人教版数学八年级上册：12.3 角的平分线的性质 同步练习（2课时 Word版 附答案）

12．3　角的平分线的性质
第1课时　角的平分线的性质
40322504114801．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角的平分线上的点到角两边的距离相等
2．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹，但不写作法)．
3．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD

第3题图 第4题图
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC＝10 cm，CD＝6 cm，则DE的长为( )
A．10 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
5．如图，已知点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分别为D，E，求证：OB＝OC.
6．命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是 ，结论是 ．
7．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上， ．求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
8．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点

第8题图 第9题图
9．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( )
A．8 B．6
C．4 D．2
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为( )
A．15 B．30 C．45 D．60

第10题图 第11题图
11．如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3 cm，则AB＝ ．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．
13．证明：全等三角形对应边上的中线相等．
如图，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线．求证：AD＝A′D′.
　　
14．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易证：DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC.
第2课时　角的平分线的判定
1．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.能判定OC是∠AOB的平分线的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第1题图 　第2题图
2．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝ ．
3．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
4．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．以上均不对
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ．
6．如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
7．D，E分别是△ABC中边AB，AC上的一点，在△ABC内有一点O，使OE＝OD，则AO平分∠CAB吗？
解：AO平分∠CAB.理由如下：
∵点O到∠CAB两边的距离相等，
∴点O在∠CAB的平分线上．
∴AO平分∠CAB.
以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．
8．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定
9．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝( )
A．30° B．35° C．45° D．60°

第9题图 第10题图
10．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是 ．
11．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有 处．
12．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当点D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC？请说明理由．
411162532766014．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
参考答案：
12．3　角的平分线的性质
第1课时　角的平分线的性质
1．A
2．解：作图略．
3．B
4．C
5．证明：∵点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，
∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°.
在△BEO与△CDO中，
∴△BEO≌△CDO(ASA)．
∴OB＝OC.
6．两个三角形是全等三角形，它们对应边上的高线相等．
7．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD＝PE.
8．A
9．C
10．B
11．6cm．
12．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∴AE＝AC.
∴△DEB的周长为DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝10 cm.
13．证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
又∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，
∴BD＝BC，B′D′＝B′C′.
∴BD＝B′D′.
在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′(SAS)．
∴AD＝A′D′.
14．证明：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠F＝90°.
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB(AAS)．
∴DC＝DB.
第2课时　角的平分线的判定
1．D
2． 35°．
3．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠DFC＝90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线．
4．B
5．4∶5∶6．
6．解：图略．提示：作∠AOB的平分线，与AB的交点即为点M的位置．
7．解：不正确．以上解法忽视了OD，OE分别垂直于AB，AC的条件，故产生错误．正确的结论是“AO不一定平分∠CAB”．
8．A
9．B
10．31.5．
11．4．
12．
证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴DE＝DF，DG＝DF.
∴DE＝DG.
∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．
13．解：移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由如下：
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△DEB和△DFC中，
∴△DEB≌△DFC(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
14．
证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，
∴OB＝OE.
∵O为BD的中点，
∴OB＝OD.
∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，
∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌△Rt△AEO(HL)．
∴∠AOB＝∠AOE＝∠BOE.
同理，∠COD＝∠COE＝∠DOE.
∵∠AOC＝∠AOE＋∠COE，
∴∠AOC＝∠BOE＋∠DOE＝×180°＝90°.
∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.
∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.