3.7.1 二次函数与一元二次方程（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.7.1 二次函数与一元二次方程（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-13 09:56:59 | ||
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文档简介
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第三章 二次函数
3.7 二次函数与一元二次方程
第1课时
知识梳理
知识点1 抛物线与x轴的交点
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况:
（1）b2－4ac__________0时，有两个交点
（2）b2－4ac__________0时，只有一个交点（顶点在x轴上）.
（3）b2－4ac__________0时，没有交点.
当二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有公共点时，公共点的横坐标就是当y＝_______时，自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。
知识点2 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴、y轴的交点坐标
（1）与x轴交点坐标求法:令y＝0，解一元二次方程_____________，若△≥0，则一元二次方程的根
就是抛物线与x轴公共点的___________；若△＜0，则抛物线与x轴_____________。
（2）与y轴交点坐标求法:令x＝0，则y＝c，点__________就是抛物线与y轴的交点坐标。
考点突破
考点 二次函数与一元二次方程的关系
典例1 已知抛物线y＝x2－2x－8.
（1）求证:该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
思路导析:（1）利用b2－4ac＞0来证明。
（2）先求出A，B两点及顶点C的坐标，再将坐标转化为线段的长，求出△ABP的面积。
解:（1）证明:∵对于一元二次方程x2－2x－8＝0，其判别式△＝（－2）2－4×（－8）＝36＞0，
∴方程x2－2x－8＝0有两个不相等的实数根.∴抛物线y＝x2－2x－8与x轴一定有两个交点；
（2）∵一元二次方程x2－2x－8＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，
∴｜AB｜＝｜x1－x2｜＝6.
又∵抛物线的顶点P的纵坐标为y＝＝－9，
∴S△ABP＝｜AB｜｜yp｜＝×6×9＝27.
变式1 二次函数y＝ax2＋3x－ax＋1的图象与x轴只有一个交点，求a的值及与x轴的交点坐标.
典例2 已知抛物线y＝x2－mx＋m2与抛物线y＝x2＋mx－m2在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，其中一条抛物线与x轴交于A，B两点.
（1）试判断经过A，B两点的是哪一条抛物线，并说明理由；
（2）若A，B两点到坐标原点的距离OA，OB满足，求经过A，B两点的这条抛物线的表达式.
思路导析:（1）要判断经过A，B两点的是哪一条抛物线，可通过求其△或抛物线与y轴交点的纵坐标来判断.
（2）把OA，OB用A，B两点的横坐标来表示，然后再利用根与系数的关系求出m的值.
解:（1）∵抛物线不经过坐标原点，∴m≠0.
对抛物线y＝x2－mx＋m2，∵△＝＜0，
∴抛物线y＝y＝x2－mx＋m2与x轴没有交点.
对抛物线y＝x2＋mx－m2，∵△＝＝4m2＞0，
∴抛物线y＝x2＋mx－m2经过A，B两点；
（2）设点A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程x2＋mx－m2＝0的两个实数根，
可得x1＋x2＝－m，x1·x2＝－m2。
∵点A在原点的左边，点B在原点的右边，∴AO＝－x1（x1＜0），OB＝x2（x2＞0）.
∵，∴。∴。∴。
解得m＝2或m＝0（不合题意，舍去）。经检验，m＝2是方程的根.
∴所求抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.
变式2 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c最高点的纵坐标为2，则一元二次方程ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实根 B.有两个异号实根
C.有两个相等的实根 D.没有实根
巩固提高
1.二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为（ ）
－3 B. 3 C. －6 D. 9
2.已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. k＞－ B. k≥－且k≠0 C. k≥－ D. k＞－且k≠0
3.对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是（ ）
A.它的图象与x轴有两个交点 B.方程x2－2mx＝3的两根之积为－3
C.它的图象的对称轴在y轴的右侧 D.x＜m时，y随x的增大而减小
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象永远在x轴下方的条件是（ ）
A.a＞0，b2－4ac＞0 B.a＞0，b2－4ac＜0 C.a＜0，b2－4ac＞0 D.a＜0，b2－4ac＜0
5.如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（－1，0），点B（3，0），点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点.有下列结论:①二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4a；②若－1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为－1和其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点（－1，0）程ax2－2ax＋c＝0的解为（ ）
A.x1＝－3，x2＝－1 B.x1＝1，x2＝3 C.x1＝－1，x2＝3 D.x1＝－3，x2＝1
7.若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A. b＜1且b≠0 B. b＞1 C. 0＜b＜1 D. b＜1
8.若抛物线y＝x2＋2mx＋5的顶点在x轴上，则m＝______________。
9.如图所示，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为_________。
10.已知抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点。
（1）求c的取值范围；
（2）试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由.
11.已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图所示，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.
12.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3（m是常数）。
（1）求证:不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
体验中考
1.（2019·荆门）抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.（2019·梧州）已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（ ）
A.x1＜－1＜2＜x2 B.－1＜x1＜2＜x2 C.－1＜x1＜x2＜2 D.x1＜－1＜x2＜2
3.（2019·泸州）已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A. a＜2 B. a＞－1 C.－1＜a≤2 D.－1≤a＜2
4.（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x＋a）（x＋b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax＋1）（bx＋1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A. M＝N－1或M＝N＋1 B. M＝N－1或M＝N＋2
C. M＝N或M＝N＋1 D. M＝N或M＝N－1
5.（2019·南充）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论:①若点（n，y）与（－2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2－bx＋c－m＋1＝0无实数解，那么（ ）
A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误
6.（2019·武汉）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x－1）2＋c＝b－bx的解是______________。
7.（2019·济宁）如图所示，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是____________。
8.（2019·凉山州）已知二次函数y＝x2＋x＋a的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且＝1，求a的值.
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）＞ （2）＝ （3）＜0
知识点2:（1）ax2＋bx＋c＝0 横坐标 无交点 （2）（0，c）
考点突破
1.解:∵二次函数y＝ax2＋3x－ax＋1的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝（3－a）2－4a＝0.解得a1＝1，a2＝9.当a＝1时，抛物线与x轴交点坐标为（－1，0）；
当a＝9时，抛物线与x轴交点坐标为（，0）。
2.C
巩固提高
B 2. B 3. C 4. D 5. B 6. C 7. A
± 9.
10.解:（1）c＞；
（2）经过第一、二、三象限.因为k＞0，b＝1＞0.
11.解:（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝22＋4m＞0.∴m＞－1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝－9＋6＋m.∴m＝3.
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
令x＝0，则y＝3，∴B（0，3）
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∴，解得.
∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.
∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，∴把x＝1代入y＝－x＋3得y＝2.
∴点P的坐标为（1，2）
12.解:（1）证法1:∵△＝（－2m）2－4（m2＋3）＝12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根。
∴不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴没有公共点。
证法2:∵a＝1＞0，∴该函数图象的开口向上。
又∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝（x－m）2＋3≥3，∴该函数的图象在x轴的上方。
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）y＝x2－2mx＋m2＋3＝（x－m）2＋3，把函数y＝（x－m）2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝（x－m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点。
体验中考
C 2. A 3. D 4. C 5. A
x1＝－2，x2＝5
x＜－3或x＞1
8.解:∵y＝x2＋x＋a的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，
∴x1＋x2＝－1，x1·x2＝a.
∵＝1，
∴a＝－1＋或a＝－1－.
∵△＝1－4a＞0，∴a＜.∴a＝－1－.
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第三章 二次函数
3.7 二次函数与一元二次方程
第1课时
知识梳理
知识点1 抛物线与x轴的交点
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况:
（1）b2－4ac__________0时，有两个交点
（2）b2－4ac__________0时，只有一个交点（顶点在x轴上）.
（3）b2－4ac__________0时，没有交点.
当二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有公共点时，公共点的横坐标就是当y＝_______时，自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。
知识点2 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴、y轴的交点坐标
（1）与x轴交点坐标求法:令y＝0，解一元二次方程_____________，若△≥0，则一元二次方程的根
就是抛物线与x轴公共点的___________；若△＜0，则抛物线与x轴_____________。
（2）与y轴交点坐标求法:令x＝0，则y＝c，点__________就是抛物线与y轴的交点坐标。
考点突破
考点 二次函数与一元二次方程的关系
典例1 已知抛物线y＝x2－2x－8.
（1）求证:该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
思路导析:（1）利用b2－4ac＞0来证明。
（2）先求出A，B两点及顶点C的坐标，再将坐标转化为线段的长，求出△ABP的面积。
解:（1）证明:∵对于一元二次方程x2－2x－8＝0，其判别式△＝（－2）2－4×（－8）＝36＞0，
∴方程x2－2x－8＝0有两个不相等的实数根.∴抛物线y＝x2－2x－8与x轴一定有两个交点；
（2）∵一元二次方程x2－2x－8＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，
∴｜AB｜＝｜x1－x2｜＝6.
又∵抛物线的顶点P的纵坐标为y＝＝－9，
∴S△ABP＝｜AB｜｜yp｜＝×6×9＝27.
变式1 二次函数y＝ax2＋3x－ax＋1的图象与x轴只有一个交点，求a的值及与x轴的交点坐标.
典例2 已知抛物线y＝x2－mx＋m2与抛物线y＝x2＋mx－m2在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，其中一条抛物线与x轴交于A，B两点.
（1）试判断经过A，B两点的是哪一条抛物线，并说明理由；
（2）若A，B两点到坐标原点的距离OA，OB满足，求经过A，B两点的这条抛物线的表达式.
思路导析:（1）要判断经过A，B两点的是哪一条抛物线，可通过求其△或抛物线与y轴交点的纵坐标来判断.
（2）把OA，OB用A，B两点的横坐标来表示，然后再利用根与系数的关系求出m的值.
解:（1）∵抛物线不经过坐标原点，∴m≠0.
对抛物线y＝x2－mx＋m2，∵△＝＜0，
∴抛物线y＝y＝x2－mx＋m2与x轴没有交点.
对抛物线y＝x2＋mx－m2，∵△＝＝4m2＞0，
∴抛物线y＝x2＋mx－m2经过A，B两点；
（2）设点A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程x2＋mx－m2＝0的两个实数根，
可得x1＋x2＝－m，x1·x2＝－m2。
∵点A在原点的左边，点B在原点的右边，∴AO＝－x1（x1＜0），OB＝x2（x2＞0）.
∵，∴。∴。∴。
解得m＝2或m＝0（不合题意，舍去）。经检验，m＝2是方程的根.
∴所求抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.
变式2 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c最高点的纵坐标为2，则一元二次方程ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实根 B.有两个异号实根
C.有两个相等的实根 D.没有实根
巩固提高
1.二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为（ ）
－3 B. 3 C. －6 D. 9
2.已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. k＞－ B. k≥－且k≠0 C. k≥－ D. k＞－且k≠0
3.对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是（ ）
A.它的图象与x轴有两个交点 B.方程x2－2mx＝3的两根之积为－3
C.它的图象的对称轴在y轴的右侧 D.x＜m时，y随x的增大而减小
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象永远在x轴下方的条件是（ ）
A.a＞0，b2－4ac＞0 B.a＞0，b2－4ac＜0 C.a＜0，b2－4ac＞0 D.a＜0，b2－4ac＜0
5.如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（－1，0），点B（3，0），点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点.有下列结论:①二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4a；②若－1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为－1和其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点（－1，0）程ax2－2ax＋c＝0的解为（ ）
A.x1＝－3，x2＝－1 B.x1＝1，x2＝3 C.x1＝－1，x2＝3 D.x1＝－3，x2＝1
7.若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A. b＜1且b≠0 B. b＞1 C. 0＜b＜1 D. b＜1
8.若抛物线y＝x2＋2mx＋5的顶点在x轴上，则m＝______________。
9.如图所示，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为_________。
10.已知抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点。
（1）求c的取值范围；
（2）试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由.
11.已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图所示，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.
12.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3（m是常数）。
（1）求证:不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
体验中考
1.（2019·荆门）抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.（2019·梧州）已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（ ）
A.x1＜－1＜2＜x2 B.－1＜x1＜2＜x2 C.－1＜x1＜x2＜2 D.x1＜－1＜x2＜2
3.（2019·泸州）已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A. a＜2 B. a＞－1 C.－1＜a≤2 D.－1≤a＜2
4.（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x＋a）（x＋b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax＋1）（bx＋1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A. M＝N－1或M＝N＋1 B. M＝N－1或M＝N＋2
C. M＝N或M＝N＋1 D. M＝N或M＝N－1
5.（2019·南充）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论:①若点（n，y）与（－2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2－bx＋c－m＋1＝0无实数解，那么（ ）
A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误
6.（2019·武汉）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x－1）2＋c＝b－bx的解是______________。
7.（2019·济宁）如图所示，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是____________。
8.（2019·凉山州）已知二次函数y＝x2＋x＋a的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且＝1，求a的值.
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）＞ （2）＝ （3）＜0
知识点2:（1）ax2＋bx＋c＝0 横坐标 无交点 （2）（0，c）
考点突破
1.解:∵二次函数y＝ax2＋3x－ax＋1的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝（3－a）2－4a＝0.解得a1＝1，a2＝9.当a＝1时，抛物线与x轴交点坐标为（－1，0）；
当a＝9时，抛物线与x轴交点坐标为（，0）。
2.C
巩固提高
B 2. B 3. C 4. D 5. B 6. C 7. A
± 9.
10.解:（1）c＞；
（2）经过第一、二、三象限.因为k＞0，b＝1＞0.
11.解:（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝22＋4m＞0.∴m＞－1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝－9＋6＋m.∴m＝3.
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
令x＝0，则y＝3，∴B（0，3）
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∴，解得.
∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.
∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，∴把x＝1代入y＝－x＋3得y＝2.
∴点P的坐标为（1，2）
12.解:（1）证法1:∵△＝（－2m）2－4（m2＋3）＝12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根。
∴不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴没有公共点。
证法2:∵a＝1＞0，∴该函数图象的开口向上。
又∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝（x－m）2＋3≥3，∴该函数的图象在x轴的上方。
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）y＝x2－2mx＋m2＋3＝（x－m）2＋3，把函数y＝（x－m）2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝（x－m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点。
体验中考
C 2. A 3. D 4. C 5. A
x1＝－2，x2＝5
x＜－3或x＞1
8.解:∵y＝x2＋x＋a的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，
∴x1＋x2＝－1，x1·x2＝a.
∵＝1，
∴a＝－1＋或a＝－1－.
∵△＝1－4a＞0，∴a＜.∴a＝－1－.
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