《椭圆及其标准方程》测试题
判断下列命题是否正确.
（1）平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆.
（
）
（2）方程表示的曲线是椭圆.
（
）
设P是椭圆上的点，若F1，F2是椭圆上的两个焦点，则等于（
）
A.4
B.5
C.8
D.10
如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围（
）
A.
B.
C.
D.
4.
椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是______.
5.
椭圆的焦距是______，焦点坐标为______；若CD为过左焦点的弦，则△F2CD的周长为______.
6.
求符合下列条件的椭圆的标准方程：
（1），经过点，焦点在y轴；
（2）两个焦点坐标分别为，且过点；
（3）椭圆经过点，；《椭圆及其标准方程》教学设计
教学目标
知识目标
掌握椭圆的定义及其标准方程;能根据题目中的已知条件求椭圆的标准方程.
能力目标
经历公式的推导，培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.
(三)、情感目标
通过课堂活动参与，学生获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识；同时学习过程中渗透数学美，提高学生对美的感悟.
教学的重难点
重点：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程;会利用已知条件求椭圆的标准方程.
难点：椭圆标准方程的推导.
学情分析
首先，学习本节课之前，学生已经学习了直线与圆的方程，曲线与方程，对坐标法求曲线的方程及其基本步骤已经有了初步的了解。其次，经过一年多的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，为进一步探究学习打下了基础。但对于难点教师要适时加以点拨指导。
四、教学进程：
教学程序
教师行为
学生活动
设计意图
创设情境引入新知
利用PPT向学生展示天体的运行轨迹图，以及生活中有关椭圆的实物。明确本节课的学习目标，在预习的前提下，合作探究：如何画出椭圆？如何给椭圆下定义？如何得到椭圆的标准方程？如何求椭圆的标准方程？
学生观察图片，对椭圆有了直观感受，并认识到椭圆与生活息息相关，意识到学习椭圆的重要性。
通过观察图片，学生对椭圆有了直观认识，为后面椭圆的学习打下基础，同时激发学生学习椭圆的兴趣，调动学生学习的积极性。
动手操作发现新知
设计三个实验学生动手操作，亲自经历画圆、画椭圆的过程：试验一：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖画出的是什么图形？思考：在画图过程中，笔尖与定点的长度是否发生改变？实验二：取一条定长的细绳，把细绳的两端固定在两定点处(有一定距离)，当绳长大于两定点之间的距离时，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：在笔尖移动过程中，笔尖到两个定点的长度满足什么条件？试验三：在实验二的基础上改变细绳的长度，使长度分别等于、小于两定点间的距离，移动笔尖分别得到什么图形？2.利用动画演示展示画椭圆过程中数据的变化，以及不同条件下得到的图形。引导学生归纳总结出椭圆的定义，同时指出椭圆定义中的关键点。
3.给出例题，根据定义进行判断：例1：下列说法中正确的是（
）A.已知F1(-4，0),F2(4，0)，到F1、F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆.B.已知F1(-4，0),F2(4，0)，到
F1、F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.C.已知F1(-4，0),F2(4，0)，到
F1、F2两点的距离之和为12的点的轨迹是椭圆.D.已知F1(-4，0),F2(4，0)，到
F1、F2两点的距离相等的点的轨迹是椭圆.强调：椭圆定义满足两个条件：
学生以小组为单位，动手完成三个实验，并完成思考。试验一得到的是圆形，笔尖到定点的长度没有发生变化。
实验二得到的是椭圆，在画图过程中，笔尖到两个定点的长度没有发生变化，也就是绳子的长度。
学生改变绳子的长度完成实验三，等于两定点间的距离时得到的为线段，小于两定点距离时图形不存在。学生认真观察动画演示，归纳总结出椭圆的定义。学生完成练习。
学生是学习的主体，在学习过程中学生应该参与其中，亲身经历知识探究的过程。在学习椭圆定义时，从三个实验入手，环环相扣，层层深入。大胆放给学生探讨，首先提出问题使学生有感性认识，再通过分层的一步步追问，使学生上升为理性认识，这就使学生不仅知其然，更知其所以然。
从动手操作的感性认识，到动画展示中的数据变化，有助于学生理性思维的形成。变“抽象”数学为“形象”数学，将数学知识形象地展现在课堂上，使难以觉察的东西清晰地呈现在学生感觉能力可及的范围之内，达到突出重点，突破难点的效果。通过练习强化定义，加强学生对概念的理解。
师生互动探索新知
1.引导学生回顾求圆的标准方程的推导过程：建系、设坐标、列等式、代坐标、化简。类比圆的标准方程的推导过程，得出椭圆的标准方程：第一步：建系。遵循原则：使点、线尽可能多的落在坐标轴上，充分利用好图形的对称性。两种建系方案：
注：
以方案一建系，进行研究。
第二步：设坐标。M(x,y)，F1(-c,0)，F2(c,0)。
第三步：列等式。依据：第四步：代坐标。利用两点之间的距离公式得：即：第五步：化简。引导学生在化简过程中遇到根号可以平方。即：强调：为使方程得到最简形式，观察下图：
从而得到椭圆焦点在x轴上时的标准方程：
类比焦点在x轴上时椭圆的标准方程，得焦点在y轴上时椭圆的标准方程。点M(x,y)坐标不变，焦点坐标变为F1(0,-c)，F2(0,c),带入坐标得：
对比发现：x与y交换位置
进而得出焦点在y轴上时椭圆的标准方程：
学生回顾圆的标准方程的推导过程，并回答。学生选择建系方法。学生找出等式关系。学生在教师的引导下进行化简。
根据建构主义学习理论，引导学生从原有经验、知识出发，学习新知识。在推导椭圆标准方程的过程中，类比方法的引入可以避免学生因为知识点难而产生厌学情绪。在调动学生学习积极性的同时，也培养了学生的迁移能力。
培养学生举一反三的能力，完成从x轴到y轴的迁移。同时，经历椭圆标准方程的过程利于学生的记忆。
拓展升华巩固提升
1.完成表格：2.通过标准方程的对比，总结椭圆焦点的判断方法。3.课堂演练：例2：已知椭圆方程为，则a=__，
b=___，
c=___，焦点在___轴上，焦点坐标为
____________；若椭圆方程为，其焦点坐标为
____________
.例3：已知椭圆的两个焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0)，并且椭圆上的点到两焦点的距离为10，求椭圆的标准方程.例4：已知椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0），求椭圆的标准方程.3.求椭圆标准方程的方法：几何法、待定系数法4.求椭圆标准方程的步骤：（1）确定焦点的位置，设出椭圆的标准方程（2）用几何法或待定系数法确定a,b,c的值（3）写出标准方程5.当堂检测：已知椭圆的两个焦点坐标为（-2,0），（2,0），并且经过点
，求它的标准方程.
学生回顾知识点并完成表格。学生通过对比得出椭圆焦点的判断方法。学生练习。学生在练习的基础上，归纳总结求椭圆标准方程的两种方法和步骤。
做好回顾总结是十分有必要的，可以帮助学生串联起有关知识，在加深理解的基础上，拓展升华，巩固提升。通过练习，学生加深对知识点的理解。学生通过例3和例4两个题目总结归纳解题方法，学生自己解题、自己总结更有利于学生的掌握。
课堂小结
一个定义
两种方程
两种方法：几何法、待定系数法数形结合、类比的数学思想方法三个意识：合作意识、
求美意识、求简意识
学生在教师引导下进行总结。
课堂小结可以帮助学生理清知识结构，掌握知识的内在联系，构建自己的知识体系。同时，还可以培养学生的数学思维能力。
课后作业
必做：课本36页
练习1、2、3选做：课本42页
习题A组
2、5（1）
学生通过课后作业进行反思，巩固提升。
学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足。
五、板书设计
六、教学反思：
本节课按新课标的要求创设情境引入课题，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性；在新知的讲解中，采用动手操作、师生互动的形式共同探究，逐步完成对各个知识点的突破；例题的讲解中，鼓励学生主体参与，培养学生独立思考和分析问题、解决问题的能力。课题的引入、实验演示以及例题均采用多媒体现代教学手段，加大课堂容量和教学直观性。在学习方法上引导学生利用数形结合的思想方法，启发他们将已学的知识迁移到新知中，如椭圆定义的数学语言叙述，以及标准方程的推导。通过实验，学生细心观察、认真分析、总结归纳，从而让学生的数学能力有不同层次的提升。
2.1.1椭圆及其标准方程
三：求椭圆标准方程
几何法、定义法
一：定义
二：椭圆标准方程(共28张PPT)
2.1.1椭圆及其标准方程
人教A版
选修1-1
第二章
圆锥曲线与方程
创设情境，引入新课知
创设情境，引入新课
1.如何画出椭圆？
2.如何定义椭圆？
3.如何得到椭圆的标准方程？
4.如何求椭圆的标准方程？
本节课目标：
动手操作，发现新知
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖画出的是什么图形？
试验一：
思考：在移动过程中笔尖到定点的距离是否发生变化？
试验二：取一条定长的细绳，把细绳的两端固定在两定点处(有一定距离)，当绳长大于两定点之间的距离时，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
试验三：在实验二的基础上改变细绳的长度，使长度分别等于、小于两定点间的距离，移动笔尖分别得到什么图形？
动手操作，发现新知
以小组为单位，动手完成以下试验
动画演示
绳长＝
线段
绳长＜
图形不存在
通过以上操作，你能归纳出椭圆的定义吗？
动手操作，发现新知
焦点
焦点
平面内到两个定点
、
的距离之和等于常数（大于
）的点的轨迹叫做椭圆。
椭圆的定义：
M
F1
F2
例1：下列说法中正确的是（
）
A.已知
，到
两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆.
B.已知
，到
两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.
C.已知
，到
两点的距离之和为12的点的轨迹是椭圆.
D.已知
，到
两点的距离相等的点的轨迹是椭圆.
学以致用
C
求椭圆方程的一般步骤：
设坐标
建系
列等式
代入坐标
化简方程
师生互动，探索新知
O
F1
F2
M
方案三
方案一
O
F1
F2
M
F1
F2
M
方案二
F1
F2
M
方案四
师生互动，探索新知
椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a
第四步：代坐标
第一步：建系
第二步：设坐标
第三步：列等式
师生互动，探索新知
设M(x,
y)是椭圆上任意一点，F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0)
.
代入坐标
O
x
y
M
F1
F2
第五步：化简
将左边一个根式移到右边：
将方程两边平方：
整理得：
师生互动，探索新知
设M(x,
y)是椭圆上任意一点，F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0)
.
O
x
y
M
F1
F2
第五步：化简
两边再平方：
整理得：
两边同时除以
:
O
x
y
M
F1
F2
第五步：化简
椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a
令
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
师生互动，探索新知
O
椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a
第一步：建系
第二步：设坐标
第三步：列等式
第四步：代坐标
椭圆的标准方程
焦点在y轴上
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
标准方程
相
同
点
焦点位置的判断
不
同
点
图
形
焦点坐标
椭圆定义
a、b、c
的关系
x
y
F1
F2
M
O
x
y
F1
F2
M
O
b2=a2-c2
(a>b>0)
|MF1|+|MF2|=2a（2a>2c>0）
拓展升华，巩固提升
课堂演练:
例2.已知椭圆方程为
，则
___
，
___，
___，
焦点在___轴上，焦点坐标为
____________；若椭圆方程为
，其焦点坐标为
____________
.
5
4
3
x
(3,0),(-3,0)
(0,3),(0,-3)
例3：已知椭圆的两个焦点坐标分别为
，并且椭圆上的点到两焦点的距离为10，求椭圆的标准方程.
课堂演练:
解：因为椭圆焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为
所以，椭圆的标准方程为：
又因为
，所以
例4：已知椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0），求椭圆的标准方程.
课堂演练:
解：因为椭圆焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为
又因为经过点（0,2）和（1,0），所以
解得：
所以，椭圆的标准方程为：
例3：已知椭圆的两个焦点坐标分别为
，并且椭圆上的点到两焦点的距离为10，求椭圆的标准方程.
例4：已知椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0），求椭圆的标准方程.
待定系数法
求椭圆标准方程的步骤：
1.确定焦点的位置，设出椭圆的标准方程
2.用几何法或待定系数法确定a,b,c的值
3.写出标准方程
课堂演练:
几何法
当堂检测：
1.已知椭圆的两个焦点坐标为（-2,0），（2,0），并且经过点
，求它的标准方程.
答案：
1、一个定义
2、两种方程
两种方法
3、三个意识：
合作意识
求美意识
求简意识
课后作业
必做：课本36页
练习1、2、3
选做：课本42页
习题A组
2、5（1）
