七年级数学竞赛题中一次方程组的应用题

竞赛题中一次方程组的应用题
　　通常解方程组时，未知数的个数与方程组中方程的个数相同，但在解答实际应用题时，常出现未知数的个数多于方程组中的方程个数的情况．解答这类问题，虽然不一定能将未知数一一求出，但是针对具体问题，选用适当方法．同样能达到解决问题的目的．
　　1．运用整体思想进行转化
例1 某小组同学买13支铅笔，5块橡皮，9把小刀，共需要用8.20元；如买2支铅笔，4块橡皮，3把小刀，则要用3.20元，试问：只买铅笔、橡皮、小刀各1个，共需要用多少元？
【分析】这里铅笔、橡皮、小刀的单价都是未知数，而题中的数量关系只有两个．虽然无法求出这三种学习用品中每一种的单价，但是本题也并不要求每一种用品的价格，而只要求出它们的单价之和，即这三个未知数的和即可．
【解】
　　
【点评】
例2 振华陶瓷公司出售月球牌、地球牌、太阳牌三种品牌的瓷砖，前一阶段结算时，太阳牌瓷砖售出量为出售总量的60%．预计当前阶段月球牌、地球牌这两种品牌瓷砖售出量都要比前一阶段少5%，因而太阳牌瓷砖则是推销重点．要想使现阶段售出总量比前一阶段增长10%，必须努力使太阳牌瓷砖的销售量要比前一阶段增加百分之……（ ）
　　（A）20 　　（B）25 　　（C）30 　　（D）35
【分析】为了清楚地表示各个数量关系，可多设未知数．即多用字母来表示未知量．
【解】
　　
【点评】这里除了设所求的增长率外，还增设了、、三个未知数，目的是为了有利于用方程表示题中已知的数量关系．而在解方程组时，则把作为一个整体来运算．这里既没有必要也不可能解出、的值来．
2．用代入消元思想进行转化
例3 山脚下有一池塘，水泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完；若用两台型抽水机抽水，则20分钟正好把池中的水抽完．问若用三台型抽水机同时抽，则需要多少时间恰好把池塘中的水抽完？
【分析】根据等量关系：时间每分钟抽水量时间泉水每分钟流量池塘原有水量．依此，可列出方程（组）．
【解】
【点评】所列方程组中，三个方程都是关于、、的一次方程，而且都缺少常数项．根据这一特点，可从、、中选用一个字母作为“已知数”，由（1）、（2）两个方程解出另外两个未知数，然后把它们代入到方程（3）中，求出值．这种代入消元思想常用于解这类问题．
3．求方程组的整数解
例4 某单位购买梨子、苹果、葡萄一共24箱，共用了426元，已知苹果每箱25元，梨子每箱20元．葡萄每箱16元．试问该单位购买了几箱苹果？
【分析】根据“购买苹果、梨子与葡萄的箱数之和为24”，“购买苹果、梨子与葡萄的钱数之和为426”列方程组．
【解】
　　
【点评】
　
例5 甲数的2倍与乙数的5倍之和为3，且甲、乙两数都是整数．试求甲、乙两数．
【解】
　　
【点评】
　　本题中，方程（1）有无数多个整数解．这里将它用含有的整式来表示，取不同的整数值，就得到不同的整数解．取所有的整数，（3）式就表示原方程的所有整数解．