5.3导数的代数意义（001：函数的单调性） 同步学案

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导数的代数意义学案（001：函数的单调性）
一．学习目标
在上节课，我们了解了导数的几何意义，导数作为高中数学的重要工具，在几何方面的应用主要体现在切线的应用；本节课我们复习导数的代数意义，其在函数单调性以及极值的研究有着直接的结论性语言。
二．基础知识
1.函数的单调性与导数的关系
在区间内
①在内单调递增；
②在内为常函数；
③在内单调递减；
2.用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系
①(或)是在内单调递增(或递减)的充分不必要条件；
②(或)是在内单调递增(或递减)的必要不充分条件(不恒成立)．
3.已知函数在区间上的单调性，求参数范围的方法
①若函数在区间上单调递增，则转化为在区间上恒成立求解，最后检验不恒为零；
②若函数在区间上单调递减，则转化为在区间上恒成立求解，最后检验不恒为零；
③若函数在区间上单调，则转化为在区间上不变号，即在区间上恒正或恒负；
由函数在区间内单调递增(或递减)，可得(或)在该区间恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验．
三．典例分析与性质总结
题型1：利用导数求单调区间（不含参数）
求函数的单调区间，也是求不等式(或)的解集，但单调区间不能脱离函数定义域而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．
例1：已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间.
【方法归纳】利用导数讨论函数单调或求解单调区间的步骤：
(1)方法一：直接解导函数不等式
①确定函数y＝f(x)的定义域；
②求导数；
③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
(2)方法二：通过子集的观点解决
①确定函数的定义域；
②求导数，令，解此方程，求出在定义域内的一切实根；
③把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
注：个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数，（时），但是是增函数。
例2：设函数，当时，求函数的单调区间；
题型2：利用导数求单调区间（含参数）
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确断定导数的符号，当含参数时，需要根据参数取值对不等式的解集的影响进行分类讨论，在进行分类讨论时，要做到不重复不遗漏。
例3：已知函数，其中为常数，讨论判断函数的单调性。
例4：已知函数.讨论函数的单调性；
在求函数的单调区间时，若中含有参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类：分类的标准——①函数的性质进行分类（一次函数、二次函数等等）；②按导函数是否有零点分大类；③在小类中再按导函数零点的大小分小类；④在小类中再按零点是否在定义域中分类。
题型3：已知单调区间求参数的取值范围
①函数在区间D上存在递增区间：
思路1——转化为“在该区间上有解”；
思路2——转化为“存在区间D的某个子区间使得成立”；
可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是或者在该区间上存在解集，这样就将函数单调性问题转化为不等式问题；
②函数在区间D上递增：
思路1——转化为“在该区间上恒成立”；
思路2——转化为“区间D是函数的单调递增区间的子集”；
可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上，导数或者恒成立，然后分离常数，转化为求函数的最值问题，最后求解参数的取值范围；
③若已知在区间上的单调性，区间中含有参数时，可先求出的单调区间，令是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
例5：已知函数是上的增函数，求参数的取值范围。
例6：若函数在区间上是增加的，则实数a的取值范围是________．
四．变式演练与提高
1.函数的单调递减区间是________.
2.若在上是减函数，则的取值范围是________．
3.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值
范围为（???
）
A.?
B.?
C.?
D.?
4.已知函数，讨论的单调性。
5.设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)若，求函数的单调区间；
(3)设函数，且在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．
6.函数；（）
(1)讨论的单调性；
(2)若在区间是增函数，求的取值范围．
7.设，其中a∈R，曲线在点处的切线与轴相交于点．
(1)确定的值；
(2)求函数的单调区间．
五．反思总结
1.易错梳理
①求解单调区间时要遵循定义域优先的原则；
②注意两种表述：“函数在区间上为减函数”与“函数的减区间是”的区别。
③是为增函数的充分不必要条件，如函数在上单调递增，但；
是为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有时，为常数函数，函数不具有单调性。
④可导函数在区间上为减函数的充要条件是：对于且在区间上不恒为0。
2.已知单调区间求参数的取值范围
依照导函数的意义，如果已知单调区间，意味着导函数值的符号已经明确，问题转化为恒成立问题；
不等式恒成立，可以参考分离参数法，通过参数与函数的最值进行比较得出结论，也可以直接转换成原函数式的最值（含参数），通过最值的关系得到含有参数的关系式以得到最终结论。
(1)分离参数法：
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法：
第一步：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值(最值)；
第三步：构建不等式求解．
六．课后作业
1.已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（???
）
A.
B.
C.
D.
2.已知函数.讨论的单调性；
3.已知函数．
(1)若函数的图象在处的切线方程为，求的值；
(2)若函数在上为增函数，求的取值范围。
4.已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；
5.已知函数，（）
①若函数在上存在单调递减区间，求实数的取值范围。
②若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析：
由上节课的内容（导数的几何意义）可求得，的解析式为
∴，令，即，解得，，
当或时，，
当时，，
故的增区间是和；减区间是.
例2：解析：
函数的定义域为，
由可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为
例3：解析：
函数的定义域为；
①当时，，函数在单调递增；
②当时，，
i当时，，易知，函数在单调递减；
ii当时，，易知，，函数在单调递减；
iii当时，，设是的两个零点，则
，，
当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
综上可得，
①当时，，函数在单调递增；
②当时，，易知，，函数在单调递减；
③当时，
函数在、单调递减；
函数在单调递增；
例4：解析：
由，则函数的定义域为，且
①当时，，即，所以函数在上单调递增，无单调递减区间；
②当时，令，即，解得，
令，即，解得
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间
综上所述，当时，函数的单调递增区间，无单调递减区间；
当时，单调递增区间为；单调递减区间为；
例5：解析：
∵；
∴恒成立；
结合数形结合思路进行求解。
；解得
分别验证或，不恒为0，
∴参数的取值范围为
例6：解析：
解析1：
∵
∴；
当时，令，即，即，又，故；
当时，，在区间上单调递增，符合题意；
所以实数a的取值范围是．
解析2：
由题意知，当时，恒成立，即；故而；
（四．变式演练与提高）
1.解析：
【答案】　
依题意的定义域为，令，解得；
所以的单调递减区间为
2.解析：
因为，∴，
∵函数在上是减函数，则对任意的恒成立，即；所以在恒成立；.
因此，实数的取值范围是
3.解析：
【答案】　D.
∵
，即函数在时是单调增函数.
则恒成立，即恒成立；
令，则
时，，单调递减；时，，单调递增；
所以
故选:D.
4.解析：
因为，所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，令，得；令，得，
则在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
5.解析：
(1)，
由题意得，即
(2)由(1)得，，
当时，；
当时，；
当时，.
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
(3)，
依题意，存在，使不等式成立，
即时，即可，
所以满足要求的的取值范围是．
6.解析：
(1)，的判别式．
①若，则恒成立，故此时在上是增函数．
②由于，故当时，有两个根：
，
若，则
i当或时，，故分别在，是增函数；
ii当时，，故在是减函数；
若，则
i当或时，，故分别在、是减函数；
ii当时，故在是增函数．
(2)当，时，，故当时，在区间是增函数．
当时，在区间是增函数，当且仅当且，
解得
综上，的取值范围是
7.解析：
(1)因为，
令，得，，所以曲线在点处的切线方程为
．代入，，故
(2)由(1)知，，
令，解得，
当或时，，故在，上为增函数；当时，，故在(2，3)上为减函数．
（六．课后作业）
1.解析：
【答案】　A.
因为，，
当时，恒成立，故函数在内单调递增，不符合题意；
当时，可得，，可得，
因为在内不是单调函数，所以，解得.
2.解析：
依题意，的定义域为，
当时，；当时，.
①当时，若，则；若，则.
所以在上单调递减，在上单调递增.
②当时，若，则；若，则.
所以在上单调递增,在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3.解析：
(1)因为，
且在处的切线方程为，所以
解得，.
(2)若函数在上为增函数，则在上恒成立，
即在上恒成立．所以。
4.解析：
(1)当时，，，，
则，，所以切线方程是；
(2)函数的定义域是．
当时，，
令，得或.
①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值是，不合题意，故舍去；
③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值是，不合题意，故舍去．
综上所述，的取值范围为．
5.解析：
，，
①由在上存在单调递减区间，所以当时，有解；即有解；问题转化为的最小值，故而
②由在上单调递减，所以当时，恒成立；即恒成立；问题转化为的最大值，故而。
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