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姓名
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组号
§3.1.1方程的根与函数的零点评测练习
【当堂检测】
1.函数的零点是(
)
A
1,－4
B
4，－1
C
1，3
D
不存在
2.
函数的零点所在的大致区间为（
）
A.(-1,0)
B.
(0,1)
C.
(1,2)
D.(2,3)
3.函数的零点个数为
【课外作业】
A组
基础巩固组
1.函数的零点所在的大致区间为
（
）
（B）
（C）
（D）
2.求下列函数的零点：
（1）
（2）
（3）
（4）
3．若函数没有零点，求实数的取值范围.
B组
能力提升组
1．若函数只有一个零点，求实数的值.
2．若函数有两个零点，求实数的取值范围.
课下探究：研究的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试以一种系统的、简洁的方式总结表达。
2
1第三章
函数与方程
§3.1.1方程的根与函数的零点
一、学习目标：
（一）知识与技能：
1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
（二）过程与方法：
自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系．
（三）情感、态度、价值观：
在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.
二、重点难点：
重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．
难点：探究发现函数零点的存在性.
三、教学方法
借助多媒体ppt课件,以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式，学生在老师的引导下，通过思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
四、教学设计
（一）回顾旧知，发现问题
我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程的解法以及根的情况的判断，那么方程你会解吗？你能判断根的情况吗？
设计意图:引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。
问题1:观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数
图象与x轴交点的坐标
方
程
函
数
函
数图
象（简图）
方程的实数根
函数的图象与x轴的交点
师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律。
设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。并通过上表得出：一元二次方程的实数根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与x轴交点的个数）。
问题2:若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
方
程ax2+bx+c=0(a>0)的根
函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象（简图）
函数的图象与x轴
的交点
两个不相等的实数根x1
、x2
有两个相等的实数根x1
=x2
没有实数根
师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。
设计意图:
采用表格有利于帮助学生对知识进行疏理，从而初步体会利用二次函数图像判断相应方程根的存在性和个数，体现数形结合的思想方法。问题1到问题2创设符合学生从特殊到一般的认知过程，注重数形结合。以学生已有的认知为生长点，得到函数零点新知识，使新旧知识顺利的衔接并有机联系起来。并得到结论：一元二次方程的实根就是相应二次函数图像与x轴的交点的横坐标。
（二）总结归纳，形成概念
1、函数的零点的概念：
.
2、等价关系：
方程有实数根
.
.
（三）初步运用，示例练习
1.函数的零点是：（
）
A．（1，0），（-2,0），（3，0）
B．1,3
C．（0,1），（0，-2），（0,3）
D．1，-2,3
2.填空
（1）函数的零点是
（2）函数
的零点是
（3）函数的零点个数是
师生互动:让学生思考并提问.
设计意图:
为了帮助学生正确理解并掌握零点概念问题，设置2个问题.（1）强调：零点指的是一个实数（2）揭示函数的零点并把概念符号化（3）让学生从数与形两个方面去寻找零点，既能让学生巩固零点的概念又经历三个等价的过程，从而很自然得出3个命题的等价关系，让学生体会到由具体到抽象的数学思想，并学会求函数零点的方法。
（四）分组讨论，探究结论（零点存在性）
问题3：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？
（1）观察二次函数的图象：
在区间上有零点______，·_____0（＜或＞）.
在区间上有零点______，·____0（＜或＞）.
（2）观察下面函数的图象
在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
思考：若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)
f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）内一定存在零点吗？
（结合图象）
函数的零点存在性定理：
如果函数在区间上的图象是
，并且有
，那么函数在区间内有零点，即存在，使得
，这个也就是方程的根.
【小组合作探究】
1.
若满足了两个条件，则函数一定有零点，有几个？
2.
在定理的条件下，什么时候只有一个？
3.
若则函数在区间内一定没有零点吗？
4.
若函数在区间上有零点，一定有吗？
设计意图:
引导学生理解函数零点存在性定理，分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质．从而突出本节的重点，突破难点。
（五）观察感知，例题学习
例1（教材第90页）求函数的零点个数．
思考：若不借助计算机或计算器，你有没有其他解决问题的方法？
设计意图:
本题让学生体会如何运用零点存在性定理及函数图象和函数基本性质（特别是函数单调性）在确定零点中的作用，进一步让学生体会：用零点存在性定理判断零点存在，用单调性证明零点唯一。
（六）当堂达标，巩固提升
1.函数的零点是(
)
A
1,－4
B
4，－1
C
1，3
D
不存在
2.
函数的零点所在的大致区间为（
）
A.(-1,0)
B.
(0,1)
C.
(1,2)
D.(2,3)
3.函数的零点个数为
设计意图：使学生在课堂及时巩固本节所学知识和方法.
（七）回顾课堂，感悟收获
让学生自愿谈谈一节课的收获，不限制知识技能，思想方法，情感态度，什么都可以谈，什么都可以说，发散思维，表达心声，互相启发，把数学课堂引向生活大课堂！
1.对于零点问题的研究有三个方法：
（1）方程的根
（2）零点存在性定理
（3）函数图象
2.数学思想方面:
由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函数与方程的思想。
设计意图：只有学生说好才是真的好，只要学生有收获，哪怕是一点点感悟，教学就是有效的，教师的价值就得以体现。不求每个同学每节课都能得到很大提升，但求实现互相启迪思维，体验数学快乐，快乐数学。多让几个同学回答，然后老师再适当的加以总结.
（八）课下探究，布置作业
1.A组
2.B组
3.
课下探究：研究的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试以一种系统的、简洁的方式总结表达。
设计意图：更好的巩固本节的知识与方法，同时又体现分层教学的基本思想.
板书设计：
方程的根与函数的零点零点的定义
例1
二.三个等价条件
三.零点存在性定理
4
3(共27张PPT)
一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离
数形结合百般好，隔离分家万事休，
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？
数形结合百般好，隔离分家万事休，
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离
一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步
数缺形时少直观，形少数时难入微，
数形结合百般好，隔离分家万事休，
数缺形时少直观，形少数时难入微，
数缺形时少直观，形少数时难入微，
§3.1.1方程的根与
函数的零点
第三章
函数的应用
§3.1.1方程的根与
函数的零点
x
y
O
思考：方程根与相应函数图象之间有什么关系?
-1
3
x
y
O
1
②
③
y
x
O
1
2
无实数根
问题·探究
问题1：求出下列一元二次方程的实数根，并画出相应的二次函数图象的简图
①
方程ax2
+bx+c=0
(a>0)的根
函数f(x)=
ax2
+bx
+c(a>0)的图象
判别式△
=b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与
x
轴的交点
有两个相等的
实数根
x1
=
x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0)
,
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1
、x2
1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
结论
问题2：对于一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象，上述结论是否仍然成立？
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根和函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的关系
x0是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
f(x0)=0
x0是一般方程f(x)=0的根
f(x0)=0
方程的根
函数的
对于函数y=f(x),
叫做函数
y=f(x)的零点。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
函数的零点定义：
等价关系
使f(x)=0的实数x
概念·形成
小试牛刀
（1）函数
的零点是_____
（2）函数
的零点是_____
1和4
1.函数
的零点是（
）
（3）函数
的零点个数是_____
2.填空
D
函数
y=lnx+2x-6
的零点情况？
问题3：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？什么条件下，函数y=f(x)一定有零点？
1.在区间[-2，1]上有零点
f(-2)
f(1)
0
(填“>”或“<”)
2.在区间[2，4]上有零点
f(2)
f(4)
0
(填“>”或“<”)
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象
<
-1
<
3
－2
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
4
a
0
b
c
d
y
x
<
<
有
1）在区间[a,b]上
（有/无）零点，
有
2）在区间[b,c]上
（有/无）零点，
<
有
3）在区间[c,d]上
（有/无）零点，
观察下面函数
的图象：
a
0
b
c
d
y
x
3
2
-
4
1
2
思考讨论
若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)
f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点吗？
(2)
(1)
(3)
就是方程
的根。
那么
在区间
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
的一条曲线，并且
f(a)·f(b)<0，
(a,
b)内有零点，即存在
使得
c也
连续不断
3
.若
，则函数在区间[a,b]内一定没有零点吗？
2
.在定理的条件下，什么时候只有一个零点？
1.
若满足了两个条件，则函数一定有零点，有几个？
4
.若函数在区间（
a,b
）上有零点，一定有
吗？
探究合作：
零点存在性定理
就是方程
的根。
那么
在区间
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
的一条曲线，并且
f(a)·f(b)<0，
(a,
b)内有零点，即存在
使得
c也
连续不断
探究合作：
零点存在性定理
1.
若满足了两个条件，则函数一定有零点，有几个？
a
b
O
x
y
a
b
O
x
y
a
b
O
x
y
就是方程
的根。
那么
在区间
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
的一条曲线，并且
f(a)·f(b)<0，
(a,
b)内有零点，即存在
使得
c也
连续不断
探究合作：
零点存在性定理
2
.在定理的条件下，什么时候只有一个零点？
a
b
O
x
y
就是方程
的根。
那么
在区间
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
的一条曲线，并且
f(a)·f(b)<0，
(a,
b)内有零点，即存在
使得
c也
连续不断
探究合作：
零点存在性定理
3
.若
，则函数在区间[a,b]内一定没有零点吗？
a
b
O
x
y
a
b
O
x
y
就是方程
的根。
那么
在区间
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
的一条曲线，并且
f(a)·f(b)<0，
(a,
b)内有零点，即存在
使得
c也
连续不断
探究合作：
零点存在性定理
a
b
O
x
y
4
.若函数在区间（
a,b
）上有零点，一定有
吗？
例1
求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3--1）和图象（图3.1--3）.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
表3--1
巩固深化
图3.1--3
由表3--1和图3.1--3可知，f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·
f(3)
<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
0
1
2
3
4
例1
求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
巩固深化
y=－2x
+6
y=lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根,从而函数f(x)=lnx+2x-6只有一个零点
方法2：
函数y=lnx+2x-6的零点的个数,
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，
即求lnx=6-2x的根的个数，
即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数
1.函数
的零点是(
)
A
1,－4
B
4，－1
C
1，3
D
不存在
当堂检测
3.函数
的零点个数为_____
2.函数
的零点所在的大致区间为（
）
A
(-1,0)
B
(0,1)
C
(1,2)
D
(2,3)
1.对于零点问题的研究有三种方法：
（1）方程的根
（2）零点存在性定理
（3）函数图象
2
.数学思想方法：由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函数与方程的思想。
谈谈你的收获
函数零点方程根，
图象连续总有痕。
数形本是同根生，
端值计算是根本。
借问零点何处有，
端值互异零点生。
温
馨
提
示
1.A组
2.B组
3.探究：
分层作业：
的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果
尝试以一种系统的、简洁的方式总结表达。
