人教版九年级上册数学 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习（Word版 含解析）

24.1.2垂直于弦的直径 同步练习
一．选择题
1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　）
A．5 B．4 C． D．2
3．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（　　）
A．13 B．24 C．26 D．28
5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m
6．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（　　）
A．6 B．8 C．3 D．6
7．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（　　）mm．
A．350 B．700 C．800 D．400
8．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（　　）
A．5.5 B．6 C．7.5 D．8
9．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（　　）
A． B．8 C． D．
10．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O的半径为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
二．填空题
11．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为　 　cm．
12．在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝　 　．
13．如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为　 　．
14．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为　 　．
15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为　 　m．
三．解答题
16．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．
17．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
18．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
参考答案
1．解：∵CE＝2，DE＝8，
∴CD＝10，
∴OB＝5，
∴OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，BE＝＝＝4，
故选：B．
2．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得
DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得
AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，
解得DE＝，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．
故选：C．
3．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
4．解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴AC＝AB＝×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
5．解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
设AB＝OB＝OA＝rm，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AB，
∴C，D，O三点共线，
∴AD＝DB＝rm，
在Rt△AOD中，
∴OD＝r，
∵OD+CD＝OC，
∴r+5＝r，
解得：r＝（20+10）m，
∴这段弯路的半径为（20+10）m
故选：D．
6．解：作OE⊥AB于点E，
∵⊙O的半径为6，弦CD＝6，
∴OC＝OD＝CD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵OA＝6，OE⊥AB，
∴AE＝OA?cos30°＝6×＝3，
∴AB＝2AE＝6，
故选：D．
7．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．
设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，
由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，
解得，x＝400，
∴2x＝800，
答：车轱辘的直径为800mm．
故选：C．
8．解：连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，
∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，
∴∠ADC＝∠FDB，
∴∠ADF＝∠CDB，
∴，
∴AF＝BC＝12，
∵∠DAF＝90°，
∴DF＝，
∴⊙O的半径为7.5．
故选：C．
9．解：连结BE，如图，
∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．
故选：D．
10．解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，
∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°
又∵OC＝OD，
∴∠ODP＝∠OCP，
∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODB＝45°+∠ODC，
∴∠NDO＝∠COM，
在Rt△ODN与Rt△COM中，
，
∴Rt△ODN≌Rt△COM，
∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN
又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2
∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2
∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8
∴OC2＝4，
∴OC＝2，
故选：B．
11．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为12．
12．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
如图1，
在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，
∴OE＝＝1，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∴PE＝PF＝1，
∴PA＝PC＝1，
∴S△APC＝＝；
如图2，
同理：S△APC＝＝；
如图3，
同理：S△APC＝＝；
故答案为：或或．
13．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
而OE⊥AB，OF⊥CD，
∴PO平分∠BPD，
∴∠APO＝∠OPC，
∵OA∥PC，
∴∠AOP＝∠OPC，
∴∠APO＝∠AOP，
∴PA＝AO＝5，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OE＝＝3，
在Rt△POE中，PO＝＝3．
故答案为3．
14．解：连接BE．
∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF?BC
即：30x2＝60
解得：x＝，
∴EC2＝FC?BC＝6x2＝12
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+2，
∵AD?AB＝AE?AC
∴AD＝＝＝．
故答案为．
15．解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m．
故答案为：25．
16．解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴AC为直径．
∴∠ADC＝90°．
∵AE＝DE，DE⊥AB，
∴∠DAB＝∠ADE＝45°．
∴∠BCF＝∠DAB＝45°．
∴BC＝BF＝3．
在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，
∴EF＝ED＝1．
∴AB＝5．
∴AC＝＝．
∴⊙O半径的长．
17．解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施．
18．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠BFO＝90°
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：，
解得（舍弃）或，
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，
∴四边形EFHC是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝＝＝2，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，
∴∠FOB＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS），
∴OF＝EC＝，
∴CH＝EF＝3，
∴AC＝EF＝6．