平行四边形的特征
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文档简介
第12章 平行四边形
12.1 平行四边形
1.平行四边形的特征
学习目标
1．掌握平行四边形的定义及平行四边形的特征．
2．能够灵活运用平行四边形的特征进行有关的计算．
3．了解解决平行四边形问题的基本思想、是转化为三角形来处理．
4．掌握平行线的性质即平行线之间的距离相等．
一.回顾
平行四边形是随处可见的熟悉图形，本章导图上的桌面、书面……甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形。
回忆
你能从图12.1.1所示的图形中找出平行四边形吗？
在以前的学习中，我们已经初步认识了平行四边形，知道：有
的四边形叫平行四边形。平行四边形ABCD记作 ，这是它的一个主要特征。除此之外，平行四边形还有什么特征呢？
探索
如图12.1.2，按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形。
步骤1：画两条平行线
步骤2：在两条线上分别取点A和点B，连结AB。
步骤3：沿着水平方向平移AB到DC，就得到 ABCD。
如图12.1.3，用剪刀把 ABCD从方格纸上剪下，再在一张纸上沿 ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH。则四边形EFGH和ABCD完全一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角都相等。
在 ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O。
用一枚图钉在O点穿过，将 ABCD绕点O旋转180。观察旋转后的180和纸上所画的 EFGH是否重合。
你能从中得出 ABCD的一些边角关系吗？
我们发现，旋转180之后两个平行四边形 。既平行四边形是 图形。对角线的交点O就是 。从而可以得到
AD＝ ， AB＝ ，
∠A＝ ，∠B＝ ，
由此得到平行四边形的性质：
（1） （关于边的性质）
（2） （关于角的性质）如图12.1.4 在 ABCD中用几何语言来表述上面的性质。
例1 如图12.1.4，在 ABCD中，已知∠A＝40，求其他各个内角的度数。
解：
练习：（1）在 ABCD中，若∠A+∠C＝80°,则四个角的度数是
（2）在 ABCD中，∠B－∠C＝80°,求它的四个角的度数。
例2 如图12.1.5,在 ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，求其余三条边的
长。 D C
A B
解： 12.1.5
练习：（1）如图12.1.5,在 ABCD中，AB＝8，BC＝4，则CD＝ ， ABCD的周长＝ 。
（2）如图12.1.5,在 ABCD中，周长等于24，AB＝8，则AD＝ ，
（3）如图12.1.5,在 ABCD中，已知其周长等于40cm,且AB比BC长2cm,求四边形各边长。
练习
已知在 ABCD中，∠A＝120，求其余各内角的度数。
已知在 ABCD中，AB＝5，BC＝3，求它的周长。
观察
在如图12.1.3那样的旋转过程中，你观察到OA与OC、OB与OD的关系吗？
可以发现， ABCD绕O点旋转180后，和原来的平行四边形互相重合，这说明 ABCD是一个中心对称图形，所以
OA＝ ，OB＝
即平行四边形对角线 。
例3 如图12.1.6，在 ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB
的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：
试一试
如图12.1.7，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间的垂线段的长度。
你能发现什么结论？试说明其中的道理。
（1）两平行线间的距离是指
。
（2）性质：平行线之间的距离 。
练习课本P100
在 ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等的线段。
如图，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的。你能说出理由吗？你还能在两条平行线l1、l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗？
小结与反思：
12.1 平行四边形
1.平行四边形的特征
学习目标
1．掌握平行四边形的定义及平行四边形的特征．
2．能够灵活运用平行四边形的特征进行有关的计算．
3．了解解决平行四边形问题的基本思想、是转化为三角形来处理．
4．掌握平行线的性质即平行线之间的距离相等．
一.回顾
平行四边形是随处可见的熟悉图形，本章导图上的桌面、书面……甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形。
回忆
你能从图12.1.1所示的图形中找出平行四边形吗？
在以前的学习中，我们已经初步认识了平行四边形，知道：有
的四边形叫平行四边形。平行四边形ABCD记作 ，这是它的一个主要特征。除此之外，平行四边形还有什么特征呢？
探索
如图12.1.2，按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形。
步骤1：画两条平行线
步骤2：在两条线上分别取点A和点B，连结AB。
步骤3：沿着水平方向平移AB到DC，就得到 ABCD。
如图12.1.3，用剪刀把 ABCD从方格纸上剪下，再在一张纸上沿 ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH。则四边形EFGH和ABCD完全一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角都相等。
在 ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O。
用一枚图钉在O点穿过，将 ABCD绕点O旋转180。观察旋转后的180和纸上所画的 EFGH是否重合。
你能从中得出 ABCD的一些边角关系吗？
我们发现，旋转180之后两个平行四边形 。既平行四边形是 图形。对角线的交点O就是 。从而可以得到
AD＝ ， AB＝ ，
∠A＝ ，∠B＝ ，
由此得到平行四边形的性质：
（1） （关于边的性质）
（2） （关于角的性质）如图12.1.4 在 ABCD中用几何语言来表述上面的性质。
例1 如图12.1.4，在 ABCD中，已知∠A＝40，求其他各个内角的度数。
解：
练习：（1）在 ABCD中，若∠A+∠C＝80°,则四个角的度数是
（2）在 ABCD中，∠B－∠C＝80°,求它的四个角的度数。
例2 如图12.1.5,在 ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，求其余三条边的
长。 D C
A B
解： 12.1.5
练习：（1）如图12.1.5,在 ABCD中，AB＝8，BC＝4，则CD＝ ， ABCD的周长＝ 。
（2）如图12.1.5,在 ABCD中，周长等于24，AB＝8，则AD＝ ，
（3）如图12.1.5,在 ABCD中，已知其周长等于40cm,且AB比BC长2cm,求四边形各边长。
练习
已知在 ABCD中，∠A＝120，求其余各内角的度数。
已知在 ABCD中，AB＝5，BC＝3，求它的周长。
观察
在如图12.1.3那样的旋转过程中，你观察到OA与OC、OB与OD的关系吗？
可以发现， ABCD绕O点旋转180后，和原来的平行四边形互相重合，这说明 ABCD是一个中心对称图形，所以
OA＝ ，OB＝
即平行四边形对角线 。
例3 如图12.1.6，在 ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB
的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：
试一试
如图12.1.7，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间的垂线段的长度。
你能发现什么结论？试说明其中的道理。
（1）两平行线间的距离是指
。
（2）性质：平行线之间的距离 。
练习课本P100
在 ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等的线段。
如图，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的。你能说出理由吗？你还能在两条平行线l1、l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗？
小结与反思：