反映加速度a与位移x的关系的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】回复力满足F=﹣kx的机械运动是简谐运动；
根据牛顿第二定律，加速度为：，故a﹣x图象是直线，斜率为负；
故ACD错误，B正确；
【易错点】对于图象问题，通常推导出函数表达式后分析图象情况，基础题
【方法点拨】简谐运动中，回复力满足F=﹣kx，故加速度为，根据表达式确定图象情况．
例2某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是( )
A．t＝1
s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B．t＝2
s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t＝3
s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t＝4
s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
【答案】A
【解析】由图象可知，t＝1
s和t＝3
s时振子在最大位移处，速度为零，加速度分别为负向最大值、正向最大值；而t＝2
s和t＝4
s时振子在平衡位置，加速度为零，而速度分别为负向最大、正向最大．综上所述，A正确．
【易错点】本题考查对简谐运动图象的理解能力，要抓住简谐运动中质点的速度与加速度的变化情况是相反．
【方法点拨】根据简谐运动的位移图象直接读出质点的位移与时间的关系．当物体位移为零时，质点的速度最大，加速度为零；当位移为最大值时，速度为零，加速度最大．加速度方向总是与位移方向相反，位移为负值，加速度为正值．
例3（多选）如图甲所示，O、P为介质中的两点，O为波源，OP间距为6m．t=0时刻O点由平衡位置开始向上振动，向右产生沿直线传播的简谐横波，图乙表示t=0时刻开始P点振动的图象．则以下说法正确的是___________(填入正确答案的标号．选对一个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分；每选错1个扣3分，最低得分为0分)
A．该波的波长12m
B．该波的波速为2m/s
C．该波的周期为4s
D．从开始振动到t=10s，质点P经过的路程为1.6m
E．.若波源O向右靠近P点运动，则P点的观察者接收到的波的频率小于波源的频率
【答案】ACD
【解析】由图乙所示的P点振动的图象可知波动周期为T=4s，选项C正确；波动从O传播到P点需要时间为2s(半个周期)，OP=λ/2，该波的波长λ=12m，该波的波速为v=λ/T=3m/s，选项A正确B错误；从开始振动到t=10s，质点P振动了8s，两个周期，经过的路程为s=2×4A=2×4×0.2m=1.6m，选项D正确；根据多普勒效应，若波源O向右靠近P点运动，则P点的观察者接收到的波的频率大于波源的频率，选项E错误．
【易错点】本题以振动图像给出解题信息，考查波动传播、波速计算、多普勒效应及其相关知识点．
【方法点拨】根据简谐运动的位移图象直接读出质点的位移与时间的关系．当物体位移为零时，质点的速度最大，加速度为零；当位移为最大值时，速度为零，加速度最大．加速度方向总是与位移方向相反，位移为负值，加速度为正值．
(二)举一反三
1．（多选）如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹．已知弹簧的劲度系数为k＝10
N/m，振子的质量为0.5
kg，白纸移动的速度为2
m/s，弹簧弹性势能的表达式Ep＝ky2(y为弹簧的形变量)，不计一切摩擦．在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是( )
A．该弹簧振子的振幅为1
m
B．该弹簧振子的周期为1
s
C．该弹簧振子的最大加速度为10
m/s2
D．该弹簧振子的最大速度为2
m/s
【答案】 BC
【解析】弹簧振子的振幅为振子偏离平衡位置的最大距离，所以该弹簧振子的振幅为A＝0.5
m，A错误；由题图所示振动曲线可知，白纸移动x＝2
m，弹簧振子振动一个周期，所以弹簧振子的周期为T＝＝1
s，B正确；该弹簧振子所受最大回复力为F＝kA＝10×0.5
N＝5
N，最大加速度为a＝＝10
m/s2，C正确；根据题述弹簧弹性势能的表达式Ep＝ky2，不计一切摩擦，弹簧振子振动过程中机械能守恒，则mvm2＝kA2，可得该弹簧振子的最大速度为vm＝
A＝
m/s，D错误．
2．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是( )
A．t＝1
s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B．t＝2
s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t＝3
s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t＝4
s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
【答案】 A
【解析】 t＝1
s时，振子位于正向最大位移处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；t＝2
s时，振子位于平衡位置并向x轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，
故B错误；t＝3
s时，振子位于负向最大位移处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；t＝4
s时，振子位于平衡位置并向x轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误．
3．（多选）甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知( )
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
E．振子甲加速度为零时，振子乙速度最大
【答案】CDE
【解析】从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D正确；弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误；由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，B错误；由简谐运动的特点可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，C正确，同理E也正确．
4．（多选）如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量是乙的质量的4倍，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π，式中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数．当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中( )
A．甲的振幅是乙的振幅的4倍
B．甲的振幅等于乙的振幅
C．甲的最大速度是乙的最大速度的
D．甲的振动周期是乙的振动周期的2倍
E．甲的振动频率是乙的振动频率的2倍
【答案】BCD
【解析】细线断开前，两根弹簧上的弹力大小相同，弹簧的伸长量相同，细线断开后，两物块都开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置都在弹簧原长位置，所以它们的振幅相等，A错误，B正确；两物块做简谐运动时，动能和势能相互转化，总机械能保持不变，细线断开前，弹簧的弹性势能就是物块开始做简谐运动时的机械能，二者相等，根据机械能守恒，可知在振动过程中，它们的机械能相等，到达平衡位置时，它们的弹性势能为零，动能达到最大，二者相等，因为甲的质量是乙的质量的4倍，根据动能公式可知甲的最大速度是乙的最大速度的，C正确；根据弹簧振子做简谐运动的周期公式T
＝2π，甲的质量是乙的质量的4倍，甲的振动周期是乙的振动周期的2倍，D正确；根据周期与频率成反比可知，甲的振动频率是乙的振动频率的，E错误．
5．（多选）(2018年天津卷)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t=0时振子的位移为-0.1
m，t=1
s时位移为0.1
m，则(
)
A．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
B．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
C．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为4
s
D．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为6
s
【答案】 AD
【解析】
t=0时振子的位移为x=
-
0.1
m，t=1
s时位移为x=0.1
m，关于平衡位置对称．
如果若振幅为0.1
m，则1
s为半周期的奇数倍，即
，(k=0、1、2、3……)解得，(k=0、1、2、3……)
当k=1时，，无论k为何值，T都不能等于，A正确B错误；
如果若振幅为0.2
m，结合如图示的位移时间关系图像有：
(n=0、1、2、3……)
①
(
t
y
/
cm
1
-
1
-2
2
0
)或者
(n=0、1、2、3……)
②
或者(n=0、1、2、3……)
③
对①式，只有当n=0时T=2s，为整数；
对②式，n为任何数，
T都不可能为整数；
对③式，只有当n=0时T=6s，n大于0以后周期都大于6s．故C错误
D正确．
考点三
受迫振动和共振
1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动
项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大．
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换．
(一)典例剖析
例1（多选）如图所示，A、B、C、D四个单摆的摆长分别为l、2l、l、，摆球的质量分别为2m、2m、m、，四个单摆静止地悬挂在一根水平细线上．现让A球振动起来，通过水平细线迫使B、C、D也振动起来，则下列说法正确的是( )
A．A、B、C、D四个单摆的周期均相同
B．只有A、C两个单摆的周期相同
C．B、C、D中因D的质量最小，故其振幅是最大的
D．B、C、D中C的振幅最大
E．B、C、D中C的振幅最小
【答案】AD
【解析】选AD.在A的驱动下，B、C、D均做受迫振动，受迫振动的频率均与驱动力的频率(A的固有频率)相等，与各自的固有频率无关，A正确，B错误；判断能否达到最大振幅，即实现共振，取决于f固是否与f驱相等；对于单摆而言，固有频率与摆球质量无关，所以不必考虑摆球的质量；在B、C、D中，由T＝2π及f＝知，只有C的固有频率等于驱动力的频率，所以在B、C、D中C的振幅最大，C、E错误，D正确．
例2（多选）如图所示为两个单摆的受迫振动的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两个受迫振动是在地球上同一地点进行，则两个摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该单摆摆长约为1
m
D．若摆长均为1
m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
E．若两个单摆在同一地点均发生共振，图线Ⅱ表示的单摆的能量一定大于图线Ⅰ表示的单摆的能量
【答案】ABC
【解析】图线中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率fⅠ＝0.2
Hz，fⅡ＝0.5
Hz.当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式f＝可知，g越大，f越大，所以gⅡ>gⅠ，又因为g地>g月，因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若在地球上同一地点进行两次受迫振动，g相同，摆长长的f小，且有＝，所以＝，B正确；fⅡ＝0.5
Hz，若图线Ⅱ是在地面上完成的，根据g＝9.8
m/s2，可计算出LⅡ约为1
m，C正确，D错误；单摆的能量除与振幅有关，还与摆球质量有关，故E错误．
(二)举一反三
1．（多选）如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2
Hz.现匀速转动摇把，转速为240
r/min.则( )
A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5
s
B．当振子稳定振动时，它的振动频率是4
Hz
C．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大
D．当转速减小时，弹簧振子的振幅增大
E．振幅增大的过程中，外界对弹簧振子做正功
【答案】BDE
【解析】摇把匀速转动的频率f＝n＝
Hz＝4
Hz，周期T＝＝0.25
s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A错误，B正确；当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2
Hz，弹簧振子的振幅将增大，C错误，D正确；外界对弹簧振子做正功，系统机械能增大，振幅增大，故E正确．
2．在实验室可以做“声波碎杯”的实验，用手指轻弹一只玻璃酒杯，可以听到清脆的声音，测得这声音的频率为500
Hz.将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前，操作人员通过调整其发出的声波，就能使酒杯碎掉．下列说法中正确的是( )
A．操作人员必须把声波发生器输出的功率调到很大
B．操作人员必须使声波发生器发出频率很高的超声波
C．操作人员必须同时增大声波发生器发出声波的频率和功率
D．操作人员必须将声波发生器发出的声波频率调到500
Hz，且适当增大其输出功率
【答案】 D
【解析】由题可知用手指轻弹一只酒杯，测得这声音的频率为500
Hz，就是酒杯的固有频率．当物体发生共振时，物体振动的振幅最大，甚至可能造成物体解体．将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前，操作人员通过调整其发出的声波，将酒杯碎掉是利用的共振现象，而发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，而酒杯的固有频率为500
Hz，故操作人员要将声波发生器发出的声波频率调到500
Hz，使酒杯产生共振，从而能将酒杯碎掉，故D正确.
3．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动振幅/cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
A.f固＝60
Hz
B．60
Hz＜f固＜70
Hz
C．50
Hz＜f固≤60
Hz
D．以上三个都不对
【答案】 C
【解析】从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大．并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢．比较各组数据知f驱在50～60
Hz范围内时，振幅变化最小，因此50
Hz＜f固≤60
Hz，即C正确．
4．如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等．当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动．观察B、C、D摆的振动发现( )
A．C摆的频率最小
B．D摆的周期最大
C．B摆的摆角最大
D．B、C、D的摆角相同
【答案】 C
【解析】
A摆摆动从而带动其他3个单摆做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其他各摆振动周期与A摆相同，频率也相同，故A、B错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于B摆的固有频率与A摆的频率相同，故B摆发生共振，振幅最大，故C正确，D错误．
考点四
波的传播与波速公式的应用
1．波的图象特点
(1)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变．
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3…)时，它们的振动步调总相反．
(3)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同．
2．波速公式
振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝＝λf.
3．由t时刻的波形确定t＋Δt时刻的波形
(1)波向右传播Δt＝T的时间和向左传播Δt＝T的时间波形相同．
(2)若Δt＞T，可以采取“去整留零头”的办法．
4．判断波的传播方向与质点的振动方向的三种常见方法
(1)上下坡法：沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振动，如图甲所示．
(2)同侧法：波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧，如图乙所示．
甲
乙
丙
微平移法：将波形图沿传播方向平移Δx(Δx≤)，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定，如图丙所示．
(一)典例剖析
例1（多选）(2020浙江卷)如图所示，x轴上、处有两个振动周期均为、振幅均为的相同的波源、，时刻同时开始竖直向下振动，产生波长均为沿x轴传播的简谐横波．P、M、Q分别是x轴上、和的三个点，下列说法正确的是（
）
A．时P、M、Q三点均已振动
B．后M点的位移始终是
C．后P点的位移始终是0
D．时Q点的振动方向竖直向下
【答案】CD
【解析】A．波速为
在6s内两列波传播了6m，则此时PQ两质点已振动，但是M点还未振动，A错误；
B．因M点到两个振源的距离相等，则M是振动加强点，振幅为2cm，但不是位移始终为2cm，B错误；
C．P点到两振源的距离只差为6cm，为半波长的3倍，则该点为振动减弱点，振幅为零，即10.0s后P点的位移始终为零，C正确；
D．S1波源的振动传到Q点的时间为，则10.5s时Q点由S1引起的振动为竖直向下；S2波源的振动传到Q点的时间为，则10.5s时Q点由S2引起的振动已经振动了7s，此时在最高点，速度为零，则10.5s时刻Q点的振动速度为竖直向下，D正确．故选CD．
例2
(2020新课标Ⅰ卷)一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样．c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图所示．已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为．求：
(i)波的波长；
(ii)波的传播速度．
【答案】(i)；(ii)
【解析】(i)设与c点最近的振幅极大点为d，则
根据干涉加强点距离差的关系：
所以波长为
(ii)由于受迫振动的频率取决于受迫源的频率由知，
(二)举一反三
1．(2020·山东等级考模拟卷·4)某一列沿x轴传播的简谐横波，在t＝时刻的波形图如图所示，P、Q为介质中的两质点，质点P正在向动能增大的方向运动．下列说法正确的是( )
A．波沿x轴正方向传播
B．t＝时刻，Q比P的速度大
C．t＝时刻，Q到达平衡位置
D．t＝时刻，P向y轴正方向运动
【答案】 D
【解析】 质点P向动能增大的方向运动，则t＝时刻P点向平衡位置运动，即运动方向向下，可得该波沿x轴负方向传播，故A错误；t＝时刻Q点位于波谷，速度为0，小于P点的速度，故B错误；t＝时刻，Q点位于波峰，P点在平衡位置下方且向y轴正方向运动，故C错误，D正确．
2．(多选)(2018·浙江选考)如图所示，两种不同材料的弹性细绳在O处连接，M、O和N是该绳上的三个点，OM间距离为7.0
m，ON间距离为5.0
m．O点上下振动，则形成以O点为波源向左和向右传播的简谐横波Ⅰ和Ⅱ，其中波Ⅱ的波速为1.0
m/s．t＝0时刻O点处在波谷位置，观察发现5
s
后此波谷传到M点，此时O点正通过平衡位置向上运动，OM间还有一个波谷．则( )
A．波Ⅰ的波长为4
m
B．N点的振动周期为4
s
C．t＝3
s时，N点恰好处于波谷
D．当M点处于波峰时，N点也一定处于波峰
【答案】 BD
【解析】OM之间有两个波谷，即1λ1＝7
m，解得波Ⅰ的波长为λ1＝5.6
m，根据题意可知波Ⅰ的波速为v1＝＝1.4
m/s，故波的周期为T＝＝
s＝4
s，同一波源的频率相同，故N点的振动周期为4
s，A错误，B正确；波Ⅱ的波长为λ2＝v2T＝4
m，故在t＝0时刻N处于平衡位置向下振动，经过3
s，即四分之三周期，N点在波峰，C错误；因为MN两点到波源的距离都为其各自波长的1，又两者振动周期相同，起振方向相同，所以两者振动步调相同，即当M点处于波峰时，N点也一定处于波峰，D正确．
考点五
波动图象和振动图象的理解和应用
两种图象的比较
图象类型
振动图象
波动图象
研究对象
一振动质点
沿波传播方向的所有质点
研究内容
一质点的位移随时间的变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图象
物理意义
表示同一质点在各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
图象信息
(1)质点振动周期
(2)质点振幅
(3)某一质点在各时刻的位移
(4)各时刻速度、加速度的方向
(1)波长、振幅
(2)任意一质点在该时刻的位移
(3)任意一质点在该时刻的加速度方向
(4)传播方向、振动方向的互判
图象变化
随着时间推移，图象延续，但已有形状不变
随着时间推移，波形沿传播方向平移
一完整曲
线占横坐
标的距离
表示一个周期
表示一个波长
1．由波的图象画某一质点振动图象的步骤
(1)由波的图象求出波的周期，亦即质点做简谐运动的周期；
(2)从波的图象中找出该质点在计时时刻相对平衡位置的位移；
(3)根据质点振动方向和波传播方向间的关系，确定质点的振动方向；
(4)建立y－t坐标系，根据正弦或余弦规律画出质点的振动图象．
2．由波的图象和某一质点的振动图象判断波的传播规律的方法
(1)首先根据横轴是长度还是时间分清哪一个是波的图象，哪一个是振动图象，注意各个质点振动的周期和振幅相同．
(2)从确定的振动图象中可以找出某质点在波的图象中某一时刻的振动方向，根据该点振动方向确定波的传播方向．
(一)典例剖析
例1（多选）【2019·全国Ⅰ卷】一简谐横波沿x轴正方向传播,在t=时刻,该波的波形图如图(a)所示,P、Q是介质中的两个质点.图(b)表示介质中某质点的振动图像.下列说法正确的是（
） .?
A．质点Q的振动图像与图(b)相同
B．在t=0时刻,质点P的速率比质点Q的大
C．在t=0时刻,质点P的加速度的大小比质点Q的大
D．平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图(b)所示
E．在t=0时刻,质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
【答案】CDE
【解析】
(1)由于波沿x轴正方向传播,由图(a)可知,在t=时刻,质点Q正在向上振动,所以质点Q的振动图像与图(b)不相同,A错误;在t=0时刻(半个周期之前),质点P在波谷,质点Q在平衡位置,所以质点P的速度比质点Q的小,质点P的加速度的大小比质点Q的大,质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大,B错误,C、E正确;在t=0时刻,平衡位置在坐标原点处的质点正处于平衡位置且向y轴正方向振动,与图(b)相符,D正确.
【易错点】本题考察振动图像和波的图像的理解和应用，首先根据横轴是长度还是时间分清哪一个是波的图象，哪一个是振动图象，注意各个质点振动的周期和振幅相同．
【方法点拨】(1)注意各个质点振动的周期和振幅相同(2)从确定的振动图象中可以找出某质点在波的图象中某一时刻的振动方向，根据该点振动方向确定波的传播方向．
例2
(多选)一列简谐横波在均匀介质中沿x轴传播，图甲为t＝2.0
s时的波形图，图乙为x＝2
m处的质点P的振动图象，质点Q为平衡位置x＝3.5
m的质点．下列说法正确的是( )
A．波沿x轴正方向传播
B．波的传播速度为1
m/s
C．t＝2.0
s时刻后经过0.5
s，质点P通过的路程等于0.05
m
D．t＝3.5
s时刻，质点Q经过平衡位置
【答案】ABD
【解析】由题图乙可知，t＝2.0
s时质点P向上振动，根据“微平移法”，结合题图甲可知波沿x轴正方向传播，A正确；根据振动图象可知，波的周期为T＝4
s，根据波形图可知，波长λ＝4
m，所以波速v＝＝1
m/s，B正确；t＝2.0
s时刻，质点P位于平衡位置处，再经0.5
s＝T，质点P通过的路程s>＝0.05
m，C错误；Δt＝1.5
s，Δx＝vΔt＝1.5
m＝PQ，可知t＝3.5时刻，质点Q经过平衡位置，D正确．
例3【2020山东卷】一列简谐横波在均匀介质中沿x轴负方向传播，已知处质点的振动方程为，则时刻的波形图正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，时，在处的质点处于
则此时质点位于平衡位置；下一时刻，该质点向上运动，原理平衡位置，根据题意，横波沿轴负方向传播，根据同侧法判断可知，ABC错误，D正确．故选D．
(二)举一反三
1．【2020年天津卷】一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T，时的波形如图所示．时(
)
A．质点a速度方向沿y轴负方向
B．质点b沿x轴正方向迁移了1m
C．质点c的加速度为零
D．质点d的位移为-5cm
【答案】C
【解析】经过周期，波向右传播了，波形如图所示
A．由图可知，质点a点恰好运动到平衡位置且沿着y轴正方向运动，A错误；
B．质点b点只在竖直方向上运动不会随波迁移，B错误；
C．质点c恰好运动到平衡，速度最大，加速度为零，C正确；
D．质点d的位移为5
cm，D错误．故选C．
2．（多选）体育课上李辉同学一脚把足球踢到了足球场下面的池塘中间．王奇提出用石头激起水波让水浪把足球推到池边，他抛出一石块到水池中激起了一列水波，可是结果足球并没有被推到池边．大家一筹莫展，恰好物理老师来了，大家进行了关于波的讨论．物理老师把两片小树叶放在水面上，大家观察发现两片小树叶在做上下振动，当一片树叶在波峰时恰好另一片树叶在波谷，两树叶在1
min内都上下振动了36次，两树叶之间有2个波峰，他们测出两树叶间水面距离是4
m．则下列说法正确的是( )
A．该列水波的频率是36
Hz
B.
该列水波的波长是1.6
m
C．该列水波的波速是0.96
m/s
D.
两片树叶的位移始终等大反向
E．足球不能到岸边的原因是水波的振幅太小
【答案】 BCD
【解析】 两树叶在1
min内都上下振动了36次，则树叶振动的周期T＝
s＝
s，树叶振动的频率f＝＝0.6
Hz，则水波的频率为0.6
Hz，故A项错误．两树叶之间有2个波峰，当一片树叶在波峰时恰好另一片树叶在波谷，两树叶间水面距离是4
m，所以λ＝4
m，解得：该列水波的波长λ＝1.6
m，故B项正确．根据v＝λf可得，水波的波速v＝1.6×0.6
m/s＝0.96
m/s，故C项正确．一片树叶在波峰时恰好另一片树叶在波谷，两者平衡位置间的距离是半波长的奇数倍，两片树叶的位移始终等大反向，故D项正确．水波传播时，各质点在自身的平衡位置附近往复振动，并不随波迁移，所以足球不能到岸边，故E项错误．
3．如图甲为某波源的振动图象，图乙是该波源产生的横波在某时刻的波动图象，波动图象中的O点表示波源，P、Q是介质中的两点．则：
(1)这列波的波速多大？波源的起振方向向哪？
(2)当波动图象中质点Q第一次到达平衡位置且向上运动时，质点P已经经过了多少路程？
【答案】(1)1
m/s 波源起振方向沿y轴负方向 (2)0.7
m
【解析】(1)从振动图象和波动图象可知，波源起振方向沿y轴负方向，T＝2
s，λ＝2
m
则波速v＝＝1
m/s
(2)波由质点P传到质点Q经历时间：
t1＝＝
s＝6
s＝3T
质点Q从开始振动到第一次到达平衡位置且向上运动的时间t2＝
P共振动：t＝t1＋t2＝T
则质点P经过的路程：s＝×4A＝0.7
m．
4．【2019年物理北京卷】一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则
A.
此刻a的加速度最小
B.
此刻b的速度最小
C.
若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动
D.
若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置
【答案】C
【解析】由机械振动特点确定质点的加速度和速度大小，由“上下坡法”确定振动方向．
由波动图象可知，此时质点a位于波峰处，根据质点振动特点可知，质点a的加速度最大，故A错误，此时质点b位于平衡位置，所以速度为最大，故B错误，若波沿x轴正方向传播，由“上下坡法”可知，质点b向y轴正方向运动，故C正确，若波沿x轴负方向传播，由“上下坡法”可知，a质点沿y轴负方向运动，c质点沿y轴正方向运动，所以质点c比质点a先回到平衡位置，故D错误．
5．（多选）【2019年4月浙江物理选考】图为一列简请横波在t=0时刻的波形图，P、Q为介质中的两个质点，图2为质点P的振动图象，则（
）
A.
t=0.2s时，质点Q沿y轴负方向运动
B.
0～0.3s内，质点Q运动的路程为0.3m
C.
t=0.5s时，质点Q的加速度小于质点P的加速度
D.
t=0.7s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离
【答案】CD
【解析】A．由振动图像可知T=0.4s，t=0时刻质点P向上振动，可知波沿x轴负向传播，则t=0.2s=0.5T时，质点Q沿y轴正方向运动，选项A错误；
B．0.3s=T，因质点Q在开始时不是从平衡位置或者最高点(或最低点)开始振动，可知0～0.3s内，质点Q运动的路程不等于，选项B错误；
C．t=0.5s=1T时，质点P到达最高点，而质点Q经过平衡位置向下运动还没有最低点，则质点Q的加速度小于质点P的加速度，选项C正确；
D．t=0.7s=1T时，质点P到达波谷位置而质点而质点Q还没到达波峰位置，则质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离，选项D正确．
考点六
波传播的周期性和多解性问题
1．波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确．
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)．
(1)传播方向导致的多解问题
波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播．若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题．
(2)波长大小导致的多解问题
因题中没有给定波长的确切条件，故引起答案的不确定性导致多解问题．
(3)波形周期导致的多解问题
简谐机械波是周期性的，每经过一个周期波形与原波形重复，从而导致了问题的多解性．
(4)质点振动方向导致的多解问题
(5)传播时间导致的多解问题
题目中所给定的时间条件不充分，可能比一个周期长，可能比一个周期短，从而导致了多解问题的出现．
(6)质点振动图象导致的多解问题
总之，机械波的多解问题产生的根本原因是由于机械波图形的周期性重复．因此我们在求解该类问题时，要充分重视图象的功能，对图象进行仔细分析，挖掘隐含条件，结合传播方向，利用波动知识，把波动问题全面圆满地解决．
(一)典例剖析
例1
(多选)【2019·天津高考】一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1
m和x2＝7
m
处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是( )
图1
图2
A．7
m/s
B．2
m/s
C．1.2
m/s
D．1
m/s
【答案】BC
【解析】由振动图像可知周期T＝4
s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处．①若沿x轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……
甲
则波长有：x2－x1＝λ(n＝0，1，2，…)
得波速表达式v＝＝＝(n＝0，1，2，…)
当n＝0时，v＝6
m/s，当n＝1时，v＝1.2
m/s，C正确．
②若沿x轴负方向传播，其波形如图乙所示．
乙
则有x2－x1＝λ(n＝0，1，2，…)
得v＝＝＝(n＝0，1，2，…)
当n＝0时，v＝2
m/s，当n＝1时，v≈0.86
m/s，B正确．
例2一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6
s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点．下列说法错误的是( )
A．这列波的波速可能为50
m/s
B．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30
cm
C．质点c在这段时间内通过的路程可能为60
cm
D．若周期T＝0.8
s，则在t＋0.5
s时刻，质点b、P的位移相同
【答案】B
【解析】由波形图可知波长λ＝40
m，且0.6
s＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，解得周期T＝
s(n＝0，1，2，…)．当n＝0时，T＝0.8
s，波速v＝＝50
m/s，选项A正确．由传播方向沿x轴正方向可知质点a在t时刻向上运动，当n＝0时，T＝0.8
s，则质点a在这段时间内通过的路程小于30
cm；当n＝1时，T＝
s，质点a在这段时间内通过的路程大于30
cm，选项B错误．若n＝1，则T＝
s，波传播到c点所用时间为T，0.6
s＝，质点c振动的时间为T－T＝T，故在这段时间内质点c通过的路程则为6A＝60
cm，选项C正确．若T＝0.8
s，t＋0.5
s时刻，质点b、P的位移均为负值，大小相等，选项D正确．
(二)举一反三
1．【2018·北京高考】如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15
m．当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )
A．0.60
m
B．0.30
m
C．0.20
m
D．0.15
m
【答案】B
【解析】 由题意，P、Q两点之间的间距为＋nλ＝0.15
m(n＝0，1，2，…)，故n＝0时，λ＝0.3
m；n＝1时，λ＝0.1
m．
2．(多选)如图所示，S1为点振源，由平衡位置开始上下振动，产生一列简谐横波沿S1S2直线传播，S1、S2两点之间的距离为9
m．S2点的左侧为一种介质，右侧为另一种介质，波在这两种介质中传播的速度之比为3∶4.某时刻波正好传到S2右侧7
m处，且S1、S2均在波峰位置．则( )
A．S2开始振动时方向可能向下也可能向上
B．波在S2左侧的周期比在右侧时大
C．右侧的波长为λ2＝
m(n＝1,2,3,4…)
D．左侧的波长为λ1＝
m(n＝1,2,3,4…)
【答案】AD
【解析】A.?S2开始运动时方向与振源的起振方向相同,由于振源的起振方向不知道,所以无法确定S2开始运动时方向，故A正确；
B.
波的振动周期由振源决定,波在S2左侧的周期和右侧的周期相等，故B错误；
CD、若传到S2时,S2质点从平衡位置向下振动,则有：则
解得：
此时在S2的左边,有：解得：
若传到S2时,S2质点从平衡位置向上振动,则有：
解得：
此时在S2的左边,有：解得：
因S1、S2均在波峰位置,可知都应该是整数,根据数学知识可得,这两个数包含了所有的奇数,即可表示为2n+1,则λ1可表示为，故C错误，D正确。
3．【2020新课标Ⅲ卷】如图，一列简谐横波平行于x轴传播，图中的实线和虚线分别为t=0和t=0.1
s时的波形图．已知平衡位置在x=6
m处的质点，在0到0.1s时间内运动方向不变．这列简谐波的周期为_____s，波速为_____m/s，传播方向沿x轴_____(填“正方向”或“负方向”)．
【答案】
负方向
【解析】因为处的质点在内运动方向不变，所以该处质点从正向位移最大处经过四分之一个周期向下运动至平衡位置处，即
解得周期为，所以波速为
在虚线上，处的质点向下运动，根据同侧法可知波沿轴负方向传播．
考点七
波的干涉、衍射和多普勒效应
1．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时．
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
(2)图象法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接而成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间．
2．多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数．
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小．
(一)典例剖析
例1
(多选)如图所示，两列简谐横波在同一根绳上传播，已知甲波向左传播，t＝0时刻恰好传播到x＝＋0.5
cm处，乙波向右传播，t＝0时刻恰好传播到x＝－0.5
cm处，经过0.5
s后甲波刚好到达O点，两列波的振幅均为2
cm，则以下说法正确的是( )
A．甲波的波速为1.0
cm/s
B．两列波相遇后，x＝0处质点的振幅为4
cm
C．x＝1.5
cm处的质点在0～3
s内通过的路程为16
cm
D．t＝1
s时，x＝1.25
cm处的质点的振动方向沿＋y方向
【答案】 ACD
【解析】 甲波波速v1＝＝＝1.0
cm/s，T甲＝＝＝2
s；波速由介质决定，则v2＝v1＝1.0
cm/s，f乙＝f甲＝＝0.5
Hz，结合题图知，两列波相遇后，x＝0处是振动减弱点，始终不振动，即x＝0处质点的振幅A＝0；乙波传播到x＝1.5
cm质点处所用时间t1＝＝2
s，则x＝1.5
cm处质点在0～2
s内，以A＝2
cm振动一个周期，路程s1＝4A＝8
cm，两列波相遇后，x＝1.5
cm处为振动加强点，2～3
s内该质点以振幅A′＝4
cm振动半个周期，路程s2＝×4A′＝8
cm，故总路程为s1＋s2＝16
cm；t＝1
s＝，此时乙波还未传播到x＝1.25
cm处，知x＝1.25
cm处质点振动方向沿＋y方向，故B错误，A、C、D正确．
例2
(多选)如图为水面上两列频率相同的波在某时刻的叠加情况，以波源S1、S2为圆心的两组同心圆弧分别表示同一时刻两列波的波峰(实线)和波谷(虚线)，S1的振幅A1＝4
cm，S2的振幅A2
＝3
cm，则下列说法正确的是( )
A．A、D连线上的所有质点一定都是振动加强点
B．质点A、D在该时刻的高度差为14
cm
C．再过半个周期，质点B、C是振动加强点
D．质点D的位移不可能为零
【答案】AB
【解析】两个波源的振动步调一致，题图中A、D连线上的点到两个波源路程差为零，是振动加强点，而B、C是波峰与波谷相遇的点，是振动减弱点，故A正确；该时刻质点A处于波峰叠加位置，相对平衡位置的高度为A1＋A2＝7
cm，质点D此刻位移为xD＝－7
cm，因此A、D质点在该时刻的高度差为14
cm，故B正确；振动的干涉图象是稳定的，A、D一直是振动加强点，而B、C一直是振动减弱点，故C错误；振动加强点仍在不停在振动，位移可能为零，故D错误．
(二)举一反三
1．（多选）(2020新课标Ⅰ卷)在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有（
）
A．雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B．超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C．观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D．同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
E．天文学上观察到双星(相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星)光谱随时间的周期性变化
【答案】BCE
【解析】A．之所以不能同时观察到是因为声音的传播速度比光的传播速度慢，所以A错误；
B．超声波与血液中的血小板等细胞发生反射时，由于血小板的运动会使得反射声波的频率发生变化，B正确；
C．列车和人的位置相对变化了，所以听得的声音频率发生了变化，所以C正确；
D．波动传播速度不一样是由于波的频率不一样导致的，
D错误；
E．双星在周期性运动时，会使得到地球的距离发生周期性变化，故接收到的光频率会发生变化，E正确．故选BCE．
2．一频率为600
Hz的声源以20
rad/s
的角速度沿一半径为0.8
m
的圆周(圆心为O点)做匀速圆周运动．一观察者站在离圆心很远的P点且相对于圆心静止，如图所示，则观察者接收到( )
A．声源在A点时发出声音的频率等于600
Hz
B．声源在B点时发出声音的频率等于600
Hz
C．声源在C点时发出声音的频率等于600
Hz
D．声源在D点时发出声音的频率小于600
Hz
【答案】B
【解析】根据多普勒效应，当声源和观察者相互靠近时，观察者接收到的频率大于声源的频率，当声源和观察者相互远离时，观察者接收到的频率小于声源的频率，将声源运动至A、B、C、D四个点时相对于观察者的速度方向标出来，可得：声源运动到A点时有靠近观察者的趋势，运动到C点时有远离观察者的趋势，声源在B、D两点的速度方向垂直于O点与观察者的连线，故B正确，A、C、D错误．
3．【2019年物理江苏卷】将两支铅笔并排放在一起，中间留一条狭缝，通过这条狭缝去看与其平行的日光灯，能观察到彩色条纹，这是由于光的_____(选填“折射”“干涉”或“衍射”)．当缝的宽度______(选填“远大于”或“接近”)光波的波长时，这种现象十分明显．
【答案】
(1)衍射
(2)接近
【解析】通过两支铅笔中间缝能看到彩色条纹，说明光绕过缝而到人的眼睛，所以这是由于光的衍射现象，由发生明显衍射条件可知，当缝的宽度与光波的波长接近或比光波的波长少得多时能发生明显衍射现象；
四、分层训练
能力进阶
【基础】
1．如图所示为某弹簧振子在0～5
s内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是( )
A．振动周期为5
s，振幅为8
cm
B．第2
s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C．从第1
s末到第2
s末振子的位移增大，振子在做加速度减小的减速运动
D．第3
s末振子的速度为正向的最大值
【答案】
D
【解析】由题图可知振动周期为4
s，振幅为8
cm，选项A错误；第2
s末振子在最大位移处，速度为零，位移为负，加速度为正向的最大值，选项B错误；从第1
s末到第2
s末振子的位移增大，振子在做加速度增大的减速运动，选项C错误；第3
s末振子在平衡位置，向正方向运动，速度为正向的最大值，选项D正确．
2．做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量减小为原来的，摆球经过平衡位置时速度增大为原来的2倍，则单摆振动的( )
A．频率、振幅都不变
B．频率、振幅都改变
C．频率不变，振幅改变
D．频率改变，振幅不变
【答案】
C
【解析】由单摆的周期公式，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，Ek=mv2可知，摆球经过平衡位置时的动能减小，因此振幅减小，故ABD错误，C正确．故选C．
3．如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( )
A．振子的振动周期等于t1
B．在t＝0时刻，振子的位置在a点
C．在t＝t1时刻，振子的速度为零
D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动
【答案】 D
【解析】 弹簧振子先后经历最短时间到达同一位置时，若速度相同，则这段时间间隔就等于弹簧振子的振动周期，从振动图象可以看出振子的振动周期为2t1，选项A错误；在t＝0时刻，振子的位移为零，所以振子应该在平衡位置O，选项B错误；在t＝t1时刻，振子在平衡位置O，该时刻振子速度最大，选项C错误；从t1到t2，振子的位移在增加，所以振子正从O点向b点运动，选项D正确．
4．如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的非恒定的摩擦力
【答案】
D
5．一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0时刻的波形图如图所示．已知波速为0.4
m/s，且波刚传到c点．下列选项正确的是( )
A．波源的振动周期为0.4
s
B．t＝0时，质点d沿y轴正方向运动
C．t＝0时，质点a的加速度比质点b的加速度大
D．质点a比质点b先回到平衡位置
【答案】
B
【解析】由题图可知，波长λ＝0.08
m，而波速v＝0.4
m/s，则周期T＝＝
s＝0.2
s，故A错误；因为波沿x轴正方向传播，根据“上下坡法”，可知d处于“下坡路”，故t＝0时刻质点d沿y轴正方向运动，故B正确；t＝0时，质点a的位移小于质点b的位移，故质点a的加速度比质点b的加速度小，故C错误；在t＝0时刻，质点a的振动方向沿y轴负方向向波谷运动，而质点b的振动方向沿y轴负方向向平衡位置运动，故质点a比质点b后回到平衡位置，故D错误．
6．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为0.5
s
B．此单摆的摆长约为1
m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
【答案】
B
【解析】由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5
Hz，固有周期为2
s；再由T＝2π，得此单摆的摆长约为1
m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动．
7．(多选)简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示．则下列说法中正确的是( )
A．弹簧振子的周期为4
s
B．弹簧振子的振幅为10
cm
C．t＝17
s时振子相对平衡位置的位移是10
cm
D．若纸带运动的速度为2
cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是4
cm
E．2.5
s时振子正在向x轴正方向运动
【答案】 ABD
【解析】 周期是振子完成一次全振动的时间，由图知，弹簧振子的周期为T＝4
s，故A正确；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图知，弹簧振子的振幅为10
cm，故B正确；振子的周期为4
s，由周期性知，t＝17
s时振子相对平衡位置的位移与t＝1
s时振子相对平衡位置的位移相同，为0.故C错误；若纸带运动的速度为2
cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是s＝vt＝2
cm/s×2
s＝4
cm，故D正确；图象的斜率表示速度，斜率正负表示速度的方向，则知2.5
s时振子的速度为负，正在向x轴负方向运动，故E错误．
8．(多选)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，则下列说法中正确的是( )
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的机械能比乙摆大
C．在t＝0.5
s时有正向最大加速度的是乙摆
D．由图象可以求出当地的重力加速度
【答案】
AC
【解析】由题图振动图象可以看出，甲摆的振幅比乙摆的大，两单摆的振动周期相同，又甲、乙位于同一地点，则g值相同，根据单摆周期公式T＝2π可得，甲、乙两单摆的摆长相等，但不知道摆长是多少，不能计算出当地的重力加速度g，故A正确，D错误；两单摆的质量未知，所以两单摆的机械能无法比较，故B错误；在t＝0.5
s时，乙摆有负向最大位移，即有正向最大加速度，而甲摆的位移为零，加速度为零，故C正确．
9．(多选)一弹簧振子做简谐振动，则以下说法正确的是( )
A．振子的加速度方向始终指向平衡位置
B．已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同
C．若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍
D．振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等
【答案】 ABD
【解析】 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确．
10．如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设向右为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10
m/s2，试求这个单摆的摆长是多少？(计算结果保留两位有效数字)
【答案】(1)1.25
Hz (2)B点 (3)0.16
m
【解析】(1)由题图乙知周期T＝0.8
s，则频率f＝＝1.25
Hz.
(2)由题图乙知，t＝0时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球在B点．
(3)由T＝2π，得l＝≈0.16
m.
11．如图所示，a、b、c、d…为传播简谐横波的介质中一系列等间隔的质点，相邻两质点间的距离均为0.1
m．若某时刻向右传播的波到达a质点，a开始时先向上运动，经过0.2
s
d质点第一次达到最大位移，此时a正好在平衡位置(已知质点振幅为2
cm，a、d沿传播方向上的距离小于一个波长)．则该简谐横波在介质中的波速可能值为________
m/s，此时质点j的位移为________
cm.
【答案】 3或2 0
【解析】 由题可知介质中质点起振方向向上，所以d质点第一次达到最大位移时处于波峰位置，又a、d沿传播方向上的距离小于一个波长，则可知a、d间的波形如图所示有两种情况：
甲 乙
图甲：xad＝λ甲
t＝T甲
v甲＝
解得v甲＝3
m/s
图乙：xad＝λ乙
t＝T乙
v乙＝
解得v乙＝2
m/s
结合甲、乙两图可知此时质点j还没有起振，所以位移为零．
【巩固】
1．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R?.甲球从弧形槽的圆心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问：(空气阻力不计)
(1)两球第1次到达C点的时间之比；
(2)若在弧形槽的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从弧形槽左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
【答案】
(1) (2)(n＝0,1,2…)
【解析】(1)甲球做自由落体运动
R＝gt，所以t1＝
乙球沿圆弧做简谐运动(由于?R，可认为摆角θ＜5°)．此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为
t2＝T＝×2π＝，
所以t1∶t2＝.
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处自由下落，到达C点的时间为t甲＝
由于乙球运动存在周期性，所以乙球到达C点的时间为
t乙＝＋n＝(2n＋1) (n＝0,1,2，…)
由于甲、乙在C点相遇，故t甲＝t乙
联立解得h＝ (n＝0,1,2…)．
2．如图中实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5
s时刻的波形．
(1)写出这列波的波速表达式；
(2)若波速大小为74
m/s，波速方向如何？
【答案】
(1)v＝＝
m/s＝(16n＋10)m/s (n＝0，1，2…) (2)波向左传播
【解析】(1)由题图图像可知λ＝8
m
当波向右传播时，波传播距离为s＝nλ＋λ＝(8n＋3)m(n＝0，1，2…)
波速为v＝＝
m/s＝(16n＋6)m/s (n＝0，1，2…)．
当波向左传播时，波传播距离为
s＝nλ＋λ＝(8n＋5)m (n＝0，1，2…)
波速为v＝＝
m/s＝(16n＋10)m/s (n＝0，1，2…)．
(2)若波速大小为74
m/s，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝v·Δt＝74×0.5
m＝37
m．
因为37
m＝4λ＋λ，所以波向左传播．
3．在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4
m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像．已知该波波长大于2
m，求这列波可能的波速．
【解析】由振动图像得质点振动周期T＝0.4
s，
若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间
Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝vΔt＝Δt＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)，
则波长为λ＝＝
m，
因为λ＞2
m，所以n＝0，1
当n＝0时，λ1＝
m，v1＝＝
m/s，
当n＝1时，λ2＝
m，v2＝＝
m/s．
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间
Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)，
则波长为λ＝＝
m
因为λ＞2
m，所以n＝0，1
当n＝0时，λ1＝16
m，v1＝40
m/s，
当n＝1时，λ2＝
m，v2＝8
m/s．
4．如图甲所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，已知x＝1
m处的质点做简谐运动的图像如图乙所示．
(1)写出x＝1
m处的质点做简谐运动的函数关系式；
(2)从t＝0开始经过多长时间质点P开始振动？求出在0～20
s内质点P运动的路程．
【答案】
(1)y＝2sincm (2)6
s 28
cm
【解析】(1)由题图乙可知，振幅A＝2
cm，质点做简谐运动的周期为T＝4
s
x＝1
m处的质点做简谐运动的函数关系式为
y＝2sincm．
(2)波运动的周期为T＝4
s
由题图甲可知波长λ＝2
m
波速v＝＝0.5
m/s
由题图甲可知x＝2
m处的质点在t＝0时刚好开始沿
y轴负方向振动，设P点再过时间Δt开始振动，
则Δt＝＝6
s
即从t＝0开始经过6
s时间质点P开始振动
由简谐运动的对称性可知，质点在任意一个全振动过程中的路程s0＝4A＝8
cm
P点开始振动后，14
s内经历了3.5次全振动
所以在0～20
s内质点P运动的路程为s＝3.5s0＝28
cm．
5．一列沿x轴正方向传播的横波，在t＝0时刻的波形如图甲所示．图甲中某质点的振动图像如图乙所示．
(1)求该波的波速；
(2)求图甲中的质点L从图示位置到达波峰的时间；
(3)写出t＝0开始计时x＝2
m处的振动方程．
【答案】
(1)0.5
m/s (2)(4n＋1)s
(n＝0，1，2，…)(3)y＝－0.8sin
πt
【解析】(1)根据题图甲可知，波长λ＝2
m，根据图乙振动图像可得周期T＝4
s，
该波的波速v＝＝0.5
m/s．
(2)根据波的传播方向沿x轴正向，判断质点L从平衡位置沿y轴正向运动，经过t＝T＝(4n＋1)s
(n＝0，1，2，…)运动到波峰．
(3)t＝0时，x＝2
m处的质点正在平衡位置向y轴负方向振动，初相位为π，根据图乙判断振动周期T＝4
s，振幅A＝0.8
m，则振动方程为y＝Asin＝－0.8sin
πt．
【拔高】
1．(多选)下列说法正确的是(
)
A．受迫振动的频率总等于振动系统的固有频率
B．波长越长的电磁波越容易发生衍射
C．利用超声波的多普勒效应，可测量心脏血液的流速
D．宇航员在相对地面高速运动的飞船里观测到地面上的钟走得较快
【答案】
BC
【解析】受迫振动的频率总等于驱动力的频率，故A错误；波长越长的电磁波，越容易发生衍射，故B正确；多普勒效应是波特有的现象，医生利用超声波的多普勒效应可以测量心脏血液的流速，故C正确；根据钟慢效应，宇宙飞船相对于地面高速运动的过程中，飞船上的人观察飞船是不运动的，而地面是高速运动的，所以在飞船上观测到飞船上的时钟没有变慢，而地面上的钟变慢了，故D错误．
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．在振动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离叫做波长
B.
“只闻其声不见其人”的现象，是由波的干涉产生的
C．光纤通信是利用了全反射的原理
D．简谐运动表达式x＝Asin(ωt＋φ)中，A表示振动的振幅，(ωt＋φ)表示相位
E．单摆摆动过程中摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向悬点
【答案】
ACD
【解析】根据波长的定义可知，在振动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离叫做波长，故A正确.
“只闻其声不见其人”的现象，是因为声波的波长比较长，产生的声波衍射现象，故B错误．光纤通信是利用了全反射的原理，故C正确．简谐运动表达式x＝Asin(ωt＋φ)中，A表示振动的振幅，(ωt＋φ)表示相位，故D正确．单摆摆动过程中摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置，故E错误．
3．(多选)一列简谐横波沿x轴正向传播，振幅为4
cm，周期为T＝6
s．已知在t＝0时刻，质点a坐标为(5
cm，－2
cm)，沿y轴正向运动，质点b坐标为(15
cm,2
cm)，沿y轴负向运动，如图所示，下列说法正确的是( )
A．该列简谐横波波长可能为4cm
B．该列简谐横波波长可能为10cm
C．在t=0.5s时刻质点a的位移为0
D．a、b两质点可以同时在波峰
E．当质点b在波谷时，质点a一定在波峰
【答案】
ACE
【解析】由ab两质点的位置关系可知，ab相距半波长的奇数倍，即，解得（n=0，1，2，3…..），当n=2时，λ=4cm；不可能等于10cm，选项A正确，B错误；设质点a的振动方程：x=Asin（ωt+φ），其中t=0时x=-2cm，且，解得，则质点a的振动方程，当t=0.5s时，x=0，选项C正确；因a、b相距半波长的奇数倍，振动情况总相反，可知a、b两质点不可以同时在波峰；当质点b在波谷时，质点a一定在波峰，选项D错误，E正确；故选ACE.
4．(多选)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中相向传播并相遇，在t＝0时刻两列波的位置如图所示．若两列波的周期分别为T甲和T乙，则( )
A．这两列波相遇时能产生干涉现象
B．这两列波将同时到达坐标原点
C．在t＝T乙时刻，x＝0.1
m处质点受到的回复力为零
D．在t＝2T甲时刻，x＝0.1
m处质点的位移为零
【答案】
BD
5．(多选)如图所示是两个理想单摆的振动图象，纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移，以向右为正方向．下列说法中正确的是( )
A．同一摆球在运动过程中前后两次经过轨迹上的同一点，加速度是相同的
B．甲、乙两个摆的频率之比为1∶2
C．甲、乙两个摆的摆长之比为1∶2
D．从t＝0时起，乙第一次到达左方最大位移处时，甲位于平衡位置，速度方向向左
E．t＝2
s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
【答案】
ADE
【解析】对于同一个摆球，由回复力方程F＝－kx知，在运动过程中前后两次经过轨迹上的同一点，加速度是相同的，故A对．根据振动图象知，甲、乙两个单摆的周期分别为T甲＝4
s，T乙＝8
s；由此得＝＝，故B错误；由单摆的周期公式T＝2π得单摆的摆长之比L甲∶L乙＝T∶T＝1∶4，故C错误；从t＝0时起，乙第一次到达左方最大位移处时，位移为负，结合题图可知，此时t＝6
s，甲位于平衡位置，速度方向向左，故D正确；t＝2
s时，甲摆处于最低点，故重力势能最小，乙摆处于最大位移处，故动能为零，E正确．
6．(多选)如图甲为一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，P是平衡位置在x＝1.0
m处的质点，Q是平衡位置在x＝4.0
m处的质点，图乙为质点Q的振动图象，则下列说法正确的是( )
A．这列波的波长是8
m，周期是0.2
s，振幅是10
cm
B．在t＝0时，质点Q向y轴负方向运动
C．从t＝0.1
s到t＝0.25
s，该波沿x轴正方向传播了6
m
D．从t＝0.1
s到t＝0.25
s，质点P通过的路程为30
cm
E．质点Q简谐运动的表达式为y＝0.10sin
(10πt)
m
【答案】
ACE
【解析】由题图知，这列波的波长是8
m，周期是0.2
s，振幅是10
cm，选项A正确；由质点Q的振动图象可知，在t＝0时，质点Q向y轴正方向运动，可知波向x轴正方向传播，选项B错误；波速v＝＝
m/s＝40
m/s，从t＝0.1
s到t＝0.25
s，该波沿x轴正方向传播了x＝vΔt＝40×0.15
m＝6
m，选项C正确；从t＝0.1
s到t＝0.25
s经历了0.15
s＝T，但是因质点P在t＝0.1
s时不是从平衡位置或者最大位移处开始振动，则质点P通过的路程不等于3A＝30
cm，选项D错误；ω＝＝10π
rad/s，则质点Q简谐运动的表达式为y＝0.10sin
(10πt)
m，选项E正确．
7．(2019·全国卷Ⅱ·34)某同学利用图所示装置测量某种单色光的波长．实验时，接通电源使光源正常发光；调整光路，使得从目镜中可以观察到干涉条纹．回答下列问题：
(1)若想增加从目镜中观察到的条纹个数，该同学可________．
A．将单缝向双缝靠近
B．将屏向靠近双缝的方向移动
C．将屏向远离双缝的方向移动
D．使用间距更小的双缝
(2)若双缝的间距为d，屏与双缝间的距离为l，测得第1条暗条纹到第n条暗条纹之间的距离为Δx，则单色光的波长λ＝________.
(3)某次测量时，选用的双缝的间距为0.300
mm，测得屏与双缝间的距离为1.20
m，第1条暗条纹到第4条暗条纹之间的距离为7.56
mm.则所测单色光的波长为______
nm(结果保留3位有效数字)．
【答案】
(1)B (2) (3)630
【解析】(1)若想增加从目镜中观察到的条纹个数，需要减小条纹间距，由公式Δx＝λ可知，需要减小双缝到屏的距离l或增大双缝间的距离d，故B项正确，A、C、D项错误．
(2)由题意可知，＝λ，解得λ＝.
(3)将已知条件代入公式解得λ＝630
nm.
8．一列沿x轴方向传播的横波，如图7所示的实线和虚线分别为t1＝0时与t2＝1
s时的波形图象．求：
(1)如果该横波的传播速度为v＝75
m/s时，分析该波的传播方向；
(2)如果该横波沿x轴的正方向传播，虚线上x＝2
m的质点到达平衡位置时波传播的最短距离是多少，相对应的时间应为多长．
【答案】
(1)
沿x轴的正方向 (2)1
m
s(n＝0,1,2…)
【解析】 (1)由题图可知，波长λ＝8
m
如果沿x轴的正方向传播，则Δt＝1
s的时间内，该波传播的距离为
Δs＝(nλ＋3)
m＝(8n＋3)
m(n＝0,1,2…)
若波速为v＝75
m/s，则1
s的时间内波传播的距离为s＝vΔt＝75×1
m＝75
m
则(8n＋3)＝75，解得n＝9
显然波可能沿x轴的正方向传播
如果沿x轴的负方向传播，则Δt＝1
s的时间内，该波传播的距离为
Δs＝(nλ＋5)
m＝(8n＋5)
m(n＝0,1,2…)
若波速为v＝75
m/s，则1
s的时间内波传播的距离为s＝vΔt＝75×1
m＝75
m
则(8n＋5)＝75，解得n＝
由于n必须为整数，所以波不可能沿x轴的负方向传播
由以上可知，当波的速度为v＝75
m/s时，波的传播方向一定沿x轴的正方向
(2)由题图可知：虚线上x＝2
m的质点到达平衡位置，波应沿x轴的正方向传播最短距离为Δx＝1
m，
当波沿x轴正方向传播时，0～1
s的时间内传播的距离：Δs＝(nλ＋3)
m＝(8n＋3)
m(n＝0,1,2…)
而v＝＝(8n＋3)
m/s(n＝0,1,2…)
则所用的时间应为t＝＝
s(n＝0,1,2…)．
9．(1)“在探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两则分别放置一激光光源与光敏电阻，如图a所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图b所示，则该单摆的振动周期为________，若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”、“不变”或“变小”)，图b中的Δt将________(填
“变大”、“不变”或“变小”)．
【答案】 (1)乙 (2)2t0 变大 变大
【解析】 (1)略．(2)小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从t1时刻开始，再经两次挡光完成一个周期，故T＝2t0；摆长为摆线长加小球半径，当小球直径变大，则摆长增加，由周期公式T＝2π可知，周期变大；当小球直径变大，挡光时间增加，即Δt变大．
10．一列简谐横波沿x轴正向传播，传到M点时波形如图2所示，再经0.6
s，N点开始振动，则该波的振幅A和频率f为( )．
A．A＝1
m f＝5
Hz
B．A＝0.5
m f＝5
Hz
C．A＝1
m f＝2.5
Hz
D．A＝0.5
m f＝2.5
Hz
【答案】 D
【解析】 由题干图可知振幅A＝0.5
m．波从M传到N的过程，波速v＝＝
m/s＝10
m/s.由图可知λ＝4
m，所以T＝＝0.4
s，f＝＝2.5
Hz.D正确．
11．如图所示为一列在均匀介质中沿x轴正方向传播的简谐横波在某时刻的波形图，波速为4
m/s.图中“A、B、C、D、E、F、G、H”各质点中( )．
A．沿y轴正方向速率最大的质点是D
B．沿y轴正方向加速度最大的质点是B
C．经过Δt＝0.5
s质点D将向右移动2
m
D．经过Δt＝2.5
s，质点D的位移是0.2
m
【答案】 A
【解析】 在平衡位置的质点速率最大，又从传播方向可以判断，质点D向上振动，质点H向下振动，所以A项正确；在最大位移处的质点加速度最大，加速度的方向与位移方向相反，B质点的加速度方向向下，B项错误；质点只能在平衡位置两侧上下振动，并不随波迁移，C项错误；波传播的周期T＝＝1
s，经过Δt＝2.5
s＝2.5T，质点D仍位于平衡位置，所以位移为0，D项错误．
12．(多选)一列简谐横波在某一时刻的波形图如图4甲所示，图中P、Q两质点的横坐标分别为x＝1.5
m和x＝4.5
m．P点的振动图象如图4乙所示．在下列四幅图中，Q点的振动图象可能是( )．
甲
乙
【答案】 BC
【解析】 该波的波长为4
m，P、Q两点间的距离为3
m．当波沿x轴正方向传播时，P在平衡位置向上振动，而Q点此时应处于波峰，B正确；当波沿x轴负方向传播时，P点处于平衡位置向下振动，而此时Q点应处于波谷，C正确．
13．(多选)质点O振动形成的简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻的波形图如图5甲所示，当波传到x＝3
m处的质点P时开始计时，质点P的振动图象如图乙所示，则( )．
A．该波的频率为25
Hz
B．该波的传播速度为2
m/s
C．质点O开始振动时沿y轴正方向
D．从t时刻起，经过0.015
s，质点P将回到平衡位置
【答案】 AD
【解析】 根据题图可知，该波的波长λ＝8
m，周期T＝0.04
s，所以波速v＝λ/T＝200
m/s，频率f＝1/T＝25
Hz，选项A正确，B错误；根据甲图，t时刻机械波刚好传播到x＝8
m处的质点，已知机械波沿x轴正方向传播，该质点的起振方向为y轴负方向，这与波源的起振方向相同，所以质点O开始振动时沿y轴负方向，也可利用乙图看出质点P的起振方向沿y轴负方向，选项C错误；经过0.015
s波传播的距离为x＝200×0.015
m＝3
m，从t时刻起经过0.015
s质点P左侧距离质点P
3
m远的质点O的振动情况传到P点，即P点回到平衡位置，选项D正确．
14．一列简谐横波以v＝24
m/s的速度水平向右传播，在t1、t2两时刻的波形分别如图6中实线和虚线所示，图中两波峰处质点A、B的平衡位置相距7
m，质点的振动周期为T，且3T<(t2－t1)<4T，在(t2－t1)时间内波向右传播的距离为25
m，则这列波的波长为________
m，这列波中各质点振动周期T＝________
s.
【答案】 6 0.25
【解析】 由题意知3λ＋7
m＝25
m，解得波长λ＝6
m，由λ＝vT得这列波中各质点的振动周期T＝λ/v＝0.25
s.
15．如图所示，图甲为一列沿水平方向传播的简谐横波在t＝0时的波形图，图乙是这列波中质点P的振动图线，那么：
甲
乙
(1)该波的传播速度为________m/s；
(2)该波的传播方向为________(填“向左”或“向右”)；
(3)图甲中Q点(坐标为x＝2.25
m处的点)的振动方程为：y＝________cm.
【答案】 (1)0.5 (2)向左 (3)0.2cos
(πt)
【解析】 (1)波的周期T＝2
s，波长λ＝1
m，
波速v＝＝0.5
m/s.
(2)P点向上运动，不难判断波是向左传播．
(3)Q点此时从最大位移开始向平衡位置运动，振动图象是一条余弦曲线，A＝0.2cm，ω＝＝π，Q点的振动方程为y＝0.2cos
(πt)．
16．一列简谐横波由质点A向质点B传播．已知A、B两点相距4
m，这列波的波长大于2
m而小于20
m．图表示在波的传播过程中A、B两质点的振动图象．求波的传播速度．
【答案】
m/s或
m/s
【解析】 由振动图象读出T＝0.4
s，分析图象可知：t＝0时，质点A位于y轴正方向最大位移处，而质点B则经过平衡位置向y轴负方向运动．所以A、B间距4＝λ，则λ＝
m，其中n＝0,1,2…
因为这列波的波长大于2
m而小于20
m
所以n有0、1两个可能的取值，即：λ1＝
m，λ2＝
m
因v＝λ/T，所以v1＝
m/s或v2＝
m/s.
(
第
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共
52
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)
第32讲
机械振动
机械波
教材版本
全国通用
课时说明
120分钟
知识点
1．机械振动及图像
2．机械波及图像
3．波的干涉与衍射
复习目标
1．理解掌握简谐振动的公式和图像，单摆、周期公式．
2．了解受迫振动和共振
3．理解机械波的形成机制；能识别干涉和衍射图样
复习重点
简谐振动的公式和图像，单摆、周期公式、受迫振动和共振
2.
理解机械波的形成机制；能识别干涉和衍射图样
复习难点
振动波动图像
一、自我诊断
知己知彼
1．如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动．以其平衡位置为坐标原点、竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．振子的振幅为4
cm
B．振子的振动周期为1
s
C．t＝1
s时，振子的速度为正的最大值
D．t＝1
s时，振子的加速度为正的最大值
【答案】 C
【解析】由振动图象可知，该弹簧振子的振幅为2
cm，周期为2
s，t＝1
s时，振子正经过平衡位置沿y轴正方向运动，加速度为零，速度为正的最大值，故C正确．
2．如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5
cm．若振子从B到C的运动时间是1
s，则下列说法中正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1
s，振幅是10
cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20
cm
D．从B开始经过3
s，振子通过的路程是30
cm
【答案】 D
【解析】振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1
s＝2
s，选项A、B错误；振幅A＝BO＝5
cm，振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20
cm，所以两次全振动中通过的路程为40
cm，选项C错误；3
s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30
cm，选项D正确．
3．(多选)如图所示，图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中x＝2
m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图象，质点Q的平衡位置位于x＝3.5
m．下列说法正确的是( )
A．在0.3
s时间内，质点P向右移动了3
m
B．这列波的传播速度是20
m/s
C．这列波沿x轴正方向传播
D．t＝0.1
s时，质点P的加速度大于质点Q的加速度
E．t＝0.25
s时，x＝3.5
m处的质点Q到达波谷位置
【答案】 CD
【解析】据波的传播特点可知，质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，故A错误；由图知：λ＝4
m，T＝0.4
s，则波速v＝＝
m/s＝10
m/s.故B错误．由乙图读出，t＝0时刻质点P的速度向上，则由波形的平移法可知，这列波沿x轴正方向传播．故C正确．当t＝0.1
s时，质点P处于最大位移处，据简谐运动的特点可知，此时加速度最大，而质点Q此时不在最大位移处，所以质点P的加速度大于质点Q的加速度，故D正确；据图象可知经过0.2
s时，质点P再次到达平衡位置，运动方向向下，而质点Q位于平衡位置上方；由于两质点相距1.5
m，再经过0.05
s时，质点P位移与质点Q在0时刻的位移相同，所以质点Q处于平衡位置的最上方，即处在波峰，故E错误．故选C、D.
4．(多选)一质点做简谐运动的图像如图所示，则下列结论中，正确的是( )
A．质点速度最大而加速度为零的时刻分别是0.1
s、0.3
s
B．质点速度为零而加速度为负方向最大值的时刻分别是0、0.4
s
C．质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0.3
s
D．振动系统势能最大而加速度为正方向最大值的时刻是0.3
s
【答案】 ABC
【解析】质点在0.1
s和0.3
s时刻，位移为零，故加速度为零，速度最大，A正确；质点在0和0.4
s时刻，位移为正方向最大值，故速度为零，加速度为负方向最大值，B正确；质点在0.3
s时刻，位移由负方向变为正方向，则回复力由正方向变为负方向，C正确；质点在0.3
s时刻，位移为零，振动系统势能和加速度都为零，D错误．
5．(多选)如图，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.1
s时的波形图．若该波传播的速度为10
m/s，则( )
A．这列波的波长为2
m
B．这列波的周期为0.4
s
C．这列波沿x轴负方向传播
D.
t＝0时刻质点a沿y轴负方向运动
E．从t＝0时刻开始经0.2
s，质点a沿x轴负方向移动2
m
【答案】 BCD
【解析】 由题图可知，波长为λ＝4
m，故A错误；由公式v＝得：T＝＝
s＝0.4
s，故B正确；如果波向x轴正方向传播，则有：T＋nT＝0.1
s(n＝0,1,2,3…)，即(0.3＋0.4n)
s＝0.1
s(n＝0,1,2,3…)，在n的取值范围内，等式不成立，所以不可能向x轴正方向传播，如果波向x轴负方向传播，则有T＋nT＝0.1
s(n＝0,1,2，3…)，当n＝0时等式成立，故C正确；由C项分析可知，波向x轴负方向传播，根据“同侧法”可知，t＝0时刻质点a沿y轴负方向运动，故D正确；质点不会随波迁移，只会在各自平衡位置附近振动，故E错误．
6．(多选)如图所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是( )
A．只有A、C的振动周期相等
B．C的振幅比B的振幅小
C．C的振幅比B的振幅大
D．A、B、C的振动周期相等
【答案】 CD
【解析】 B球、C球做受迫振动，周期都等于A球的振动周期，选项A错误，D正确；A球、C球摆长相等，所以固有频率相等，则C球发生共振，C的振幅比B的振幅大，选项B错误，C正确．
二、温故知新
夯实基础
三、典例剖析
举一反三
考点一
简谐振动的规律
简谐运动的五大特征
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大．在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置O用时相等
(一)典例剖析
例1
（多选）如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin
(2.5πt)
m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6
s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10
m/s2.以下判断正确的是( )
A．h＝1.7
m
B．简谐运动的周期是0.8
s
C．0.6
s内物块运动的路程为0.2
m
D．t＝0.4
s时，物块与小球运动方向相反
【答案】AB
【解析】由物块简谐运动的表达式y＝0.1sin
(2.5πt)
m知，ω＝2.5π
rad/s，T＝＝
s＝0.8
s，B正确；t＝0.6
s时，y＝－0.1
m，对小球：h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7
m，A正确；物块0.6
s内路程为0.3
m，t＝0.4
s
时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故C、D错误．
【易错点】本题考查简谐运动的性质，要注意明确简谐运动中的受力、位移及速度均随时间做周期性变化．
【方法点拨】机械能运动中最简单、最基本的运动是匀速直线运动，简谐运动是一种变加速的周期性运动．简谐运动包括弹簧振子和单摆等的运动
例2如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5
cm.若振子从B到C的运动时间是1
s，则下列说法中正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1
s，振幅是10
cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20
cm
D．从B开始经过3
s，振子通过的路程是30
cm
【答案】D
【解析】选D.振子从B经O到C仅完成了半次全振动，所以其振动周期T＝2×1
s＝2
s，振幅A＝BO＝5
cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20
cm，所以两次全振动中通过的路程为40
cm，3
s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30
cm.综上可知，只有D正确．
【易错点】本题首先要抓住振幅的概念：振动物体离开平衡位置的最大距离，分析振幅关系，其次，抓住简谐运动中一个全振动中路程为4A．
【方法点拨】抓住在运动中的振动周期以及路程的计算．
(二)举一反三
1．(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6
s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度g＝10
m/s2．以下判断正确的是( )
A．h＝1.7
m
B．简谐运动的周期是0.8
s
C．0.6
s内物块运动的路程是0.2
m
D．t＝0.4
s时，物块与小球运动方向相反
【答案】AB
【解析】t＝0.6
s时，物块的位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1
m，则对小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7
m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝＝
s＝0.8
s，选项B正确；0.6
s内物块运动的路程是3A＝0.3
m，选项C错误；t＝0.4
s＝时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误．
2．【2019·高考全国卷Ⅱ】
如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )
【答案】A
【解析】由单摆的周期公式T＝2π可知，小球在钉子右侧时，振动周期为在左侧时振动周期的2倍，所以B、D错误．由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同，当小球在右侧摆动时，最大水平位移较大，故A正确，C错误．
3．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1
m，t＝1
s时位移为0.1
m，则( )
A．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
s
B．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
s
C．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为4
s
D．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为6
s
【答案】AD
【解析】若振幅为0.1
m，则T＝1
s，其中n＝0、1、2、…，当n＝0时，T＝2
s，n＝1时，T＝
s，n＝2时，T＝
s，故A正确，B错误；若振幅为0.2
m，振动分4种情况讨论：
第①种情况，设振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)，t＝0时，－＝Asin
φ，解得φ＝－，所以由P点到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，由P点到Q点用时至少为，即T＝1
s，其中n＝0、1、2、…，当n＝0时，T＝6
s，n＝1时，T＝
s；第②③种情况，由P点到Q点用时至少为，周期最大为2
s；第④种情况，周期一定小于2
s，故C错误，D正确．
4．（多选）【2019年物理江苏卷】一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的(
)
A．位移增大
B．速度增大
C．回复力增大
D．机械能增大
【答案】AC
【解析】由简谐运动的特点可知，当偏角增大，摆球偏离平衡位置的位移增大，故A正确；当偏角增大，动能转化为重力势能，所以速度减小，故B错误；由回复力
可知，位移增大，回复力增大，故C正确，单摆做简谐运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，故D错误．
考点二
简谐运动图象的理解和应用
1．根据简谐运动图象可获取的信息：
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
2．利用简谐运动图象理解简谐运动的对称性：
(1)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速度也等大反向．
(2)相隔Δt＝nT(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同．
(一)典例剖析
例1某一弹簧振子做简谐运动，在图的四幅图象中，正确反映加速度a与位移x的关系的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】回复力满足F=﹣kx的机械运动是简谐运动；
根据牛顿第二定律，加速度为：，故a﹣x图象是直线，斜率为负；
故ACD错误，B正确；
【易错点】对于图象问题，通常推导出函数表达式后分析图象情况，基础题
【方法点拨】简谐运动中，回复力满足F=﹣kx，故加速度为，根据表达式确定图象情况．
例2某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是( )
A．t＝1
s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B．t＝2
s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t＝3
s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t＝4
s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
【答案】A
【解析】由图象可知，t＝1
s和t＝3
s时振子在最大位移处，速度为零，加速度分别为负向最大值、正向最大值；而t＝2
s和t＝4
s时振子在平衡位置，加速度为零，而速度分别为负向最大、正向最大．综上所述，A正确．
【易错点】本题考查对简谐运动图象的理解能力，要抓住简谐运动中质点的速度与加速度的变化情况是相反．
【方法点拨】根据简谐运动的位移图象直接读出质点的位移与时间的关系．当物体位移为零时，质点的速度最大，加速度为零；当位移为最大值时，速度为零，加速度最大．加速度方向总是与位移方向相反，位移为负值，加速度为正值．
例3（多选）如图甲所示，O、P为介质中的两点，O为波源，OP间距为6m．t=0时刻O点由平衡位置开始向上振动，向右产生沿直线传播的简谐横波，图乙表示t=0时刻开始P点振动的图象．则以下说法正确的是___________(填入正确答案的标号．选对一个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分；每选错1个扣3分，最低得分为0分)
A．该波的波长12m
B．该波的波速为2m/s
C．该波的周期为4s
D．从开始振动到t=10s，质点P经过的路程为1.6m
E．.若波源O向右靠近P点运动，则P点的观察者接收到的波的频率小于波源的频率
【答案】ACD
【解析】由图乙所示的P点振动的图象可知波动周期为T=4s，选项C正确；波动从O传播到P点需要时间为2s(半个周期)，OP=λ/2，该波的波长λ=12m，该波的波速为v=λ/T=3m/s，选项A正确B错误；从开始振动到t=10s，质点P振动了8s，两个周期，经过的路程为s=2×4A=2×4×0.2m=1.6m，选项D正确；根据多普勒效应，若波源O向右靠近P点运动，则P点的观察者接收到的波的频率大于波源的频率，选项E错误．
【易错点】本题以振动图像给出解题信息，考查波动传播、波速计算、多普勒效应及其相关知识点．
【方法点拨】根据简谐运动的位移图象直接读出质点的位移与时间的关系．当物体位移为零时，质点的速度最大，加速度为零；当位移为最大值时，速度为零，加速度最大．加速度方向总是与位移方向相反，位移为负值，加速度为正值．
(二)举一反三
1．（多选）如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹．已知弹簧的劲度系数为k＝10
N/m，振子的质量为0.5
kg，白纸移动的速度为2
m/s，弹簧弹性势能的表达式Ep＝ky2(y为弹簧的形变量)，不计一切摩擦．在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是( )
A．该弹簧振子的振幅为1
m
B．该弹簧振子的周期为1
s
C．该弹簧振子的最大加速度为10
m/s2
D．该弹簧振子的最大速度为2
m/s
【答案】 BC
【解析】弹簧振子的振幅为振子偏离平衡位置的最大距离，所以该弹簧振子的振幅为A＝0.5
m，A错误；由题图所示振动曲线可知，白纸移动x＝2
m，弹簧振子振动一个周期，所以弹簧振子的周期为T＝＝1
s，B正确；该弹簧振子所受最大回复力为F＝kA＝10×0.5
N＝5
N，最大加速度为a＝＝10
m/s2，C正确；根据题述弹簧弹性势能的表达式Ep＝ky2，不计一切摩擦，弹簧振子振动过程中机械能守恒，则mvm2＝kA2，可得该弹簧振子的最大速度为vm＝
A＝
m/s，D错误．
2．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是( )
A．t＝1
s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B．t＝2
s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t＝3
s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t＝4
s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
【答案】 A
【解析】 t＝1
s时，振子位于正向最大位移处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；t＝2
s时，振子位于平衡位置并向x轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，
故B错误；t＝3
s时，振子位于负向最大位移处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；t＝4
s时，振子位于平衡位置并向x轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误．
3．（多选）甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知( )
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
E．振子甲加速度为零时，振子乙速度最大
【答案】CDE
【解析】从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D正确；弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误；由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，B错误；由简谐运动的特点可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，C正确，同理E也正确．
4．（多选）如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量是乙的质量的4倍，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π，式中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数．当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中( )
A．甲的振幅是乙的振幅的4倍
B．甲的振幅等于乙的振幅
C．甲的最大速度是乙的最大速度的
D．甲的振动周期是乙的振动周期的2倍
E．甲的振动频率是乙的振动频率的2倍
【答案】BCD
【解析】细线断开前，两根弹簧上的弹力大小相同，弹簧的伸长量相同，细线断开后，两物块都开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置都在弹簧原长位置，所以它们的振幅相等，A错误，B正确；两物块做简谐运动时，动能和势能相互转化，总机械能保持不变，细线断开前，弹簧的弹性势能就是物块开始做简谐运动时的机械能，二者相等，根据机械能守恒，可知在振动过程中，它们的机械能相等，到达平衡位置时，它们的弹性势能为零，动能达到最大，二者相等，因为甲的质量是乙的质量的4倍，根据动能公式可知甲的最大速度是乙的最大速度的，C正确；根据弹簧振子做简谐运动的周期公式T
＝2π，甲的质量是乙的质量的4倍，甲的振动周期是乙的振动周期的2倍，D正确；根据周期与频率成反比可知，甲的振动频率是乙的振动频率的，E错误．
5．（多选）(2018年天津卷)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t=0时振子的位移为-0.1
m，t=1
s时位移为0.1
m，则(
)
A．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
B．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
C．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为4
s
D．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为6
s
【答案】 AD
【解析】
t=0时振子的位移为x=
-
0.1
m，t=1
s时位移为x=0.1
m，关于平衡位置对称．
如果若振幅为0.1
m，则1
s为半周期的奇数倍，即
，(k=0、1、2、3……)解得，(k=0、1、2、3……)
当k=1时，，无论k为何值，T都不能等于，A正确B错误；
如果若振幅为0.2
m，结合如图示的位移时间关系图像有：
(n=0、1、2、3……)
①
(
t
y
/
cm
1
-
1
-2
2
0
)或者
(n=0、1、2、3……)
②
或者(n=0、1、2、3……)
③
对①式，只有当n=0时T=2s，为整数；
对②式，n为任何数，
T都不可能为整数；
对③式，只有当n=0时T=6s，n大于0以后周期都大于6s．故C错误
D正确．
考点三
受迫振动和共振
1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动
项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大．
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换．
(一)典例剖析
例1（多选）如图所示，A、B、C、D四个单摆的摆长分别为l、2l、l、，摆球的质量分别为2m、2m、m、，四个单摆静止地悬挂在一根水平细线上．现让A球振动起来，通过水平细线迫使B、C、D也振动起来，则下列说法正确的是( )
A．A、B、C、D四个单摆的周期均相同
B．只有A、C两个单摆的周期相同
C．B、C、D中因D的质量最小，故其振幅是最大的
D．B、C、D中C的振幅最大
E．B、C、D中C的振幅最小
【答案】AD
【解析】选AD.在A的驱动下，B、C、D均做受迫振动，受迫振动的频率均与驱动力的频率(A的固有频率)相等，与各自的固有频率无关，A正确，B错误；判断能否达到最大振幅，即实现共振，取决于f固是否与f驱相等；对于单摆而言，固有频率与摆球质量无关，所以不必考虑摆球的质量；在B、C、D中，由T＝2π及f＝知，只有C的固有频率等于驱动力的频率，所以在B、C、D中C的振幅最大，C、E错误，D正确．
例2（多选）如图所示为两个单摆的受迫振动的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两个受迫振动是在地球上同一地点进行，则两个摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该单摆摆长约为1
m
D．若摆长均为1
m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
E．若两个单摆在同一地点均发生共振，图线Ⅱ表示的单摆的能量一定大于图线Ⅰ表示的单摆的能量
【答案】ABC
【解析】图线中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率fⅠ＝0.2
Hz，fⅡ＝0.5
Hz.当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式f＝可知，g越大，f越大，所以gⅡ>gⅠ，又因为g地>g月，因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若在地球上同一地点进行两次受迫振动，g相同，摆长长的f小，且有＝，所以＝，B正确；fⅡ＝0.5
Hz，若图线Ⅱ是在地面上完成的，根据g＝9.8
m/s2，可计算出LⅡ约为1
m，C正确，D错误；单摆的能量除与振幅有关，还与摆球质量有关，故E错误．
(二)举一反三
1．（多选）如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2
Hz.现匀速转动摇把，转速为240
r/min.则( )
A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5
s
B．当振子稳定振动时，它的振动频率是4
Hz
C．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大
D．当转速减小时，弹簧振子的振幅增大
E．振幅增大的过程中，外界对弹簧振子做正功
【答案】BDE
【解析】摇把匀速转动的频率f＝n＝
Hz＝4
Hz，周期T＝＝0.25
s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A错误，B正确；当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2
Hz，弹簧振子的振幅将增大，C错误，D正确；外界对弹簧振子做正功，系统机械能增大，振幅增大，故E正确．
2．在实验室可以做“声波碎杯”的实验，用手指轻弹一只玻璃酒杯，可以听到清脆的声音，测得这声音的频率为500
Hz.将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前，操作人员通过调整其发出的声波，就能使酒杯碎掉．下列说法中正确的是( )
A．操作人员必须把声波发生器输出的功率调到很大
B．操作人员必须使声波发生器发出频率很高的超声波
C．操作人员必须同时增大声波发生器发出声波的频率和功率
D．操作人员必须将声波发生器发出的声波频率调到500
Hz，且适当增大其输出功率
【答案】 D
【解析】由题可知用手指轻弹一只酒杯，测得这声音的频率为500
Hz，就是酒杯的固有频率．当物体发生共振时，物体振动的振幅最大，甚至可能造成物体解体．将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前，操作人员通过调整其发出的声波，将酒杯碎掉是利用的共振现象，而发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，而酒杯的固有频率为500
Hz，故操作人员要将声波发生器发出的声波频率调到500
Hz，使酒杯产生共振，从而能将酒杯碎掉，故D正确.
3．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动振幅/cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
A.f固＝60
Hz
B．60
Hz＜f固＜70
Hz
C．50
Hz＜f固≤60
Hz
D．以上三个都不对
【答案】 C
【解析】从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大．并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢．比较各组数据知f驱在50～60
Hz范围内时，振幅变化最小，因此50
Hz＜f固≤60
Hz，即C正确．
4．如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等．当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动．观察B、C、D摆的振动发现( )
A．C摆的频率最小
B．D摆的周期最大
C．B摆的摆角最大
D．B、C、D的摆角相同
【答案】 C
【解析】
A摆摆动从而带动其他3个单摆做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其他各摆振动周期与A摆相同，频率也相同，故A、B错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于B摆的固有频率与A摆的频率相同，故B摆发生共振，振幅最大，故C正确，D错误．
考点四
波的传播与波速公式的应用
1．波的图象特点
(1)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变．
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3…)时，它们的振动步调总相反．
(3)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同．
2．波速公式
振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝＝λf.
3．由t时刻的波形确定t＋Δt时刻的波形
(1)波向右传播Δt＝T的时间和向左传播Δt＝T的时间波形相同．
(2)若Δt＞T，可以采取“去整留零头”的办法．
4．判断波的传播方向与质点的振动方向的三种常见方法
(1)上下坡法：沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振动，如图甲所示．
(2)同侧法：波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧，如图乙所示．
甲
乙
丙
微平移法：将波形图沿传播方向平移Δx(Δx≤)，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定，如图丙所示．
(一)典例剖析
例1（多选）(2020浙江卷)如图所示，x轴上、处有两个振动周期均为、振幅均为的相同的波源、，时刻同时开始竖直向下振动，产生波长均为沿x轴传播的简谐横波．P、M、Q分别是x轴上、和的三个点，下列说法正确的是（
）
A．时P、M、Q三点均已振动
B．后M点的位移始终是
C．后P点的位移始终是0
D．时Q点的振动方向竖直向下
【答案】CD
【解析】A．波速为
在6s内两列波传播了6m，则此时PQ两质点已振动，但是M点还未振动，A错误；
B．因M点到两个振源的距离相等，则M是振动加强点，振幅为2cm，但不是位移始终为2cm，B错误；
C．P点到两振源的距离只差为6cm，为半波长的3倍，则该点为振动减弱点，振幅为零，即10.0s后P点的位移始终为零，C正确；
D．S1波源的振动传到Q点的时间为，则10.5s时Q点由S1引起的振动为竖直向下；S2波源的振动传到Q点的时间为，则10.5s时Q点由S2引起的振动已经振动了7s，此时在最高点，速度为零，则10.5s时刻Q点的振动速度为竖直向下，D正确．故选CD．
例2
(2020新课标Ⅰ卷)一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样．c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图所示．已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为．求：
(i)波的波长；
(ii)波的传播速度．
【答案】(i)；(ii)
【解析】(i)设与c点最近的振幅极大点为d，则
根据干涉加强点距离差的关系：
所以波长为
(ii)由于受迫振动的频率取决于受迫源的频率由知，
(二)举一反三
1．(2020·山东等级考模拟卷·4)某一列沿x轴传播的简谐横波，在t＝时刻的波形图如图所示，P、Q为介质中的两质点，质点P正在向动能增大的方向运动．下列说法正确的是( )
A．波沿x轴正方向传播
B．t＝时刻，Q比P的速度大
C．t＝时刻，Q到达平衡位置
D．t＝时刻，P向y轴正方向运动
【答案】 D
【解析】 质点P向动能增大的方向运动，则t＝时刻P点向平衡位置运动，即运动方向向下，可得该波沿x轴负方向传播，故A错误；t＝时刻Q点位于波谷，速度为0，小于P点的速度，故B错误；t＝时刻，Q点位于波峰，P点在平衡位置下方且向y轴正方向运动，故C错误，D正确．
2．(多选)(2018·浙江选考)如图所示，两种不同材料的弹性细绳在O处连接，M、O和N是该绳上的三个点，OM间距离为7.0
m，ON间距离为5.0
m．O点上下振动，则形成以O点为波源向左和向右传播的简谐横波Ⅰ和Ⅱ，其中波Ⅱ的波速为1.0
m/s．t＝0时刻O点处在波谷位置，观察发现5
s
后此波谷传到M点，此时O点正通过平衡位置向上运动，OM间还有一个波谷．则( )
A．波Ⅰ的波长为4
m
B．N点的振动周期为4
s
C．t＝3
s时，N点恰好处于波谷
D．当M点处于波峰时，N点也一定处于波峰
【答案】 BD
【解析】OM之间有两个波谷，即1λ1＝7
m，解得波Ⅰ的波长为λ1＝5.6
m，根据题意可知波Ⅰ的波速为v1＝＝1.4
m/s，故波的周期为T＝＝
s＝4
s，同一波源的频率相同，故N点的振动周期为4
s，A错误，B正确；波Ⅱ的波长为λ2＝v2T＝4
m，故在t＝0时刻N处于平衡位置向下振动，经过3
s，即四分之三周期，N点在波峰，C错误；因为MN两点到波源的距离都为其各自波长的1，又两者振动周期相同，起振方向相同，所以两者振动步调相同，即当M点处于波峰时，N点也一定处于波峰，D正确．
考点五
波动图象和振动图象的理解和应用
两种图象的比较
图象类型
振动图象
波动图象
研究对象
一振动质点
沿波传播方向的所有质点
研究内容
一质点的位移随时间的变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图象
物理意义
表示同一质点在各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
图象信息
(1)质点振动周期
(2)质点振幅
(3)某一质点在各时刻的位移
(4)各时刻速度、加速度的方向
(1)波长、振幅
(2)任意一质点在该时刻的位移
(3)任意一质点在该时刻的加速度方向
(4)传播方向、振动方向的互判
图象变化
随着时间推移，图象延续，但已有形状不变
随着时间推移，波形沿传播方向平移
一完整曲
线占横坐
标的距离
表示一个周期
表示一个波长
1．由波的图象画某一质点振动图象的步骤
(1)由波的图象求出波的周期，亦即质点做简谐运动的周期；
(2)从波的图象中找出该质点在计时时刻相对平衡位置的位移；
(3)根据质点振动方向和波传播方向间的关系，确定质点的振动方向；
(4)建立y－t坐标系，根据正弦或余弦规律画出质点的振动图象．
2．由波的图象和某一质点的振动图象判断波的传播规律的方法
(1)首先根据横轴是长度还是时间分清哪一个是波的图象，哪一个是振动图象，注意各个质点振动的周期和振幅相同．
(2)从确定的振动图象中可以找出某质点在波的图象中某一时刻的振动方向，根据该点振动方向确定波的传播方向．
(一)典例剖析
例1（多选）【2019·全国Ⅰ卷】一简谐横波沿x轴正方向传播,在t=时刻,该波的波形图如图(a)所示,P、Q是介质中的两个质点.图(b)表示介质中某质点的振动图像.下列说法正确的是（
） .?
A．质点Q的振动图像与图(b)相同
B．在t=0时刻,质点P的速率比质点Q的大
C．在t=0时刻,质点P的加速度的大小比质点Q的大
D．平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图(b)所示
E．在t=0时刻,质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
【答案】CDE
【解析】
(1)由于波沿x轴正方向传播,由图(a)可知,在t=时刻,质点Q正在向上振动,所以质点Q的振动图像与图(b)不相同,A错误;在t=0时刻(半个周期之前),质点P在波谷,质点Q在平衡位置,所以质点P的速度比质点Q的小,质点P的加速度的大小比质点Q的大,质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大,B错误,C、E正确;在t=0时刻,平衡位置在坐标原点处的质点正处于平衡位置且向y轴正方向振动,与图(b)相符,D正确.
【易错点】本题考察振动图像和波的图像的理解和应用，首先根据横轴是长度还是时间分清哪一个是波的图象，哪一个是振动图象，注意各个质点振动的周期和振幅相同．
【方法点拨】(1)注意各个质点振动的周期和振幅相同(2)从确定的振动图象中可以找出某质点在波的图象中某一时刻的振动方向，根据该点振动方向确定波的传播方向．
例2
(多选)一列简谐横波在均匀介质中沿x轴传播，图甲为t＝2.0
s时的波形图，图乙为x＝2
m处的质点P的振动图象，质点Q为平衡位置x＝3.5
m的质点．下列说法正确的是( )
A．波沿x轴正方向传播
B．波的传播速度为1
m/s
C．t＝2.0
s时刻后经过0.5
s，质点P通过的路程等于0.05
m
D．t＝3.5
s时刻，质点Q经过平衡位置
【答案】ABD
【解析】由题图乙可知，t＝2.0
s时质点P向上振动，根据“微平移法”，结合题图甲可知波沿x轴正方向传播，A正确；根据振动图象可知，波的周期为T＝4
s，根据波形图可知，波长λ＝4
m，所以波速v＝＝1
m/s，B正确；t＝2.0
s时刻，质点P位于平衡位置处，再经0.5
s＝T，质点P通过的路程s>＝0.05
m，C错误；Δt＝1.5
s，Δx＝vΔt＝1.5
m＝PQ，可知t＝3.5时刻，质点Q经过平衡位置，D正确．
例3【2020山东卷】一列简谐横波在均匀介质中沿x轴负方向传播，已知处质点的振动方程为，则时刻的波形图正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，时，在处的质点处于
则此时质点位于平衡位置；下一时刻，该质点向上运动，原理平衡位置，根据题意，横波沿轴负方向传播，根据同侧法判断可知，ABC错误，D正确．故选D．
(二)举一反三
1．【2020年天津卷】一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T，时的波形如图所示．时(
)
A．质点a速度方向沿y轴负方向
B．质点b沿x轴正方向迁移了1m
C．质点c的加速度为零
D．质点d的位移为-5cm
【答案】C
【解析】经过周期，波向右传播了，波形如图所示
A．由图可知，质点a点恰好运动到平衡位置且沿着y轴正方向运动，A错误；
B．质点b点只在竖直方向上运动不会随波迁移，B错误；
C．质点c恰好运动到平衡，速度最大，加速度为零，C正确；
D．质点d的位移为5
cm，D错误．故选C．
2．（多选）体育课上李辉同学一脚把足球踢到了足球场下面的池塘中间．王奇提出用石头激起水波让水浪把足球推到池边，他抛出一石块到水池中激起了一列水波，可是结果足球并没有被推到池边．大家一筹莫展，恰好物理老师来了，大家进行了关于波的讨论．物理老师把两片小树叶放在水面上，大家观察发现两片小树叶在做上下振动，当一片树叶在波峰时恰好另一片树叶在波谷，两树叶在1
min内都上下振动了36次，两树叶之间有2个波峰，他们测出两树叶间水面距离是4
m．则下列说法正确的是( )
A．该列水波的频率是36
Hz
B.
该列水波的波长是1.6
m
C．该列水波的波速是0.96
m/s
D.
两片树叶的位移始终等大反向
E．足球不能到岸边的原因是水波的振幅太小
【答案】 BCD
【解析】 两树叶在1
min内都上下振动了36次，则树叶振动的周期T＝
s＝
s，树叶振动的频率f＝＝0.6
Hz，则水波的频率为0.6
Hz，故A项错误．两树叶之间有2个波峰，当一片树叶在波峰时恰好另一片树叶在波谷，两树叶间水面距离是4
m，所以λ＝4
m，解得：该列水波的波长λ＝1.6
m，故B项正确．根据v＝λf可得，水波的波速v＝1.6×0.6
m/s＝0.96
m/s，故C项正确．一片树叶在波峰时恰好另一片树叶在波谷，两者平衡位置间的距离是半波长的奇数倍，两片树叶的位移始终等大反向，故D项正确．水波传播时，各质点在自身的平衡位置附近往复振动，并不随波迁移，所以足球不能到岸边，故E项错误．
3．如图甲为某波源的振动图象，图乙是该波源产生的横波在某时刻的波动图象，波动图象中的O点表示波源，P、Q是介质中的两点．则：
(1)这列波的波速多大？波源的起振方向向哪？
(2)当波动图象中质点Q第一次到达平衡位置且向上运动时，质点P已经经过了多少路程？
【答案】(1)1
m/s 波源起振方向沿y轴负方向 (2)0.7
m
【解析】(1)从振动图象和波动图象可知，波源起振方向沿y轴负方向，T＝2
s，λ＝2
m
则波速v＝＝1
m/s
(2)波由质点P传到质点Q经历时间：
t1＝＝
s＝6
s＝3T
质点Q从开始振动到第一次到达平衡位置且向上运动的时间t2＝
P共振动：t＝t1＋t2＝T
则质点P经过的路程：s＝×4A＝0.7
m．
4．【2019年物理北京卷】一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则
A.
此刻a的加速度最小
B.
此刻b的速度最小
C.
若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动
D.
若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置
【答案】C
【解析】由机械振动特点确定质点的加速度和速度大小，由“上下坡法”确定振动方向．
由波动图象可知，此时质点a位于波峰处，根据质点振动特点可知，质点a的加速度最大，故A错误，此时质点b位于平衡位置，所以速度为最大，故B错误，若波沿x轴正方向传播，由“上下坡法”可知，质点b向y轴正方向运动，故C正确，若波沿x轴负方向传播，由“上下坡法”可知，a质点沿y轴负方向运动，c质点沿y轴正方向运动，所以质点c比质点a先回到平衡位置，故D错误．
5．（多选）【2019年4月浙江物理选考】图为一列简请横波在t=0时刻的波形图，P、Q为介质中的两个质点，图2为质点P的振动图象，则（
）
A.
t=0.2s时，质点Q沿y轴负方向运动
B.
0～0.3s内，质点Q运动的路程为0.3m
C.
t=0.5s时，质点Q的加速度小于质点P的加速度
D.
t=0.7s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离
【答案】CD
【解析】A．由振动图像可知T=0.4s，t=0时刻质点P向上振动，可知波沿x轴负向传播，则t=0.2s=0.5T时，质点Q沿y轴正方向运动，选项A错误；
B．0.3s=T，因质点Q在开始时不是从平衡位置或者最高点(或最低点)开始振动，可知0～0.3s内，质点Q运动的路程不等于，选项B错误；
C．t=0.5s=1T时，质点P到达最高点，而质点Q经过平衡位置向下运动还没有最低点，则质点Q的加速度小于质点P的加速度，选项C正确；
D．t=0.7s=1T时，质点P到达波谷位置而质点而质点Q还没到达波峰位置，则质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离，选项D正确．
考点六
波传播的周期性和多解性问题
1．波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确．
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)．
(1)传播方向导致的多解问题
波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播．若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题．
(2)波长大小导致的多解问题
因题中没有给定波长的确切条件，故引起答案的不确定性导致多解问题．
(3)波形周期导致的多解问题
简谐机械波是周期性的，每经过一个周期波形与原波形重复，从而导致了问题的多解性．
(4)质点振动方向导致的多解问题
(5)传播时间导致的多解问题
题目中所给定的时间条件不充分，可能比一个周期长，可能比一个周期短，从而导致了多解问题的出现．
(6)质点振动图象导致的多解问题
总之，机械波的多解问题产生的根本原因是由于机械波图形的周期性重复．因此我们在求解该类问题时，要充分重视图象的功能，对图象进行仔细分析，挖掘隐含条件，结合传播方向，利用波动知识，把波动问题全面圆满地解决．
(一)典例剖析
例1
(多选)【2019·天津高考】一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1
m和x2＝7
m
处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是( )
图1
图2
A．7
m/s
B．2
m/s
C．1.2
m/s
D．1
m/s
【答案】BC
【解析】由振动图像可知周期T＝4
s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处．①若沿x轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……
甲
则波长有：x2－x1＝λ(n＝0，1，2，…)
得波速表达式v＝＝＝(n＝0，1，2，…)
当n＝0时，v＝6
m/s，当n＝1时，v＝1.2
m/s，C正确．
②若沿x轴负方向传播，其波形如图乙所示．
乙
则有x2－x1＝λ(n＝0，1，2，…)
得v＝＝＝(n＝0，1，2，…)
当n＝0时，v＝2
m/s，当n＝1时，v≈0.86
m/s，B正确．
例2一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6
s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点．下列说法错误的是( )
A．这列波的波速可能为50
m/s
B．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30
cm
C．质点c在这段时间内通过的路程可能为60
cm
D．若周期T＝0.8
s，则在t＋0.5
s时刻，质点b、P的位移相同
【答案】B
【解析】由波形图可知波长λ＝40
m，且0.6
s＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，解得周期T＝
s(n＝0，1，2，…)．当n＝0时，T＝0.8
s，波速v＝＝50
m/s，选项A正确．由传播方向沿x轴正方向可知质点a在t时刻向上运动，当n＝0时，T＝0.8
s，则质点a在这段时间内通过的路程小于30
cm；当n＝1时，T＝
s，质点a在这段时间内通过的路程大于30
cm，选项B错误．若n＝1，则T＝
s，波传播到c点所用时间为T，0.6
s＝，质点c振动的时间为T－T＝T，故在这段时间内质点c通过的路程则为6A＝60
cm，选项C正确．若T＝0.8
s，t＋0.5
s时刻，质点b、P的位移均为负值，大小相等，选项D正确．
(二)举一反三
1．【2018·北京高考】如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15
m．当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )
A．0.60
m
B．0.30
m
C．0.20
m
D．0.15
m
【答案】B
【解析】 由题意，P、Q两点之间的间距为＋nλ＝0.15
m(n＝0，1，2，…)，故n＝0时，λ＝0.3
m；n＝1时，λ＝0.1
m．
2．(多选)如图所示，S1为点振源，由平衡位置开始上下振动，产生一列简谐横波沿S1S2直线传播，S1、S2两点之间的距离为9
m．S2点的左侧为一种介质，右侧为另一种介质，波在这两种介质中传播的速度之比为3∶4.某时刻波正好传到S2右侧7
m处，且S1、S2均在波峰位置．则( )
A．S2开始振动时方向可能向下也可能向上
B．波在S2左侧的周期比在右侧时大
C．右侧的波长为λ2＝
m(n＝1,2,3,4…)
D．左侧的波长为λ1＝
m(n＝1,2,3,4…)
【答案】AD
【解析】A.?S2开始运动时方向与振源的起振方向相同,由于振源的起振方向不知道,所以无法确定S2开始运动时方向，故A正确；
B.
波的振动周期由振源决定,波在S2左侧的周期和右侧的周期相等，故B错误；
CD、若传到S2时,S2质点从平衡位置向下振动,则有：则
解得：
此时在S2的左边,有：解得：
若传到S2时,S2质点从平衡位置向上振动,则有：
解得：
此时在S2的左边,有：解得：
因S1、S2均在波峰位置,可知都应该是整数,根据数学知识可得,这两个数包含了所有的奇数,即可表示为2n+1,则λ1可表示为，故C错误，D正确。
3．【2020新课标Ⅲ卷】如图，一列简谐横波平行于x轴传播，图中的实线和虚线分别为t=0和t=0.1
s时的波形图．已知平衡位置在x=6
m处的质点，在0到0.1s时间内运动方向不变．这列简谐波的周期为_____s，波速为_____m/s，传播方向沿x轴_____(填“正方向”或“负方向”)．
【答案】
负方向
【解析】因为处的质点在内运动方向不变，所以该处质点从正向位移最大处经过四分之一个周期向下运动至平衡位置处，即
解得周期为，所以波速为
在虚线上，处的质点向下运动，根据同侧法可知波沿轴负方向传播．
考点七
波的干涉、衍射和多普勒效应
1．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时．
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
(2)图象法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接而成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间．
2．多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数．
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小．
(一)典例剖析
例1
(多选)如图所示，两列简谐横波在同一根绳上传播，已知甲波向左传播，t＝0时刻恰好传播到x＝＋0.5
cm处，乙波向右传播，t＝0时刻恰好传播到x＝－0.5
cm处，经过0.5
s后甲波刚好到达O点，两列波的振幅均为2
cm，则以下说法正确的是( )
A．甲波的波速为1.0
cm/s
B．两列波相遇后，x＝0处质点的振幅为4
cm
C．x＝1.5
cm处的质点在0～3
s内通过的路程为16
cm
D．t＝1
s时，x＝1.25
cm处的质点的振动方向沿＋y方向
【答案】 ACD
【解析】 甲波波速v1＝＝＝1.0
cm/s，T甲＝＝＝2
s；波速由介质决定，则v2＝v1＝1.0
cm/s，f乙＝f甲＝＝0.5
Hz，结合题图知，两列波相遇后，x＝0处是振动减弱点，始终不振动，即x＝0处质点的振幅A＝0；乙波传播到x＝1.5
cm质点处所用时间t1＝＝2
s，则x＝1.5
cm处质点在0～2
s内，以A＝2
cm振动一个周期，路程s1＝4A＝8
cm，两列波相遇后，x＝1.5
cm处为振动加强点，2～3
s内该质点以振幅A′＝4
cm振动半个周期，路程s2＝×4A′＝8
cm，故总路程为s1＋s2＝16
cm；t＝1
s＝，此时乙波还未传播到x＝1.25
cm处，知x＝1.25
cm处质点振动方向沿＋y方向，故B错误，A、C、D正确．
例2
(多选)如图为水面上两列频率相同的波在某时刻的叠加情况，以波源S1、S2为圆心的两组同心圆弧分别表示同一时刻两列波的波峰(实线)和波谷(虚线)，S1的振幅A1＝4
cm，S2的振幅A2
＝3
cm，则下列说法正确的是( )
A．A、D连线上的所有质点一定都是振动加强点
B．质点A、D在该时刻的高度差为14
cm
C．再过半个周期，质点B、C是振动加强点
D．质点D的位移不可能为零
【答案】AB
【解析】两个波源的振动步调一致，题图中A、D连线上的点到两个波源路程差为零，是振动加强点，而B、C是波峰与波谷相遇的点，是振动减弱点，故A正确；该时刻质点A处于波峰叠加位置，相对平衡位置的高度为A1＋A2＝7
cm，质点D此刻位移为xD＝－7
cm，因此A、D质点在该时刻的高度差为14
cm，故B正确；振动的干涉图象是稳定的，A、D一直是振动加强点，而B、C一直是振动减弱点，故C错误；振动加强点仍在不停在振动，位移可能为零，故D错误．
(二)举一反三
1．（多选）(2020新课标Ⅰ卷)在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有（
）
A．雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B．超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C．观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D．同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
E．天文学上观察到双星(相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星)光谱随时间的周期性变化
【答案】BCE
【解析】A．之所以不能同时观察到是因为声音的传播速度比光的传播速度慢，所以A错误；
B．超声波与血液中的血小板等细胞发生反射时，由于血小板的运动会使得反射声波的频率发生变化，B正确；
C．列车和人的位置相对变化了，所以听得的声音频率发生了变化，所以C正确；
D．波动传播速度不一样是由于波的频率不一样导致的，
D错误；
E．双星在周期性运动时，会使得到地球的距离发生周期性变化，故接收到的光频率会发生变化，E正确．故选BCE．
2．一频率为600
Hz的声源以20
rad/s
的角速度沿一半径为0.8
m
的圆周(圆心为O点)做匀速圆周运动．一观察者站在离圆心很远的P点且相对于圆心静止，如图所示，则观察者接收到( )
A．声源在A点时发出声音的频率等于600
Hz
B．声源在B点时发出声音的频率等于600
Hz
C．声源在C点时发出声音的频率等于600
Hz
D．声源在D点时发出声音的频率小于600
Hz
【答案】B
【解析】根据多普勒效应，当声源和观察者相互靠近时，观察者接收到的频率大于声源的频率，当声源和观察者相互远离时，观察者接收到的频率小于声源的频率，将声源运动至A、B、C、D四个点时相对于观察者的速度方向标出来，可得：声源运动到A点时有靠近观察者的趋势，运动到C点时有远离观察者的趋势，声源在B、D两点的速度方向垂直于O点与观察者的连线，故B正确，A、C、D错误．
3．【2019年物理江苏卷】将两支铅笔并排放在一起，中间留一条狭缝，通过这条狭缝去看与其平行的日光灯，能观察到彩色条纹，这是由于光的_____(选填“折射”“干涉”或“衍射”)．当缝的宽度______(选填“远大于”或“接近”)光波的波长时，这种现象十分明显．
【答案】
(1)衍射
(2)接近
【解析】通过两支铅笔中间缝能看到彩色条纹，说明光绕过缝而到人的眼睛，所以这是由于光的衍射现象，由发生明显衍射条件可知，当缝的宽度与光波的波长接近或比光波的波长少得多时能发生明显衍射现象；
四、分层训练
能力进阶
【基础】
1．如图所示为某弹簧振子在0～5
s内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是( )
A．振动周期为5
s，振幅为8
cm
B．第2
s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C．从第1
s末到第2
s末振子的位移增大，振子在做加速度减小的减速运动
D．第3
s末振子的速度为正向的最大值
【答案】
D
【解析】由题图可知振动周期为4
s，振幅为8
cm，选项A错误；第2
s末振子在最大位移处，速度为零，位移为负，加速度为正向的最大值，选项B错误；从第1
s末到第2
s末振子的位移增大，振子在做加速度增大的减速运动，选项C错误；第3
s末振子在平衡位置，向正方向运动，速度为正向的最大值，选项D正确．
2．做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量减小为原来的，摆球经过平衡位置时速度增大为原来的2倍，则单摆振动的( )
A．频率、振幅都不变
B．频率、振幅都改变
C．频率不变，振幅改变
D．频率改变，振幅不变
【答案】
C
【解析】由单摆的周期公式，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，Ek=mv2可知，摆球经过平衡位置时的动能减小，因此振幅减小，故ABD错误，C正确．故选C．
3．如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( )
A．振子的振动周期等于t1
B．在t＝0时刻，振子的位置在a点
C．在t＝t1时刻，振子的速度为零
D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动
【答案】 D
【解析】 弹簧振子先后经历最短时间到达同一位置时，若速度相同，则这段时间间隔就等于弹簧振子的振动周期，从振动图象可以看出振子的振动周期为2t1，选项A错误；在t＝0时刻，振子的位移为零，所以振子应该在平衡位置O，选项B错误；在t＝t1时刻，振子在平衡位置O，该时刻振子速度最大，选项C错误；从t1到t2，振子的位移在增加，所以振子正从O点向b点运动，选项D正确．
4．如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的非恒定的摩擦力
【答案】
D
5．一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0时刻的波形图如图所示．已知波速为0.4
m/s，且波刚传到c点．下列选项正确的是( )
A．波源的振动周期为0.4
s
B．t＝0时，质点d沿y轴正方向运动
C．t＝0时，质点a的加速度比质点b的加速度大
D．质点a比质点b先回到平衡位置
【答案】
B
【解析】由题图可知，波长λ＝0.08
m，而波速v＝0.4
m/s，则周期T＝＝
s＝0.2
s，故A错误；因为波沿x轴正方向传播，根据“上下坡法”，可知d处于“下坡路”，故t＝0时刻质点d沿y轴正方向运动，故B正确；t＝0时，质点a的位移小于质点b的位移，故质点a的加速度比质点b的加速度小，故C错误；在t＝0时刻，质点a的振动方向沿y轴负方向向波谷运动，而质点b的振动方向沿y轴负方向向平衡位置运动，故质点a比质点b后回到平衡位置，故D错误．
6．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为0.5
s
B．此单摆的摆长约为1
m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
【答案】
B
【解析】由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5
Hz，固有周期为2
s；再由T＝2π，得此单摆的摆长约为1
m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动．
7．(多选)简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示．则下列说法中正确的是( )
A．弹簧振子的周期为4
s
B．弹簧振子的振幅为10
cm
C．t＝17
s时振子相对平衡位置的位移是10
cm
D．若纸带运动的速度为2
cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是4
cm
E．2.5
s时振子正在向x轴正方向运动
【答案】 ABD
【解析】 周期是振子完成一次全振动的时间，由图知，弹簧振子的周期为T＝4
s，故A正确；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图知，弹簧振子的振幅为10
cm，故B正确；振子的周期为4
s，由周期性知，t＝17
s时振子相对平衡位置的位移与t＝1
s时振子相对平衡位置的位移相同，为0.故C错误；若纸带运动的速度为2
cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是s＝vt＝2
cm/s×2
s＝4
cm，故D正确；图象的斜率表示速度，斜率正负表示速度的方向，则知2.5
s时振子的速度为负，正在向x轴负方向运动，故E错误．
8．(多选)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，则下列说法中正确的是( )
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的机械能比乙摆大
C．在t＝0.5
s时有正向最大加速度的是乙摆
D．由图象可以求出当地的重力加速度
【答案】
AC
【解析】由题图振动图象可以看出，甲摆的振幅比乙摆的大，两单摆的振动周期相同，又甲、乙位于同一地点，则g值相同，根据单摆周期公式T＝2π可得，甲、乙两单摆的摆长相等，但不知道摆长是多少，不能计算出当地的重力加速度g，故A正确，D错误；两单摆的质量未知，所以两单摆的机械能无法比较，故B错误；在t＝0.5
s时，乙摆有负向最大位移，即有正向最大加速度，而甲摆的位移为零，加速度为零，故C正确．
9．(多选)一弹簧振子做简谐振动，则以下说法正确的是( )
A．振子的加速度方向始终指向平衡位置
B．已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同
C．若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍
D．振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等
【答案】 ABD
【解析】 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确．
10．如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设向右为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10
m/s2，试求这个单摆的摆长是多少？(计算结果保留两位有效数字)
【答案】(1)1.25
Hz (2)B点 (3)0.16
m
【解析】(1)由题图乙知周期T＝0.8
s，则频率f＝＝1.25
Hz.
(2)由题图乙知，t＝0时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球在B点．
(3)由T＝2π，得l＝≈0.16
m.
11．如图所示，a、b、c、d…为传播简谐横波的介质中一系列等间隔的质点，相邻两质点间的距离均为0.1
m．若某时刻向右传播的波到达a质点，a开始时先向上运动，经过0.2
s
d质点第一次达到最大位移，此时a正好在平衡位置(已知质点振幅为2
cm，a、d沿传播方向上的距离小于一个波长)．则该简谐横波在介质中的波速可能值为________
m/s，此时质点j的位移为________
cm.
【答案】 3或2 0
【解析】 由题可知介质中质点起振方向向上，所以d质点第一次达到最大位移时处于波峰位置，又a、d沿传播方向上的距离小于一个波长，则可知a、d间的波形如图所示有两种情况：
甲 乙
图甲：xad＝λ甲
t＝T甲
v甲＝
解得v甲＝3
m/s
图乙：xad＝λ乙
t＝T乙
v乙＝
解得v乙＝2
m/s
结合甲、乙两图可知此时质点j还没有起振，所以位移为零．
【巩固】
1．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R?.甲球从弧形槽的圆心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问：(空气阻力不计)
(1)两球第1次到达C点的时间之比；
(2)若在弧形槽的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从弧形槽左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
【答案】
(1) (2)(n＝0,1,2…)
【解析】(1)甲球做自由落体运动
R＝gt，所以t1＝
乙球沿圆弧做简谐运动(由于?R，可认为摆角θ＜5°)．此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为
t2＝T＝×2π＝，
所以t1∶t2＝.
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处自由下落，到达C点的时间为t甲＝
由于乙球运动存在周期性，所以乙球到达C点的时间为
t乙＝＋n＝(2n＋1) (n＝0,1,2，…)
由于甲、乙在C点相遇，故t甲＝t乙
联立解得h＝ (n＝0,1,2…)．
2．如图中实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5
s时刻的波形．
(1)写出这列波的波速表达式；
(2)若波速大小为74
m/s，波速方向如何？
【答案】
(1)v＝＝
m/s＝(16n＋10)m/s (n＝0，1，2…) (2)波向左传播
【解析】(1)由题图图像可知λ＝8
m
当波向右传播时，波传播距离为s＝nλ＋λ＝(8n＋3)m(n＝0，1，2…)
波速为v＝＝
m/s＝(16n＋6)m/s (n＝0，1，2…)．
当波向左传播时，波传播距离为
s＝nλ＋λ＝(8n＋5)m (n＝0，1，2…)
波速为v＝＝
m/s＝(16n＋10)m/s (n＝0，1，2…)．
(2)若波速大小为74
m/s，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝v·Δt＝74×0.5
m＝37
m．
因为37
m＝4λ＋λ，所以波向左传播．
3．在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4
m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像．已知该波波长大于2
m，求这列波可能的波速．
【解析】由振动图像得质点振动周期T＝0.4
s，
若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间
Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝vΔt＝Δt＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)，
则波长为λ＝＝
m，
因为λ＞2
m，所以n＝0，1
当n＝0时，λ1＝
m，v1＝＝
m/s，
当n＝1时，λ2＝
m，v2＝＝
m/s．
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间
Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)，
则波长为λ＝＝
m
因为λ＞2
m，所以n＝0，1
当n＝0时，λ1＝16
m，v1＝40
m/s，
当n＝1时，λ2＝
m，v2＝8
m/s．
4．如图甲所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，已知x＝1
m处的质点做简谐运动的图像如图乙所示．
(1)写出x＝1
m处的质点做简谐运动的函数关系式；
(2)从t＝0开始经过多长时间质点P开始振动？求出在0～20
s内质点P运动的路程．
【答案】
(1)y＝2sincm (2)6
s 28
cm
【解析】(1)由题图乙可知，振幅A＝2
cm，质点做简谐运动的周期为T＝4
s
x＝1
m处的质点做简谐运动的函数关系式为
y＝2sincm．
(2)波运动的周期为T＝4
s
由题图甲可知波长λ＝2
m
波速v＝＝0.5
m/s
由题图甲可知x＝2
m处的质点在t＝0时刚好开始沿
y轴负方向振动，设P点再过时间Δt开始振动，
则Δt＝＝6
s
即从t＝0开始经过6
s时间质点P开始振动
由简谐运动的对称性可知，质点在任意一个全振动过程中的路程s0＝4A＝8
cm
P点开始振动后，14
s内经历了3.5次全振动
所以在0～20
s内质点P运动的路程为s＝3.5s0＝28
cm．
5．一列沿x轴正方向传播的横波，在t＝0时刻的波形如图甲所示．图甲中某质点的振动图像如图乙所示．
(1)求该波的波速；
(2)求图甲中的质点L从图示位置到达波峰的时间；
(3)写出t＝0开始计时x＝2
m处的振动方程．
【答案】
(1)0.5
m/s (2)(4n＋1)s
(n＝0，1，2，…)(3)y＝－0.8sin
πt
【解析】(1)根据题图甲可知，波长λ＝2
m，根据图乙振动图像可得周期T＝4
s，
该波的波速v＝＝0.5
m/s．
(2)根据波的传播方向沿x轴正向，判断质点L从平衡位置沿y轴正向运动，经过t＝T＝(4n＋1)s
(n＝0，1，2，…)运动到波峰．
(3)t＝0时，x＝2
m处的质点正在平衡位置向y轴负方向振动，初相位为π，根据图乙判断振动周期T＝4
s，振幅A＝0.8
m，则振动方程为y＝Asin＝－0.8sin
πt．
【拔高】
1．(多选)下列说法正确的是(
)
A．受迫振动的频率总等于振动系统的固有频率
B．波长越长的电磁波越容易发生衍射
C．利用超声波的多普勒效应，可测量心脏血液的流速
D．宇航员在相对地面高速运动的飞船里观测到地面上的钟走得较快
【答案】
BC
【解析】受迫振动的频率总等于驱动力的频率，故A错误；波长越长的电磁波，越容易发生衍射，故B正确；多普勒效应是波特有的现象，医生利用超声波的多普勒效应可以测量心脏血液的流速，故C正确；根据钟慢效应，宇宙飞船相对于地面高速运动的过程中，飞船上的人观察飞船是不运动的，而地面是高速运动的，所以在飞船上观测到飞船上的时钟没有变慢，而地面上的钟变慢了，故D错误．
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．在振动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离叫做波长
B.
“只闻其声不见其人”的现象，是由波的干涉产生的
C．光纤通信是利用了全反射的原理
D．简谐运动表达式x＝Asin(ωt＋φ)中，A表示振动的振幅，(ωt＋φ)表示相位
E．单摆摆动过程中摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向悬点
【答案】
ACD
【解析】根据波长的定义可知，在振动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离叫做波长，故A正确.
“只闻其声不见其人”的现象，是因为声波的波长比较长，产生的声波衍射现象，故B错误．光纤通信是利用了全反射的原理，故C正确．简谐运动表达式x＝Asin(ωt＋φ)中，A表示振动的振幅，(ωt＋φ)表示相位，故D正确．单摆摆动过程中摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置，故E错误．
3．(多选)一列简谐横波沿x轴正向传播，振幅为4
cm，周期为T＝6
s．已知在t＝0时刻，质点a坐标为(5
cm，－2
cm)，沿y轴正向运动，质点b坐标为(15
cm,2
cm)，沿y轴负向运动，如图所示，下列说法正确的是( )
A．该列简谐横波波长可能为4cm
B．该列简谐横波波长可能为10cm
C．在t=0.5s时刻质点a的位移为0
D．a、b两质点可以同时在波峰
E．当质点b在波谷时，质点a一定在波峰
【答案】
ACE
【解析】由ab两质点的位置关系可知，ab相距半波长的奇数倍，即，解得（n=0，1，2，3…..），当n=2时，λ=4cm；不可能等于10cm，选项A正确，B错误；设质点a的振动方程：x=Asin（ωt+φ），其中t=0时x=-2cm，且，解得，则质点a的振动方程，当t=0.5s时，x=0，选项C正确；因a、b相距半波长的奇数倍，振动情况总相反，可知a、b两质点不可以同时在波峰；当质点b在波谷时，质点a一定在波峰，选项D错误，E正确；故选ACE.
4．(多选)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中相向传播并相遇，在t＝0时刻两列波的位置如图所示．若两列波的周期分别为T甲和T乙，则( )
A．这两列波相遇时能产生干涉现象
B．这两列波将同时到达坐标原点
C．在t＝T乙时刻，x＝0.1
m处质点受到的回复力为零
D．在t＝2T甲时刻，x＝0.1
m处质点的位移为零
【答案】
BD
5．(多选)如图所示是两个理想单摆的振动图象，纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移，以向右为正方向．下列说法中正确的是( )
A．同一摆球在运动过程中前后两次经过轨迹上的同一点，加速度是相同的
B．甲、乙两个摆的频率之比为1∶2
C．甲、乙两个摆的摆长之比为1∶2
D．从t＝0时起，乙第一次到达左方最大位移处时，甲位于平衡位置，速度方向向左
E．t＝2
s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
【答案】
ADE
【解析】对于同一个摆球，由回复力方程F＝－kx知，在运动过程中前后两次经过轨迹上的同一点，加速度是相同的，故A对．根据振动图象知，甲、乙两个单摆的周期分别为T甲＝4
s，T乙＝8
s；由此得＝＝，故B错误；由单摆的周期公式T＝2π得单摆的摆长之比L甲∶L乙＝T∶T＝1∶4，故C错误；从t＝0时起，乙第一次到达左方最大位移处时，位移为负，结合题图可知，此时t＝6
s，甲位于平衡位置，速度方向向左，故D正确；t＝2
s时，甲摆处于最低点，故重力势能最小，乙摆处于最大位移处，故动能为零，E正确．
6．(多选)如图甲为一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，P是平衡位置在x＝1.0
m处的质点，Q是平衡位置在x＝4.0
m处的质点，图乙为质点Q的振动图象，则下列说法正确的是( )
A．这列波的波长是8
m，周期是0.2
s，振幅是10
cm
B．在t＝0时，质点Q向y轴负方向运动
C．从t＝0.1
s到t＝0.25
s，该波沿x轴正方向传播了6
m
D．从t＝0.1
s到t＝0.25
s，质点P通过的路程为30
cm
E．质点Q简谐运动的表达式为y＝0.10sin
(10πt)
m
【答案】
ACE
【解析】由题图知，这列波的波长是8
m，周期是0.2
s，振幅是10
cm，选项A正确；由质点Q的振动图象可知，在t＝0时，质点Q向y轴正方向运动，可知波向x轴正方向传播，选项B错误；波速v＝＝
m/s＝40
m/s，从t＝0.1
s到t＝0.25
s，该波沿x轴正方向传播了x＝vΔt＝40×0.15
m＝6
m，选项C正确；从t＝0.1
s到t＝0.25
s经历了0.15
s＝T，但是因质点P在t＝0.1
s时不是从平衡位置或者最大位移处开始振动，则质点P通过的路程不等于3A＝30
cm，选项D错误；ω＝＝10π
rad/s，则质点Q简谐运动的表达式为y＝0.10sin
(10πt)
m，选项E正确．
7．(2019·全国卷Ⅱ·34)某同学利用图所示装置测量某种单色光的波长．实验时，接通电源使光源正常发光；调整光路，使得从目镜中可以观察到干涉条纹．回答下列问题：
(1)若想增加从目镜中观察到的条纹个数，该同学可________．
A．将单缝向双缝靠近
B．将屏向靠近双缝的方向移动
C．将屏向远离双缝的方向移动
D．使用间距更小的双缝
(2)若双缝的间距为d，屏与双缝间的距离为l，测得第1条暗条纹到第n条暗条纹之间的距离为Δx，则单色光的波长λ＝________.
(3)某次测量时，选用的双缝的间距为0.300
mm，测得屏与双缝间的距离为1.20
m，第1条暗条纹到第4条暗条纹之间的距离为7.56
mm.则所测单色光的波长为______
nm(结果保留3位有效数字)．
【答案】
(1)B (2) (3)630
【解析】(1)若想增加从目镜中观察到的条纹个数，需要减小条纹间距，由公式Δx＝λ可知，需要减小双缝到屏的距离l或增大双缝间的距离d，故B项正确，A、C、D项错误．
(2)由题意可知，＝λ，解得λ＝.
(3)将已知条件代入公式解得λ＝630
nm.
8．一列沿x轴方向传播的横波，如图7所示的实线和虚线分别为t1＝0时与t2＝1
s时的波形图象．求：
(1)如果该横波的传播速度为v＝75
m/s时，分析该波的传播方向；
(2)如果该横波沿x轴的正方向传播，虚线上x＝2
m的质点到达平衡位置时波传播的最短距离是多少，相对应的时间应为多长．
【答案】
(1)
沿x轴的正方向 (2)1
m
s(n＝0,1,2…)
【解析】 (1)由题图可知，波长λ＝8
m
如果沿x轴的正方向传播，则Δt＝1
s的时间内，该波传播的距离为
Δs＝(nλ＋3)
m＝(8n＋3)
m(n＝0,1,2…)
若波速为v＝75
m/s，则1
s的时间内波传播的距离为s＝vΔt＝75×1
m＝75
m
则(8n＋3)＝75，解得n＝9
显然波可能沿x轴的正方向传播
如果沿x轴的负方向传播，则Δt＝1
s的时间内，该波传播的距离为
Δs＝(nλ＋5)
m＝(8n＋5)
m(n＝0,1,2…)
若波速为v＝75
m/s，则1
s的时间内波传播的距离为s＝vΔt＝75×1
m＝75
m
则(8n＋5)＝75，解得n＝
由于n必须为整数，所以波不可能沿x轴的负方向传播
由以上可知，当波的速度为v＝75
m/s时，波的传播方向一定沿x轴的正方向
(2)由题图可知：虚线上x＝2
m的质点到达平衡位置，波应沿x轴的正方向传播最短距离为Δx＝1
m，
当波沿x轴正方向传播时，0～1
s的时间内传播的距离：Δs＝(nλ＋3)
m＝(8n＋3)
m(n＝0,1,2…)
而v＝＝(8n＋3)
m/s(n＝0,1,2…)
则所用的时间应为t＝＝
s(n＝0,1,2…)．
9．(1)“在探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两则分别放置一激光光源与光敏电阻，如图a所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图b所示，则该单摆的振动周期为________，若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”、“不变”或“变小”)，图b中的Δt将________(填
“变大”、“不变”或“变小”)．
【答案】 (1)乙 (2)2t0 变大 变大
【解析】 (1)略．(2)小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从t1时刻开始，再经两次挡光完成一个周期，故T＝2t0；摆长为摆线长加小球半径，当小球直径变大，则摆长增加，由周期公式T＝2π可知，周期变大；当小球直径变大，挡光时间增加，即Δt变大．
10．一列简谐横波沿x轴正向传播，传到M点时波形如图2所示，再经0.6
s，N点开始振动，则该波的振幅A和频率f为( )．
A．A＝1
m f＝5
Hz
B．A＝0.5
m f＝5
Hz
C．A＝1
m f＝2.5
Hz
D．A＝0.5
m f＝2.5
Hz
【答案】 D
【解析】 由题干图可知振幅A＝0.5
m．波从M传到N的过程，波速v＝＝
m/s＝10
m/s.由图可知λ＝4
m，所以T＝＝0.4
s，f＝＝2.5
Hz.D正确．
11．如图所示为一列在均匀介质中沿x轴正方向传播的简谐横波在某时刻的波形图，波速为4
m/s.图中“A、B、C、D、E、F、G、H”各质点中( )．
A．沿y轴正方向速率最大的质点是D
B．沿y轴正方向加速度最大的质点是B
C．经过Δt＝0.5
s质点D将向右移动2
m
D．经过Δt＝2.5
s，质点D的位移是0.2
m
【答案】 A
【解析】 在平衡位置的质点速率最大，又从传播方向可以判断，质点D向上振动，质点H向下振动，所以A项正确；在最大位移处的质点加速度最大，加速度的方向与位移方向相反，B质点的加速度方向向下，B项错误；质点只能在平衡位置两侧上下振动，并不随波迁移，C项错误；波传播的周期T＝＝1
s，经过Δt＝2.5
s＝2.5T，质点D仍位于平衡位置，所以位移为0，D项错误．
12．(多选)一列简谐横波在某一时刻的波形图如图4甲所示，图中P、Q两质点的横坐标分别为x＝1.5
m和x＝4.5
m．P点的振动图象如图4乙所示．在下列四幅图中，Q点的振动图象可能是( )．
甲
乙
【答案】 BC
【解析】 该波的波长为4
m，P、Q两点间的距离为3
m．当波沿x轴正方向传播时，P在平衡位置向上振动，而Q点此时应处于波峰，B正确；当波沿x轴负方向传播时，P点处于平衡位置向下振动，而此时Q点应处于波谷，C正确．
13．(多选)质点O振动形成的简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻的波形图如图5甲所示，当波传到x＝3
m处的质点P时开始计时，质点P的振动图象如图乙所示，则( )．
A．该波的频率为25
Hz
B．该波的传播速度为2
m/s
C．质点O开始振动时沿y轴正方向
D．从t时刻起，经过0.015
s，质点P将回到平衡位置
【答案】 AD
【解析】 根据题图可知，该波的波长λ＝8
m，周期T＝0.04
s，所以波速v＝λ/T＝200
m/s，频率f＝1/T＝25
Hz，选项A正确，B错误；根据甲图，t时刻机械波刚好传播到x＝8
m处的质点，已知机械波沿x轴正方向传播，该质点的起振方向为y轴负方向，这与波源的起振方向相同，所以质点O开始振动时沿y轴负方向，也可利用乙图看出质点P的起振方向沿y轴负方向，选项C错误；经过0.015
s波传播的距离为x＝200×0.015
m＝3
m，从t时刻起经过0.015
s质点P左侧距离质点P
3
m远的质点O的振动情况传到P点，即P点回到平衡位置，选项D正确．
14．一列简谐横波以v＝24
m/s的速度水平向右传播，在t1、t2两时刻的波形分别如图6中实线和虚线所示，图中两波峰处质点A、B的平衡位置相距7
m，质点的振动周期为T，且3T<(t2－t1)<4T，在(t2－t1)时间内波向右传播的距离为25
m，则这列波的波长为________
m，这列波中各质点振动周期T＝________
s.
【答案】 6 0.25
【解析】 由题意知3λ＋7
m＝25
m，解得波长λ＝6
m，由λ＝vT得这列波中各质点的振动周期T＝λ/v＝0.25
s.
15．如图所示，图甲为一列沿水平方向传播的简谐横波在t＝0时的波形图，图乙是这列波中质点P的振动图线，那么：
甲
乙
(1)该波的传播速度为________m/s；
(2)该波的传播方向为________(填“向左”或“向右”)；
(3)图甲中Q点(坐标为x＝2.25
m处的点)的振动方程为：y＝________cm.
【答案】 (1)0.5 (2)向左 (3)0.2cos
(πt)
【解析】 (1)波的周期T＝2
s，波长λ＝1
m，
波速v＝＝0.5
m/s.
(2)P点向上运动，不难判断波是向左传播．
(3)Q点此时从最大位移开始向平衡位置运动，振动图象是一条余弦曲线，A＝0.2cm，ω＝＝π，Q点的振动方程为y＝0.2cos
(πt)．
16．一列简谐横波由质点A向质点B传播．已知A、B两点相距4
m，这列波的波长大于2
m而小于20
m．图表示在波的传播过程中A、B两质点的振动图象．求波的传播速度．
【答案】
m/s或
m/s
【解析】 由振动图象读出T＝0.4
s，分析图象可知：t＝0时，质点A位于y轴正方向最大位移处，而质点B则经过平衡位置向y轴负方向运动．所以A、B间距4＝λ，则λ＝
m，其中n＝0,1,2…
因为这列波的波长大于2
m而小于20
m
所以n有0、1两个可能的取值，即：λ1＝
m，λ2＝
m
因v＝λ/T，所以v1＝
m/s或v2＝
m/s.
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