2020年人教版八年级上数学14.3.1 提公因式法课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
14.3.1
提公因式法
葫芦岛第六初级中学
最基本方法————提公因式法
1.填空：
(1)
m(a+b+c)=
；
(2)
(x+1)(x-1)=
；
(3)
(a+b)2
=
.
ma+mb+mc
x2
-1
a2
+2ab+b2
2.填空：
(1)
ma+mb+mc=(
)(
)
(2)
x2
-1
=(
)(
)
(3)
a2
+2ab+b2
=(
)2
m
a+b+c
x+1
x-1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式.
比一比，这些式子有什么共同点？
因式分解
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1
(x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1
=
(x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
解题技巧：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
例1
【练习】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有
（填序号），不是的请说明理由.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c；
24x2y=3x
·8xy；
x2-1=(x+1)(x-1)；
(2x+1)2=4x2+4x+1；
x2+x=x2(1+
)；
2x+4y+6z=2(x+2y+3z).
最后不是积的运算.
因式分解的对象是多项式.
是整式乘法.
每个因式必须是整式.
pa+pb+pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
相同因式p
问题1：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x
相同因式x
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
(
a+b+c
)
pa+
pb
+pc
p
=
找3x
2
–
6
xy
的公因式.
系数：最大公约数
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是3x.
指数：相同字母的最低次数
1
问题2：如何确定一个多项式的公因式？
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，
即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最
大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同
字母.
★找多项式公因式的基本步骤
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1)
3x+6y；
(2)ab-2ac；
(3)
a2
-
a3；
(4)4(m+n)
2
+2(m+n)；
(5)9m2n-6mn；
(6)-6x2y-8xy2.
(1)
8a3b2
+
12ab3c；
把下列各式分解因式：
分析：提公因式法基本步骤（分两步）：
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的
乘积.
(2)
2a(b+c)
-
3(b+c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要且常用的思想方法.
例2
解：（1）
8a3b2
+
12ab3c
=4ab2
·2a2+4ab2
·3bc
=4ab2(2a2+3bc).
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c，
它还有公因式b.
（2）
2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
【练习】因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).
(2)原式＝(2a－3)(b＋c).
（1）12x2y+18xy2=3xy(4x
+
6y)；
解：（1）错误，公因式没有提尽，还可以提出公因式2.正解：原式=6xy(2x+3y).
【易错】下面的因式分解正确吗？如果有错，错
在哪里？怎样改正？
（2）3x2
-
6xy+x
=x(3x-6y)；
（3）-
x2+xy-xz=
-
x(x+y-z).
（2）错误，提公因式后漏项1.正解：原式=
3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1).
（3）错误，提出负号后括号里的项没变号.
正解：原式=
-
(x2-xy+xz)=-
x(x-y+z).
计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.18＋72×20.18＋13×20.18－20.18×14.
(2)原式＝20.18×(29＋72＋13－14)＝2018.
＝13×20＝260.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
解题技巧：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例3
已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
解题技巧：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体代入计算.
例4
1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　）
A．5mn
B．5m2n2
C．5m2n
D．5mn2
2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-
2）后，余下的部分是（　　）
A．x+1
B．2x
C．x+2
D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　）
A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
B
C
D
4.把下列各式分解因式：
(1)8m2n+2mn=_____________；
(2)12xyz-9x2y2=_____________；
(3)p(a2
+
b2
)-
q(a2
+
b2
)=_____________；
(4)
-x3y3-x2y2-xy=_______________；
2mn(4m+1)
3xy(4z-3xy)
(a2+b2)(p-q)
-xy(x2y2+xy+1)
(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.
(y-x)(2y-x)
5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等
于__________.
3a(x－y)2
6.简便计算：
(1)
1.992+1.99×0.01；
(2)20172+2017-20182；
(3)(-2)101+(-2)100.
(2)
原式=2017×(2017+1)-20182
=2017×2018-20182
=2018×(2017-2018)
=-2018．
解：(1)
原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98.
(3)原式=(-2)100
×(-2+1)
=2100
×(-1)=-2100.
解：(1)∵2x+y=4，xy=3，
∴2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]
=(2x+1)(2x+1-2x+1)
=2(2x+1).
7.(1)已知
2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=
.
将x=
代入上式，得
原式=4.
因式
分解
定义
ma+mb+mc=m(a+b+c)
方法
提公因式法
公式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
基本步骤（分两步）：
第一步找公因式；第二步提公因式
（下节课学习）
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号要注意变号
课堂总结