函数的单调性与导数
一、教材依据
课题选自《数学》选修1-1，第三章《导数及其应用》，3.3.1《函数的单调性与导数》。人民教育出版社A版。
二、设计思想
课题的指导思想是以学生发展为核心，使其学会学习、乐于学习。理念是关注学生的学习过程，培养主动探索的精神。
本节是本章的一个重点，学好这一节可帮助学生更好地理解导数概念，并为后面的学习打好基础。学生已经掌握了本节所需的基础知识，具有一定的分析、解决问题的能力，有较强的求知欲。考虑到本节难度较大，内容多，因此分为两个课时进行，这是第一课时。
三、教学目标
1、知识与能力
了解函数的单调性与导数的关系。
会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次。
培养学生观察、分析、类比、归纳、利用信息技术研究问题的能力。
2、过程与方法
通过本节课让学生学会探究问题的方法；感受从感性到理性的思维过程，体会从特殊到一般的认知事物的方法。
3、情感、态度与价值观
引导学生经历知识的发展过程，激发学习热情，体验成功乐趣。
培养学生大胆尝试、勇于创新的精神，发展合作交流意识，树立严谨治学的态度。
四、教学重点
利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
五、教学难点
利用导数研究函数的单调性。
六、教学过程
1、创设情境，引入课题
师：我们已经学习了函数的单调性，请同学们回忆一下判断单调性有哪些方法？
生：定义法、图象法。
师：还有其他方法吗？
生疑惑，师由此引出课题：今天我们就用刚刚学过的导数知识来研究函数的单调性。
设计意图
通过熟悉的知识引入，让学生在轻松愉快的氛围中接受新知识。
2、观察思考，探讨新知
师：如图3.3-1，（1）表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象．
请同学们利用课件，结合导数的定义、几何意义探索函数的单调性与导函数有什么关系？
学生开始积极探索。教师与学生交流，观察各小组进展。
设计意图
在高台跳水这个熟悉的情境中培养学生的探索能力、创新精神。通过生生、师生交流等方式让学生探索知识。
给学生一定的时间观察、发现、交流，教师提问学生代表发言（具体发言略）。最后得出结论：
（1）时，是增函数，相应地，。
（2）时，是减函数，相应地，。
3、设问激疑，实例归纳
问题
这种情况是否具有一般性呢？
师：请同学们观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系。
学生只需类比前面的探究过程就可验证一般性，并归纳出结论。
师提问学生回答探讨结果（过程略）。
设计意图
让学生通过大量实例，在观察、探讨的基础上归纳出函数的单调性与其导函数正负之间的关系。这个问题符合学生的思维习惯，能激发学生积极思考。
4、自主阅读，主动建构
师：下面请大家阅读课本图3.3-2下面的两个自然段,看有没有不明白的地方。
生阅读，师指导。
如图3.3-3，导数表示函数在点处切线的斜率．
图3.3-3
在处，，切线是“左下右上”式的，这时函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时函数在附近单调递减．
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
设计意图
这是对一般情况的归纳总结。通过前面的学习，学生不存在理解上的障碍，能够水到渠成地接受课本的结论，主动建构知识。此环节学生自主完成。
5、提出问题、启迪思维
问题
如果在某个区间内恒有(x)=0，那么函数有什么特性？
生：在这个区间上是常数函数。
问题
请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间内函数的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系。
生：某个区间内函数的平均变化率的几何意义是经过
（，），（，）两点直线的斜率，斜率与导数同号。
设计意图
锻炼学生用已有知识解决问题的能力。
6、尝试练习、深化理解
例1
已知导函数的下列信息：
当时，；当，或时，；
当，或时，，试画出函数图象的大致形状。
师：请同学们独立完成此题（学生板书）。
师：因为这里要画的是大致形状，所以在每段中，图象可能向“内”弯曲，向“外”弯曲，也可能是直线，也可以上下平移。图象不唯一。
师：请大家观察，、，这两点有什么特点？
生：它们的函数值分别是附近所有点中最小的和最大的，并且它们都满足。
师：因为这两点比较特殊，所以我们称它们为“临界点”。以后我们还要学习它们的性质（蕴含极值的概念）。
设计意图
此题是开放性题目，答案不惟一，可以体现思维的创新性。
7、典型例题、提升能力
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）；
（2）
师：现在请同学们考虑本节开头提出的问题，如何利用导数求函数的单调区间呢？
生：令求单增区间，令求单减区间。
同学们表示认同，明确了解法，并很快完成了这两个小题（过程略）。
师：如果不用导数法，直接运用单调性的定义应该如何求解呢？
生演算（过程略）。
设计意图
让学生用两种方法解题是为了使其深刻体会导数法的优越性。
为了对结论提供直观支持，用几何画板画出图象（下图）验证。
设计意图
锻炼利用信息技术研究问题的能力，渗透数形结合思想。
（3）；
（4）
师：请大家完成（3）、（4）小题。完成后参照课本完善步骤。
解答过程略。
用几何画板画出图象（下图）验证结论。
设计意图
整个过程学生自主完成，教师适时指导，体现了学生的主体地位。
8、课堂小结
师：回顾这节课你学会了哪些知识，哪些解决问题的方法？还有哪些收获？哪位同学愿意谈谈感受？
学生主动回答（过程略）。
设计意图
鼓励学生积极发言，归纳概括所学知识。
9、作业设计
必做：课本习题3.3
A组1、2（较为基础）
选做：课本习题3.3
B组（较难）
设计意图
因材施教，满足不同层次学生的发展需求。
七、教学反思
本节课采用探究式教学，为学生探索知识提供空间，为学生参与课堂提供动力，突出体现学生的主体地位，使其主动发现、主动发展，能够激发兴趣，帮助学生突破难点，理解数学本质。较多的问题设计能够引导学生思考，提高逻辑思维能力。整个课堂让学生经历“发现问题—解决问题—应用问题”的过程，符合其认知规律，能够有效提高其数学思维能力。不足之处在于部分教学环节学生有多种多样的答案或者想法，由于时间限制，无法将其一一展现，只能找有代表性的同学发言，如果条件允许可鼓励更多学生发言。
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1(共17张PPT)
函数的单调性与导数
探讨新知
如图3.3-1
，（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)的图象，（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=
h?(t)的图象．
探讨新知
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
问题
这种情况是否具有一般性呢？
请同学们观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如图，导数f?(x0)表示函数f(x)在
点（x0,y0）处切线的斜率．
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a,b)内，如果f?(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f?(x)<0
，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．
思考
如果在某个区间内恒有f?(x)=0
，那么函数f（x）有什么特性？
思考
请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系.
例题
例1
已知导函数f?(x)的下列信息：
当1f?(x)>0
；
当x>4，或x<1时，f?(x)<0
；
当x=4，或x=1时
，
f?(x)=0,
试画出函数
f(x)图象的大致形状.
例题
例2
判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
课堂小结
回顾这节课你学会了哪些知识，哪些解决问题的方法？还有哪些收获？
作业
必做：
课本98页习题3.3
A.1,2
选作：
课本99页习题3.3
B.1
谢谢观看！例1
已知导函数的下列信息：
当时，；当，或时，；
当，或时，，试画出函数图象的大致形状。
设计意图
此题是开放性题目，答案不惟一，可以体现思维的创新性。
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）；
（2）
设计意图
让学生用两种方法解题是为了使其深刻体会导数法的优越性。
为了对结论提供直观支持，用几何画板画出图象（下图）验证。
设计意图
锻炼利用信息技术研究问题的能力，渗透数形结合思想。
（3）；
（4）
用几何画板画出图象（下图）验证结论。
设计意图
整个过程学生自主完成，教师适时指导，体现了学生的主体地位。
(4)
