七年级数学二元一次方程组在方案问题中的应用

二元一次方程组在方案设计中的应用
山东 于秀坤
在日常生活和生产中,经常设计到一些方案设计问题.这些问题可利用我们学习的二元一次方程组解决，请看几例.
例1 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演．甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？
（3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．
分析：本题是一道与购买服装有关的方案设计问题，其中第(1)问比较简单,第(2)设计两个未知量,根据已知条件可列方程组求解,根据第(2)问的答案可以解决第(3)问方案选择问题.
解：（１）由题意得　（元）
即两校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1320元
（２）设甲、乙两所学校各有x名、y名学生准备参加演出，由题意得
　　　　　， 解得　
所以甲、乙两所学校各有52名、40名学生准备参加演出．
（３）因为甲校有10人不能参加演出，所以甲校有52-10=42（人）参加演出．
若两校联合购买服装，则需要50×（42+40）=4100（元）
此时比各自购买服装可以节约（42+40）×60-4100=820（元）
但如果两校联合购买91套服装，只需（元）
此时又比联合购买每套50元可节约（元）
因此，最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装（即比实际人数多购买９套）．
例2 某校在“五·一”期间组织学生外出旅游，如果单独租用45座的客车若干辆，恰好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，并且余30个座位．
(1)求外出旅游的学生人数是多少？单租45座客车需多少辆？
(2)已知45座客车每辆租金250元，60座的客车每辆租金300元，为节省租金，并且保证每个学生都能有座，决定同时租用两种客车．使得租车总数可比单租45座客车少一辆，问45座客车和60座客车分别租多少辆才能使得租金最少？
分析:本题是一道与租车有关的实际问题,在题目中存在两个相等关系,一是总人数等于45×所租车的车辆数,二是总人数等于60×(租45座车辆数-1)-30,由此可列方程求总人数和单租45座客车辆数.进而可确定租金最少的方案.
解：(1)设学生人数为x人，单租45座客车为y辆，
　由题意，得
　解，得
　所以学生总人数为270人，单租45座客车需6辆．
　（２）由题意，根据(1)知，两种客车共租5辆，其方案有
45座车1辆，60座车4辆；
45座车２辆，60座车3辆；
45座车3辆，60座车2辆；
45座车4辆，60座车1辆．
其中：方案①共有：（座），
　　　　　　租金：（元）；
　　　方案②共有：（座），
　　　　　　租金：（元）；
　　　方案③共有：（座），不能满足每人都有座；
　　　方案④共有：（座），不能满足每人都有座．
由上可知方案②最好．所以租45座车2辆，60座车3辆租金最少．
例3 某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2.5元.
(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎,用去45000元,请你设计进票方案;
(2)若销售A型彩票一张获手续费0.2元,B型彩票一张获手续费0.3元,C型彩票一张获手续费0.5元,在购进两种彩票的方案中,为使销售完时获得手续费最多,你选择了哪种进票方案
分析：本题是以购买体彩票为素材编拟了一道方案设计型题目，重在考查我们应用数学知识解决实际问题的能力，解题时需要根据不同的情况分类探究.
解：设经销商从体彩中心购进A种彩票x张，B种彩票y张，C种z张，则可以分以下三种情况考虑：
（1）只购进A种彩票和B种彩票，根据题意，得
解得x<0,所以此方程组无解.
只购进A种彩票和C种彩票,根据题意,得
解得
只购进B种彩票和C种彩票,根据题意,得
解得
综上所述,若经销商同时购进不同型号的彩票,共有两种方案可行,即A种彩票5扎,C种彩票15扎;或B种彩票与C种各10扎.
(2)若购进A种彩票5扎,C种彩票15扎,
则销售完后获手费为0.2×5000+0.5×15000=8500(元).
若购进B种彩票与C种彩票各10扎,
则销售完后获手续费为0.3×10000+0.5×10000=8000(元)
为使销售完获得手续费最多,选择的方案为A种彩票5扎,C种彩票15扎.