江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 PDF版含答案

．甲得分的平均数低于乙得分的平均数
横峰中学 2020-2021 学年度上学期第一次月考 D
7．已知如表所示数据的回归直线方程为 y? ?4x?5，则实数a的值为（ ）
高二数学理科试题
x 2 3 4 5 6
命题人： 审题人： 考试时间:120分钟 满分：150分
y 3 7 12 a 20
一、单选题（60分）
． ．
? ? 2π ? ? A 13 B 14 C．15 D．16
1．已知向量 ?
a，b的夹角为 ， ?
a?b ， b ，则 a （ ）
3 8．在 中，内角 、B、 所对的边分别是a， ，c且 ? ? ，
3 =-3 | |=
32 | |=
?ABC A C b 3asinB bsin(B C)tanC
A．? B．?3 C． D．
2 2 则cosC =（ ）
2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，3
用分层抽样的方法从
1 1 3 3
该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( ) A． B．? C． D．?
2 2 2 2
A．100 B．150 C．200 D．250 9．总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，
3．在?ABC 中，a ?9, b ?10, A?60? ，则此三角形解的情况是（ ）
选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出
A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解
来的第5个个体的编号为（ ）
? ? ?
4．已知平面向量a ? ?
(2,?1)，b ?(1,x)．若a∥b ，则x?（ ）．
50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48
1 1
A．? B．?2 C． D．2
2 2 22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11
? ? ? ? ? ? ?
5．已知 a ?1， b ? 2，且a ??a?b?，则向量a在b 方向上的投影为（ ） A．23 B．21 C．35 D．32
1 2 1 2 10．在?ABC中，若acosA?bcosB，则?ABC 的形状一定是（ ）
A．? B． C． D．?
2 2 2 2 A．等腰直角三角形 B．直角三角形
6．甲，乙两名同学5次考试的得分如茎叶图所示，其中两竖线之间是得分的十位数．两边分别 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
是甲，乙得分的个位数，则下列结论错误的是（ ） 11．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交
A．甲得分的中位数是85 ???? ???? ?
于点 ????
F，若 ?
AC ?a，BD?b，则AF ?( )
B．乙得分的中位数与众数相同 1 ? 1 ? 2 ? 1? 1 ? 1 ? 1? 2?
A． a? b B． a? b C． a? b D． a? b
C．甲得分的方差小于乙得分的方差 4 2 3 3 2 4 3 3
2 2 2
? ?
12．在锐角三角形 a c b
ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 2 ?2cosA， 三、解答题（70分）
2c ?bc
17．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气
c?4，?ABC 面积的取值范围是（ ）
的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，
A．?2 3,8 3? B．?2,8? C．?2 3,8? ．?
? D ?2 3,8? 得出下表数据：
x 4 5 7 8
二、填空题（20分）
13．如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测得AC的距离为50 2m， y 2 3 5 6
? ?
?ACB ?30 ，?CAB?105 ，则A、B两点间的距离是________m.
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
(2)试根据(1)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．
n
?xiyi ?nxy
i?1
? 相关公式：b?? ,a?? y?b?
n x ?
2 2
x ?nx
???? ???? ???? ???? 1???? ? i
14．如图，在?ABC 中，CD ?2DA，E是BD上一点，且AE ??AB? AC???R?，则? i?1
7
的值等于________.
15．2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口两个城市举行，北京市某学校为此举办了主题为
“迎冬奥运，普及冰雪运动”的手抄报展示活动，学校决定从收集到的300份作品中，抽取15 ? ? ? ? ?
份进行展示，现采用系统抽祥的方法，将这300份作品从001到300进行编号，已知第一组中 18．已知向量a ??1,?1?,b ? 2,且?2a?b??b?4，
被抽到的号码为17，则所抽到的最大的号码为________. ? ?
（1）求向量a与b的夹角；
? ???? 2????
16．在?ABC中，AB ?6 2 ，AC ?6，?BAC ? ，点D满足BD? BC，点E在线段 ? ?
4 3 （2）求 a?b 的值.
???? ???? ???? 1
AD上运动，若 ????
AE ??AB??AC，则3?? 取得最小值时，向量AE的模为_______.
3?
19．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控揩 21.．如图,在矩形ABCD中,点E是BC边上的中点,点F 在边CD上
施，某医院组织专家统计了该地区1000名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理
得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，
潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”.
???? ???? ????
(1)若点F 是CD上靠近C的三等分点,设EF ??AB??AD,求???的值
(2)若 ???? ????
AB ? 3,BC ?2,当AE?BF ?1时,求DF的长
（1）求这1000名患者潜伏期的众数、中位数、平均数；
（2）计算出这1000名患者中“短潜伏者”的人数.
22．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ?
m??a?b,sinA?sinC?，向量
? ? ?
n ??c,sinA?sinB?，且m?n .
（1）求角B的大小；
1
20．已知a，b，c分别是?ABC内角A，B，C的对边，a?2b，cosA? .
4 （2）设BC的中点为D，且AD ? 3，求a?2c的最大值.
（1）求sinB的值；
（2）若?ABC的面积为 15，求c的值.
参考答案 1 ????
．2.A3．B4．A5．D6．C7．A8．A9．B10．D 11．B12．A 得．??2? ，则利用基本不等式可求3?? 的最小值，进而得到AE的模.
3?
1.D
2 2 2
? ? 2accosB
12..∵a c b
2 ?2cosA，由余弦定理得 2 ?2cosA，
2c ?bc 2c ?bc ?
详解： 在?ABC中，AB ?6 2，AC ?6，?BAC ? , ，可得
4
acosB?bcosA?2ccosA，由正弦定理得sinAcosB?sinBcosA?2sinCcosA，
1
即sin(A?B)?2sinCcosA?sinC，又C?(0,?)，sinC ? 0 ，∴cosA? ，∵A?(0,?)，
2
? BC ?6 ．
∴A? ，
3 ???? 2????
∵D满足?BD ? BC，?CD ?2．
3
2? ? ? ?? ??
三角形为锐角三角形，∴B? ?C ? ，C ? ，即C?? , ?， 如图建立平面直角坐标系，则（ ，），（ ，），（ ，），
3 2 6 ? 6 2? A 06 B 60 D 20
???? ???? ???? ???? ????
设AE＝kAD＝(2k，?6k)，AE ??AB??AC ??（6，?6）??（0，?6）?（6?，?6??6?），
1 b c
S△ABC ? bcsinA? 3b，由正弦定理 ? 得
2 sinB sinC 1 1 1
?2k ?6?，?6k ??6??6????2?, ∴则3?? ??3?? ?2 ＝ 2, ，当且仅当
3? 6? 2
?2? ?
4sin? ?C?
4sinB ? 3 ? 2 3cosC?2sinC 2 3 ， 2 1
b? ? ? ? ?2 ?＝ 时取最小值．
sinC sinC sinC tanC 18
????
此时 2 2
（ ， ）， ＝ .
?? ? ?
? ?AE 6??18? 36? ?324? 2 5
∵C? 3
? , ?，∴tanC ? ，∴2?b?8，∴S
△ABC ?(2 3,8 3)．
? 6 2? 3 故答案为2 5.
4
13．50 14． 15．297 16．2 5 17．(1) y? ? x?2.----------- 5分 (2)7 -------10分
7
? ? ?
（Ⅰ）由 得 ? 因 ?
16.【解析】 18. a ??1,?1? a 2, b 2
???
分析：由题可得可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
BC ?6．CD?2 ．建立平面直角坐标系，则 2
??2a?b??b?2a?b?b ?2 a b cos a,b ?2?4cos a,b ?2?4
A（0，6），B（6，0），D（2，0）设 ? ? 1 ? ?
?cos a,b ? ,向量a与b的夹角为 ?
60 -------------6分
???? ???? ???? ???? ???? 2
AE＝kAD＝(2k，?6k)，AE ??AB??AC ??（6，?6）??（0，?6）?（6?，?6??6?），可 ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? 2
（Ⅱ） a?b ? ?a?b? ? a ? 2a?b?b ? a ? 2a ?b cos a,b ? b ? 6 -----12分
19．（1）由频率分布直方图可得众数为7，中位数6. ???? ???? ???? ???? ???? ????
（2）设DF ?mDC(m?0)，则CF ??m?1?DC ，以AB ，AD为基底，
平均数?0.02?2?1?0.08?2?3?0.15?2?5 ???? ???? 1???? ???? 1???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
AE ? AB? BC ? AB? AD ，BF ?CF ?BC ??m?1?DC?BC ? ?m?1?AB? AD ，
?0.18?2?7?0.03?2?9?0.03?2?11?0.01?2?13?6. 2 2
?????????
所以这1000名患者潜伏期的众数7，平均数 又 ，
6.-------------6分 AB?AD?0
???? ???? ????? 1????? ???? ???? ????2 1????2
∴AE?BF ??AB? AD?????m?1?AB? AD? ?
? ?m?1?AB ? AD ?3?m?1??2?1，解
（2）由频率分布直方图可知，小于等于6的概率为 ? 2 ? 2
?0.02?0.08?0.15??2?0.5，
所以这1000名患者中“短潜伏者”的人数为1000?0.5?500. -----------12分 2
得m? ,故DF的长为2 3 ．(此题也可建坐标系做）---------------12分
3 3
1 15
20．（1）由cosA? 得sinA? ，
4 4
? ?
22．（1）因为m?n ，所以?a?b??sinA?sinB??c?sinA?sinC??0.由正弦定理可得
由a?2b及正弦定理可得 bsinA 15
sinB ? ? .-------------6分
a 8 2 2 2
?a?b??a?b??c?a?c??0，即a ?c ?b ?ac.由余弦定理可知
2 2 2
a ?c ?b ac 1 ?
2 2 2 cosB ? ? ? .因为B?（0，?），所以B ? .----------5分
? ?
（2）根据余弦定理可得 b c a 1 2ac 2ac 2 3
cosA? ? ，
2bc 4 ? 2?
（2）设?BAD??，则在?BAD中，由B ? ，可知??（0， ）.由正弦定理及AD ? 3，
2 2 2 3 3
? ?
代入 b c 4b 1 2 2
a?2b得 ? ，整理得2c ?bc?6b ?0，即?2c?3b??c?2b??0，解得
2bc 4 BD AB AD
? ? ?2
有sin? ?2? ? ? ，所以
sin? ??? sin
1 1 2 15 3 3
c?2b，∴ ? ?
S?ABC ? acsinB ? c ? ? 15 ，解得c?4. -----12分
2 2 8
?2? ?
???? ???? ???? BD ?2sin?,AB ?2sin? ???? 3cos??sin?，所以
21．（1）EF ? EC?CF ,∵E是BC边的中点,点F 是CD上靠近C的三等分 ? 3 ?
???? 1???? 1???? ???? ???? ???? ???? ???? 1???? 1????
点,∴EF ? BC? CD，又∵BC ? AD,CD??AB,∴EF ?? AB? AD， a ?2BD ?4sin?,c? AB ? 3cos??sin?，从而
2 3 3 2
1 1 1
????? ? ? ；-------------6分 ? ?? 2? ? ? 5?
3 2 6 a?2c?2 3cos??6sin??4 3sin??? ?，由??（0， ），可知?? ?（ ， ），所
? 6 ? 3 6 6 6
? ? ?
以当?? ? ，即?? 时，a?2c取得最大值4 3.---------------12分
6 2 3