七年级数学二元一次方程组》中的数学思想

《二元一次方程组》中的数学思想
河北 寇焕新
数学知识很重要，更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想和方法，近几年尤其是新课改以后的中考试题中，考查数学思想和方法的题目越来越多，因此，在学习中要注意体会教材例题、习题所体现的数学思想和方法，培养用数学思想和方法解决问题的意识。本章所体现的数学思想有：方程思想、化归思想和数学形结合思想。
所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式 。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1：某商店出售的某种茶壶每只定价20元，茶杯每只定价3元，该商店在营销淡季特规定一项优惠方法，即买一只茶壶赠送一只茶杯，某单位花了205元，买回了茶壶和茶杯一共45只，问该单位买回茶壶茶杯各多少只？
解：设买回茶壶x个，茶杯y个，根据题意得
x+y=45
20x+3(y－x)=205
解这个方程组得，x=5
y=40
答：买回茶壶5只，茶杯40只。
所谓化归思想，就是化未知为已知，化繁为简，化难为易。比如本章解二元一次方程组的基本思路是“消元”，通过“消元”，把二元一次方程转化为一元一次方程，逐步实现化“未知”为“已知”的目的，这就是“化归”的数学思想。掌握了这个思想，三元一次方程组也就迎刃而解了。（例2中解方程组的过程就是对化归思想的一种灵活运用。）
所谓数形结合思想就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得到解决的方法。
例2：甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都解了其中的60道题，将其中一人解出的题目叫难题，三人都解出的题叫容易题。试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道？
解：设三人都解出的容易题为x个，只有一个人解出的难题分别为y1、、y2、、y3、个，则难题总数为y=y1+y2+y3．由图可知：
x+y1+a+b=60 　　　　　　　　　①
x+y2+a+c=60　　　　　　　　　　　　　　　②
x+y3+b+c=60　　　　　　　　　　　　　　　③
x+y+(a+b+c)＝100　　　　　　　　　　　 ④
①+②+③，得３x+y+2(a+b+c)=180. 　⑤
由④得2x+2y+2(a+b+c)=200. 　⑥
⑥－⑤得y－x=20。
答：难题多，难题比容易题多２０道．
本题涉及的因素较多，直接建立方程困难较大，因此利用数形结合思想，造形助数，从而解决问题．