4.4.1 探索三角形相似的条件课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
4.4.1 探究三角形相似的条件
第四章
图形的相似
2020年秋季北师大版九年级上册
相似多边形
定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
六边形ABCDEF ∽六边形A1B1C1D1E1F1
一、知识回顾
思考：什么叫相似三角形呢？
对应角—相等
一、知识回顾
对应边—成比例
全等是一种特殊的相似
相似三角形
定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
三角形ABC ∽三角形A1B1C1
二、探究新知
A
B
C
A1
B1
C1
思考：两个三角形至少满足什么条件就相似呢？类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个相似的条件？
A
B
C
A1
B1
C1
二、探究新知
判定方法 全等三角形
相似三角形
角边角
ASA
角角边
AAS
边边边
SSS
边角边
SAS
HL
三角形全等的性质和判定方法有哪些？
需要三个等量条件
思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？
直角边、斜边
二、探究新知
思考：如果两个三角形只有一个角相等，它们相似吗？
A
B
C
A1
B1
C1
不一定
那如果两个三角形有两个角相等，它们相似吗？
60°
60°
二、探究新知
操作：画△ABC，使∠A=30°,∠B=45 °,再画△A′B′C′，使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三角形形状相同吗？
A
B
C
A′
B′
C′
请问∠C=∠C′吗？量出这两个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由此你可以得出什么结论？
这两三角形是相似的
猜想：两角分别相等的两个三角形相似.
二、探究新知
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B’
A’
D
E
C’
B
A
C
证明：两角分别相等的两个三角形相似
证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分
别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE.
∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，
∴△A′DE≌△ABC,
∴∠A′DE=∠B，
又∵∠B′=∠B，
∴∠A′DE=∠B′，
∴DE∥B′C′，
B’
A’
D
E
C’
B
A
C
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
过D连接DF// A′C′
∵ DF// A′C′ ,DE∥B′C′
∴四边形EDFC′是平行四边形
∴DE=FC′，
∵
∴△A′DE∽△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
F
两角分别相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相似三角形的判定定理：
注意：对应点写在对应的位置.
1.如图，在 △ABC和△ DEF中， ∠A=40°，∠B=80°， ∠E=80°， ∠F=60°。那么△ ABC与△ DEF_______（“相似”或“不相似”）.
？
A
C
B
40°
80°
F
E
D
80°
60°
相似
三、典例讲解
2.下列说法中正确的是(　　)
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．所有的直角三角形相似
C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
D．所有的等腰三角形相似
C
3.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
解：∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴
∴BC=14.
B
A
D
E
C
三、典例讲解
4.如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB.
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
（两角分别相等的两个三角形相似．）
三、典例讲解
5.已知：如图，∠1=∠2=∠3，
求证：△ABC∽△ADE．
证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，
∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE.
又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
在△ABC和△ ADE中 ∠BAC=∠DAE，∠C= ∠E
∴ △ABC∽△ADE.
三、典例讲解
1.下列各组图形一定相似的是(　　)
A．两个钝角三角形B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形
D．有一个角是对顶角的两个三角形
四、课堂练习
C
2.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(　　)
A．一定不相似B.不一定相似C．一定相似 D.不能确定
C
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是(　　)
A．△DBE　
B．△ADE
C．△ABD　
D．△BDC
四、课堂练习
D
四、课堂练习
4.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80 °, ∠E=80 ° , ∠F=60 ° .
求证：△ABC∽△DEF.
A
F
E
C
B
D
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=40° ，∠B=80° ，
∴ ∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-80°=60°.
∵ 在ΔDEF中，∠E=80 °，∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC∽△DEF（两角对应相等，两三角形相似）.
5.如图，CD是Rt△ABC的高，∠ACB＝90°.
求证：△ACD∽△CBD.
证明：∵∠A＋∠ACD＝90°，
∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD
又∵CD是Rt△ABC的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°
∴△ACD∽△CBD.
四、课堂练习
6.如图，在等边三角形ABC中，边长为10，点D在BC上，BD=6，∠ADE=60°，DE交AC于E.
（1）求证：△ABD∽△DCE.
（2）求CE的长
∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE.
解(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，∴∠ADB+∠BAD=120°，
又∠ADE=60°，∴∠ADB+∠CDE=120°，
四、课堂练习
6
10
4
解：∵ABD∽△DCE，
∴CE=2.4.
6.如图，在等边三角形ABC中，边长为10，点D在BC上，BD=6，∠ADE=60°，DE交AC于E.
（2）求CE的长
四、课堂练习
五、课堂小结
对应角相等， 对应边成比例的两个三角形, 叫做相似三角形。
∵∠A =∠D,∠B =∠E,,
两角对应相等的两个三角形相似
2.性质：∵△ABC∽△DEF
∴△ ABC∽ △DEF,
1. 定义
3.判定定理
∴∠A =∠D,∠B =∠E,,
A
B
C
D
E
A
D
E
B
C
E
D
C
B
A
相似三角形的类型
“A”型
“A”型
“x”型
A
B
C
D
E
A
B
C
D
D
A
E
B
C
“共角”型
“共角共边”型
“蝴蝶”型
六、布置作业
课本P90 习题4.5 第1，2，3，4题
谢谢