人教版九年级数学上册 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口
方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上
开口向下
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0；
有最低点（0
,
0）
当x=0时，y最大值=0；
有最高点（0
,
0）
在对称轴左侧y随x的增大而减小
在对称轴右侧y随x的增大而增大
在对称轴左侧y随x的增大而增大
在对称轴右侧y随x的增大而减小
y
O
x
y
O
x
复习回顾
y＝ax2+k
a＞0
a＜0
图象
开口
对称轴
顶点
增减性
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
y轴
（0，k）
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
顶点是最低点有最小值
顶点是最高点有最大值
复习回顾
二次函数
y=a(x-h)2(a
≠
0)的性质
y=a(x-h)2
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,0）
（h,0）
最值
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
知识要点
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系？它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么？作图看一看．
对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x?,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么？
开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.
先在同一坐标系中作出二次函数y=3(x-1)2,y=
3(x-1)2-2,会是什么样？
X=1
例题
例3.画出函数
的图像.指出它的开口
方向、顶点与对称轴、
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
…
解:
先列表
再描点画图.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解:
先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
讨论
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线
的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1,
－1).
练习
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
(1,－2)
向下
向下
(3,7)
(2,－6)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,5)
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
二次函数
y=a(x-h)2+k（a
≠
0）的性质
y=a(x-h)2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,k）
（h,k）
最值
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
知识要点
向左平移
1个单位
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
二
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
探究归纳
怎样移动抛物线
就可以得到抛物线
？
平移方法1
向下平移
1个单位
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
怎样移动抛物线
就可以得到抛物线
？
平移方法2
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x
－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
典例精析
A
例2.
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y
2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：
根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二：
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，
∴m＋n－1＝1－m，化简，得
2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
例3
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
C(3,0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴
0=a(3－1)2＋3.
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3
(0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y=
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
3
4
－
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？
对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小？二次函数y=3(x+1)2+4呢？
随堂练习
课堂小结
一般地，抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
达标检测
?
?
3.已知二次函数的图象经过点(0,3)，顶点坐标为(1,4).
?(1)
求这个二次函数的解析式；
(2)
求图象与
x
轴交点A、B两点的坐标；
(3)
图象与
y
轴交点为点
C，求三角形ABC的面积.