江西省南昌市实验中学2021届高三第一次月考 数学（理）试卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 江西省南昌市实验中学2021届高三第一次月考 数学（理）试卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 439.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-13 15:17:55 | ||
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文档简介
2021届高三第一次月考
数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）
1.已知全集为，集合，集合，则（
D
）
A.
B.
C.
D.
2.
函数的零点所在区间为（
B
）
A.
B.
C.
D.
3.下列各组为同一函数的是（
C
）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
4.
已知命题“关于方程有两个不相等的实数根”，命题“存在实数，使得当时，恒成立”，则下列命题为真命题的是（
B
）
A.
B.
C.
D.
5.
函数的值域为（
A
）
A.
B.
C.
D.
6.
已知甲为：，乙为：，则甲是乙的什么条件（
B
）
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
已知函数的定义域为，则函数的定义域为（
C
）
A.
B.
C.
D.
8.
函数在区间上的图像最可能是（
A
）
A
B
C
D
9.
已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系正确的是（
C
）
A.
B.
C.
D.
10.
已知函数在上恰有一个零点，则的取值范围是（
A
）
A.
B.
C.
D.
11.定义域为的已知奇函数满足对任意恒成立，且当时，，则函数在上的零点个数为（
D
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
12.
已知定义域为的奇函数满足在上恒成立，且，则不等式的解集为（
A
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
13.
函数在处的切线方程为
14.函数的单调递减区间为
函数是单调函数，则的取值范围是
函数有两个极值点，则实数的取值范围是
三、解答题
17.
已知命题“存在实数使得不等式成立”，命题“集合是集合的子集”。
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若命题为假命题，同时为真命题，求的取值范围。
解答：（1）为真命题等价于或，解得。
（一种情况得2分）
（2）当时，，；当时，由得，解得。
故时为真命题。
依题意可知，一真一假。
当真假时，，解得
当假真时，，解得
综上的取值范围是
18.已知函数的定义域为，对任意都有，当时，.
（1）求在上的函数解析式；
（2）当时，求的取值范围。
解答：（1）
当时，，；…2分
当时，，由得，
…3分
故
…5分
所以
…6分
（2）由（1）知当时，，；…8分
当时，，；
当时，，；
…10分
故当时，求的取值范围是
…12分
19.
已知函数在处取得极值。
（1）求的值，并求的单调区间；
（2）求在上的最值。
解答：
（1），由得；…2分
此时，，
当时，；当时，；当时，；
…4分
为极大值点符合题意。
…5分
综上；的单调递增区间为，单调递减区间为。
…6分
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，…8分
，，，
，且，
…10分
所以的最大值为，最小值为。
…12分
20.
已知某木桌的桌脚为如图（1）所示的长方体，由于受到撞击在与底面平行的平面附近不慎被折断，分别在线段上。木工师傅在修复时为尽可能保持桌脚的原样，将断裂处整理成如图（2）所示的几何体。经测量知是边长为2的正方形，。
求证；
求直线与平面所成角。
图（1）
图（2）
（1）证明：连接交于点，连接，去中点，连接。
由长方体可知，由正方形可知为中点。
由平面几何及长度可知，故，。
所以，故为二面角的平面角，，因此，即，所以。
（2）如图建立平面直角坐标系，则，
。设平面的法向量，
由得，可设，，所以
直线与平面所成角的正弦值为，故直线与平面所成角为
21.已知函数，。
当时，求证；
设，若在定义域内恒成立，求的取值范围。
解答：（1）法1：令，则，故当时，当时，
因此，故。令，则，故当时，当时，因此，故。所以且两个等号不同时成立，。
法2：令，则，因为在单调递增且，故在上存在唯一零点，且，当时，即，当时，即，所以
（
）。由得代入（
）得，当且仅当时取等号，又因，故等号不成立，即。
由在定义域内恒成立得，故。下证的取值范围是。
当时，当时，由（1）的证明知，故且当时两个等号同时成立。因为，故
。令，则，在上单调递减，上单调递增。，故。由知，即。
当时，，综上。
（二）选考题：共10分.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.
如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（10分）选修：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点。
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）求线段的长度。
解答：（1）由消得，的普通方程为
…2分
由得，结合得，
故曲线的直角坐标方程为
…5分
（2）曲线的圆心到直线的距离，，
…10分
23.（10分）[选修4?5：不等式选讲]
已知函数。
（1）解关于的不等式；
（2）若存在使得，求的取值范围。
解答：（1）原不等式等价于，等价于
或或，解得，故解集为。
（2），在上单调递减，在上单调递减，在在上单调递增，故的最小值为。依题意可知，解得或
数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）
1.已知全集为，集合，集合，则（
D
）
A.
B.
C.
D.
2.
函数的零点所在区间为（
B
）
A.
B.
C.
D.
3.下列各组为同一函数的是（
C
）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
4.
已知命题“关于方程有两个不相等的实数根”，命题“存在实数，使得当时，恒成立”，则下列命题为真命题的是（
B
）
A.
B.
C.
D.
5.
函数的值域为（
A
）
A.
B.
C.
D.
6.
已知甲为：，乙为：，则甲是乙的什么条件（
B
）
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
已知函数的定义域为，则函数的定义域为（
C
）
A.
B.
C.
D.
8.
函数在区间上的图像最可能是（
A
）
A
B
C
D
9.
已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系正确的是（
C
）
A.
B.
C.
D.
10.
已知函数在上恰有一个零点，则的取值范围是（
A
）
A.
B.
C.
D.
11.定义域为的已知奇函数满足对任意恒成立，且当时，，则函数在上的零点个数为（
D
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
12.
已知定义域为的奇函数满足在上恒成立，且，则不等式的解集为（
A
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
13.
函数在处的切线方程为
14.函数的单调递减区间为
函数是单调函数，则的取值范围是
函数有两个极值点，则实数的取值范围是
三、解答题
17.
已知命题“存在实数使得不等式成立”，命题“集合是集合的子集”。
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若命题为假命题，同时为真命题，求的取值范围。
解答：（1）为真命题等价于或，解得。
（一种情况得2分）
（2）当时，，；当时，由得，解得。
故时为真命题。
依题意可知，一真一假。
当真假时，，解得
当假真时，，解得
综上的取值范围是
18.已知函数的定义域为，对任意都有，当时，.
（1）求在上的函数解析式；
（2）当时，求的取值范围。
解答：（1）
当时，，；…2分
当时，，由得，
…3分
故
…5分
所以
…6分
（2）由（1）知当时，，；…8分
当时，，；
当时，，；
…10分
故当时，求的取值范围是
…12分
19.
已知函数在处取得极值。
（1）求的值，并求的单调区间；
（2）求在上的最值。
解答：
（1），由得；…2分
此时，，
当时，；当时，；当时，；
…4分
为极大值点符合题意。
…5分
综上；的单调递增区间为，单调递减区间为。
…6分
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，…8分
，，，
，且，
…10分
所以的最大值为，最小值为。
…12分
20.
已知某木桌的桌脚为如图（1）所示的长方体，由于受到撞击在与底面平行的平面附近不慎被折断，分别在线段上。木工师傅在修复时为尽可能保持桌脚的原样，将断裂处整理成如图（2）所示的几何体。经测量知是边长为2的正方形，。
求证；
求直线与平面所成角。
图（1）
图（2）
（1）证明：连接交于点，连接，去中点，连接。
由长方体可知，由正方形可知为中点。
由平面几何及长度可知，故，。
所以，故为二面角的平面角，，因此，即，所以。
（2）如图建立平面直角坐标系，则，
。设平面的法向量，
由得，可设，，所以
直线与平面所成角的正弦值为，故直线与平面所成角为
21.已知函数，。
当时，求证；
设，若在定义域内恒成立，求的取值范围。
解答：（1）法1：令，则，故当时，当时，
因此，故。令，则，故当时，当时，因此，故。所以且两个等号不同时成立，。
法2：令，则，因为在单调递增且，故在上存在唯一零点，且，当时，即，当时，即，所以
（
）。由得代入（
）得，当且仅当时取等号，又因，故等号不成立，即。
由在定义域内恒成立得，故。下证的取值范围是。
当时，当时，由（1）的证明知，故且当时两个等号同时成立。因为，故
。令，则，在上单调递减，上单调递增。，故。由知，即。
当时，，综上。
（二）选考题：共10分.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.
如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（10分）选修：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点。
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）求线段的长度。
解答：（1）由消得，的普通方程为
…2分
由得，结合得，
故曲线的直角坐标方程为
…5分
（2）曲线的圆心到直线的距离，，
…10分
23.（10分）[选修4?5：不等式选讲]
已知函数。
（1）解关于的不等式；
（2）若存在使得，求的取值范围。
解答：（1）原不等式等价于，等价于
或或，解得，故解集为。
（2），在上单调递减，在上单调递减，在在上单调递增，故的最小值为。依题意可知，解得或
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