4.4.2 探索三角形相似的条件课件(共21张PPT)

4.4.2 探究三角形相似的条件
第四章
图形的相似
2020年秋季北师大版九年级上册
相似三角形
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
∵△ ABC ∽ △A1B1C1
A
B
C
A1
B1
C1
一、知识回顾
∴∠A=∠A1, ∠B=∠B2 ,∠C=∠C3
两角分别相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相似三角形的判定定理：
一、知识回顾
问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗?
3
3
5
5
不相似
问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
二、探究新知
①任意画△ABC;
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且
③量出B′C′及BC的长，计算 的值，并比较是否三边都对应成比例？
④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？∠C′=∠C吗？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？
我发现这两个三角形是相似的
画一画
猜想：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A= ∠A′，
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∠ADE= ∠B′, ∠A ′ ED= ∠C′
∴△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A= ∠A′，
求证：△A′B′C′∽△ABC.
两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
如果△ABC与△A'B'C'两边成比例，且其中一边
所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？
知识拓展
3
3
C
C
60°
)
4
A
B
)
C′
1.5
B′
2
60°
A′
判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
探究相似三角形的条件
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'，
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
1.如图，根据条件证明图中两个三角形相似．
证明：∵∠A＝∠D＝70°


∴
∴△ABC∽△DEF
三、典例讲解
解：∵AE=1.5，AC=2，
∴
∵ ∴
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
∴ ∴BC=3. ∴DE=
2.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.
A
C
B
E
D
三、典例讲解
3.如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 　　　　　　　求证：∠ACB=90°．
A
B
C
D
解： ∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ABC∽△DEF.
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
三、典例讲解
1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC D. AB2=BD·BC
D
A
B
C
D
四、课堂练习
2.如图，AE与BD交于点C，根据所给条件求证：图中两个三角形相似．
证明：∵∠ACB＝∠ECD
∴
∴△ABC∽△EDC


3.如图，根据所给条件证明图中两个三角形相
证明：∵∠A＝∠A，
，

∴
∴△ADE∽△ABC
四、课堂练习
4.已知在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠ A=∠A′= 90°，AB=6cm，AC=4.8cm，A′B′=5cm，A′C′=3cm.
求证：△A′B′C′∽△ABC.
证明：
∠A=∠A′= 90°，
∴△ABC∽△ A′B′C′.
四、课堂练习
5.如图，点D在AB上，如果AC2＝AD·AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？为什么？
解：相似．
理由如下：∵ AC2＝AD·AB
∴
又 ∵∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABC
四、课堂练习
6．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点．
求证：△ABC∽△FED.
证明：
∵D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴DE，DF，EF分别是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，DF＝ AC，EF＝ AB，
∴
∴△ABC∽△FED.
四、课堂练习
7.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A=90°，
∠ACE+∠A= 90°.
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，
∴△ ABD ∽ △ ACE.
∴
∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ADE ∽ △ ABC.
A
B
D
C
E
O
五、课堂小结
判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'，
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
六、布置作业
课本P88 习题4.4 第1，2，3，4题
谢谢