3.1 勾股定理 同步训练题（含解析）

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初中数学苏科版八年级上册3.1
勾股定理
同步练习
一、单选题
1.在△ABC，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是(????
)
A.?a2+b2=c2
???????????????????????B.?b2+c2=a2???????????????????????C.???
a2+c2=b2???????????????????????D.?c2-
a2=
b2
2.下列各组数中，不是勾股数的为（
??）
A.?3，4，5??????????????????????????B.?6，8，10??????????????????????????C.?5，12，13??????????????????????????D.?5，7，10
3.三个正方形的面积如图所示，则面积为
的正方形的边长为（???
）
A.?164?????????????????????????????????????????B.?36?????????????????????????????????????????C.?8?????????????????????????????????????????D.?6
4.如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为A，B，C，D，则它们之间的关系为（　　）
A.?A+B＝C+D??????????????????????B.?A+C＝B+D??????????????????????C.?A+D＝B+C??????????????????????D.?以上都不对
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝16，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（??
）
A.?16???????????????????????????????????????B.?32???????????????????????????????????????C.?160???????????????????????????????????????D.?256
6.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（??
）
A.?4米???????????????????????????????????????B.?5米???????????????????????????????????????C.?6米???????????????????????????????????????D.?7米
7.若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则x的可能值有（??????
）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
8.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(????
)
A.?0.7米???????????????????????????????????B.?1.5米???????????????????????????????????C.?2.2米???????????????????????????????????D.?2.4米
9.如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（?
）
A.?9?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?12
10.将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（
??）
A.?12cm≤h≤19cm?????????????B.?12cm≤h≤13cm?????????????C.?11cm≤h≤12cm?????????????D.?5cm≤h≤12cm
二、填空题
11.如果一个直角三角形两直角边长分别为3和4，斜边长是________．
12.已知直角三角形的两直角边长分别为3和5，则第三边的长是________．
13.如图，则阴影小长方形的面积S＝________．
14.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了8km，乙往南走了6km，这时两人相距________km.
15.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=________．
16.若直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|=0，则该直角三角形的第三条边长为________．
17.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为________．
18.如图所示，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：
）则两圆孔中心
和
的距离是________
．
19.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是________．
20.如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为________米.
三、综合题
21.在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6，
c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
22.求下列图形中阴影部分的面积．
（1）如图1，AB=8，AC=6；
（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．
23.已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
24.如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米.如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向左滑动多少米？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【考点】勾股定理
解：解：∵∠B=90°，
∴
a2+c2=b2?.
故答案为：C.
【分析】因为B为直角，则B所对的边b为斜边，利用勾股定理列式即知结果.
2.【答案】
D
【考点】勾股数
解：解：
、
，
此选项是勾股数；
、
，
此选项是勾股数；
、
，
此选项是勾股数；
、
，
此选项不是勾股数．
故答案为：
．
【分析】满足
的三个正整数，称为勾股数，由此判断即可．
3.【答案】
D
【考点】勾股定理
解：∵四边形OGMN和四边形OBCD是正方形，面积分别为64和100
∴OG2=64,OD2=100
∴OG=8,OD=10
∴
故面积为
的正方形的边长为：6
故答案为：:D
【分析】已知四边形OGMN和四边形OBCD是正方形，面积分别为64和100，即可求得OG和OD的长，再利用勾股定理即可求得GD的长．
4.【答案】
A
【考点】勾股定理
解：解：如图，∵a2+b2＝e2
，
c2+d2＝e2
，
∴a2+b2＝c2+d2
，
∴A+B＝C+D．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理可得a2+b2＝e2①，c2+d2＝e2②，根据等式的性质将①+②即得结论.
?
5.【答案】
D
【考点】勾股定理
解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝256，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和＝AC2+BC2＝256，
故答案为：D
．
【分析】根据三角形的勾股定理和正方形的面积公式，可求出结果。
6.【答案】
D
【考点】勾股定理
解：解：在Rt△ABC中，AC＝
＝4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故答案为：D
【分析】由勾股定理可以求得AC的长，地毯的长度为两条直角边的和，即AC+BC的和。
7.【答案】
B
【考点】勾股定理
【分析】x可为斜边也可为直角边，因此解本题时要对x的取值进行讨论．
【解答】当x为斜边时，x2=22+42=20，所以x=2；
当4为斜边时，x2=16-4=12，x=2．
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论．
8.【答案】
C
【考点】勾股定理
解：在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2
，
∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故答案为：C．
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理算出AB的长，题中抓住AB=A'B,在Rt△A′BD中，根据勾股定理算出BD，再根据线段的和差即可算出答案。
9.【答案】
B
【考点】勾股定理
解：解：如图，AB＝
．
故答案为：B．
【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
10.【答案】
C
【考点】勾股定理
解：
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
【分析】根据题意，找到h最小、最大值的情况，利用勾股定理解答。
二、填空题
11.【答案】
5
【考点】勾股定理
解：解：根据勾股定理得斜边长为
=5
故答案为：5．
【分析】根据勾股定理即可求出斜边的长.
12.【答案】
【考点】勾股定理
解：解：∵直角三角形的两直角边长分别为3和5，
第三边=
，
故答案为：
.
【分析】根据勾股定理求得直角三角形的斜边即可．
13.【答案】
30
【考点】勾股定理
解：由勾股定理得：
=10，
∴阴影小长方形的面积S=3×10=30；
故答案是：30．
【分析】由勾股定理求出小长方形的长，再由长方形的面积公式进行计算．
14.【答案】
10
【考点】勾股定理
解：解：如图,
∠AOB=
,
OA=6km,OB=8km,
AB=
(km).
故答案为:10.
【分析】因为甲向东走,乙向南走,刚好构成一个直角.两人走的距离分别是两直角边,则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离.
15.【答案】8
【考点】勾股定理
解：解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2
，
又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
【分析】先利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=4，采取整体代入求出AB2+（BC2+CA2）的值，
16.【答案】
5或
【考点】勾股定理
解：解：该直角三角形的第三条边长为x，
∵直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|=0，
∴a=3，b=4．
若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42=x2
，
∴x=5；
若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2=42
，
∴x=
；
∴第三边的长为5或
．
故答案为：5或
．
【分析】设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
17.【答案】
【考点】勾股定理
解：AC＝AM＝
＝
，
∴AM＝
，
∵A点表示-1，
∴M点表示的数为：
-1，
故答案为
-1.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，即AM的长，再根据点A表示的数即可求得点M表示的数.
18.【答案】
100
【考点】勾股定理
解：∵由图可知，
，
，
∴
，
∴两圆孔中心A和B的距离是100mm．
故答案为：100．
【分析】先根据图示得出AC及BC的长，再由勾股定理即可得出结论．
19.【答案】
10
【考点】勾股定理
解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。
∵四边形ABCD是正方形，∴
B、D关于AC对称。
∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE。
∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8。∴
。
∴PB+PE的最小值是10。
【分析】根据对称的性质，然后利用勾股定理，可计算出结果。
20.【答案】
192.2
【考点】勾股定理
解：解：由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=900米，AC=1200米，
∴BC=
=1500米.
故答案为1500.
【分析】由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，从而得到∠BAC=90°，然后利用勾股定理即可求出BC.
三、综合题
21.【答案】
（1）解:
在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
=8
（2）解:
在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
=41
（3）解:
在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
=20
【考点】勾股定理
【分析】本题较简单，考查直角三角形中，已知两直角边的长，利用勾股定理求出斜边；或者是已知一直角边和斜边，利用勾股定理求出另一直角边.
22.【答案】
（1）解：∵AB=8，AC=6，
∴BC=
=
=10，
∴BO=5，
∵S△ABC=
AB×AC=
×8×6=24，
S半圆=
π×52=
，
∴S阴影=
﹣24
（2）解：∵AD=14，CD=2，
∴AC=12，
∵AB=13，
∴CB=
=
=5，
∴S阴影=2×5=10
【考点】勾股定理
【分析】（1）首先利用勾股定理计算出BC的长，进而得到圆的半径BO长，再利用半圆的面积减去直角三角形面积即可；（2）首先计算出AC的长，再利用勾股定理计算出BC的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．
23.【答案】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，
由勾股定理得：AB=?
=10，
∵S△ABC=
AB?CD=
AC?BC，
∴CD=
=
=4.8
【考点】勾股定理
【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可．
24.【答案】
解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2
，
即AC2＋0.72＝2.52
，
∴AC＝2.4.
在△A1B1C中，∠C＝90°，
∴A1C2＋B1C2＝A1B12
，
即(2.4–0.4)2＋B1C
2＝2.52
，
∴B1C＝1.5.
∴B1B＝1.5–0.7＝0.8，即点B将向左移动0.8米.
【考点】勾股定理
【分析】根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1
，
CA1即可求得CB2的长度，根据BB1=CB1-CB即可求得BB1的长度.
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精品试卷·第
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