人教版九年级上册数学微专题专练 22.1.4 二次函数y=ax2 bx c的图像和性质（word版含答案）

人教版九年级上册数学微专题专练
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
一．知识点回顾：
1.二次函数y=ax2+k的图象是抛物线,它与抛物线y=ax2的形状　
　,只是位置　
　.当k>0时,将抛物线y=ax2向　
　平移　
　个单位,就得到抛物线y=ax2+k;当k<0时,将抛物线y=ax2向　
　平移　
　个单位,就得到抛物线y=ax2+k.它的对称轴是　
　轴,顶点坐标为　
　.?
2.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
y=a(x-h)2
取值
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
a>0
向　
直线
在对称轴的左侧,y随x的增大而　
　;
在对称轴的右侧,y随x的增大而　
a<0
向　
直线
在对称轴的左侧,y随x的增大而　
　;
在对称轴的右侧,y随x的增大而　
3.二次函数y=ax2与y=ax2+k,y=a(x-h)2之间的关系:形状大小相同,开口方向相同,对称轴两侧增减性相同,而顶点的位置、对称轴、最值不同.
2.类比y=ax2可得y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象与性质.
二．练习反馈
1.抛物线y=-2x2+1的对称轴是
(　
　)
A.直线x=
B.直线x=-
C.y轴
D.直线x=2
2.如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0,那么必有
(　
　)
A.a>0,m取任意实数
B.a>0,m>0
C.a<0,m>0
D.a,m均可取任意实数
3.把抛物线y=x2向下平移2个单位,得到的抛物线的表达式是
(　
　)
A.y=x2+1
B.y=x2-3
C.y=x2-2
D.y=x2+2
4.关于抛物线①y=x2;②y=-x2+1;③y=(x-2)2,下列结论正确的是
(　
　)
A.顶点相同
B.对称轴相同
C.形状相同
D.都有最高点
5.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是
(　
　)
A.y=-x+1
B.y=x2-1
C.y=
D.y=-x2+1
6.函数y=与y=-ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是
(　
　)
7.下列抛物线中,顶点坐标是(-3,0)的抛物线是
(　
　)
A.y=-3x2-3
B.y=-3x2+3
C.y=-3(x-3)2
D.y=-3(x+3)2
8.与抛物线y=-5x2-1顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数是
(　
)
A.y=-5x2-1
B.y=5x2-1
C.y=-5x2+1
D.y=5x2+1
9.二次函数y=-x2+1的最大值是　
　.?
10.已知二次函数y=ax2-1(a≠0)有最大值为-1,则a=　
　.(取一个适当的值即可)?
11.如果点A(-3,y1)和点B(-2,y2)是抛物线y=x2+a上的两点,那么y1　
　y2.(填“>”“=”“<”).?
12.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为
__.
13.
写出顶点坐标为(0,-2),开口方向与抛物线y=2x2的方向相反,形状相同的抛物线表达式为_
__.
14.
已知抛物线y=-(x-1)2的图象上有三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),且x1>x2>x3>1,则y1,y2,y3的大小关系是_
__.
15.
如图,有一座抛物线形拱桥,已知桥下在正常水位AB时,水面宽8m,水位上升3m,就达到警戒水位CD,这时水面宽4m,若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,求水过警戒水位后几小时淹到拱桥顶.　
16.已知抛物线y=ax2+3经过点A(-2,-13).
(1)求a的值.
(2)若点P(m,-22)在此抛物线上,求点P的坐标.
17.已知点(2,8)在函数y=ax2+b的图象上,当x=-1时,y=5.
(1)求a,b的值.
(2)如果点(12,m),(n,17)也在这个函数的图象上,求m与n的值.
18.
二次函数图象的顶点在原点O,经过点A;点F(0,1)在y轴上.直线y=-1与y轴交于点H.
(1)求二次函数的表达式.
(2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M,求证:FM平分∠OFP.
(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.
19.某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验,对函数y=的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:
(1)该函数的自变量x的取值范围是　　　　　.?
(2)同学们先找到y与x的几组对应值,然后在如图的平面直角坐标系xOy中,描出以各组对应值为坐标的点.请你根据描出的点,画出该函数的图象.
(3)结合图象,写出当x<2时,在x=　　　　　　时,函数取得最大值y=　　　　　　.?
(4)结合画出的函数图象,写出该函数的一条性质:　　　　　　　　　
　
　　　　　　　　　　　　　　　.?
20.
如图,抛物线y=ax2+4与x轴交于A,B两点(A左B右),与y轴交于点C,AB=4.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若CD⊥AC,CD=AC,AD交抛物线于点P,求点P的坐标.
人教版九年级上册数学微专题专练
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（解析版）
一．知识点回顾：
1.二次函数y=ax2+k的图象是抛物线,它与抛物线y=ax2的形状　相同　,只是位置　不同　.当k>0时,将抛物线y=ax2向　上　平移　k　个单位,就得到抛物线y=ax2+k;当k<0时,将抛物线y=ax2向　下　平移　-k　个单位,就得到抛物线y=ax2+k.它的对称轴是　y　轴,顶点坐标为　(0,k)　.?
2.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
y=a(x-h)2
取值
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
a>0
向　上
直线x=h
(h,0)
在对称轴的左侧,y随x的增大而　减小　;
在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大
a<0
向　下
直线x=h
(h,0)
在对称轴的左侧,y随x的增大而　增大　;
在对称轴的右侧,y随x的增大而　减小
3.二次函数y=ax2与y=ax2+k,y=a(x-h)2之间的关系:形状大小相同,开口方向相同,对称轴两侧增减性相同,而顶点的位置、对称轴、最值不同.
2.类比y=ax2可得y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象与性质.
二．练习反馈
1.抛物线y=-2x2+1的对称轴是
(　C　)
A.直线x=
B.直线x=-
C.y轴
D.直线x=2
2.如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0,那么必有
(　B　)
A.a>0,m取任意实数
B.a>0,m>0
C.a<0,m>0
D.a,m均可取任意实数
3.把抛物线y=x2向下平移2个单位,得到的抛物线的表达式是
(　C　)
A.y=x2+1
B.y=x2-3
C.y=x2-2
D.y=x2+2
4.关于抛物线①y=x2;②y=-x2+1;③y=(x-2)2,下列结论正确的是
(　C　)
A.顶点相同
B.对称轴相同
C.形状相同
D.都有最高点
5.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是
(　B　)
A.y=-x+1
B.y=x2-1
C.y=
D.y=-x2+1
6.函数y=与y=-ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是
(　D　)
7.下列抛物线中,顶点坐标是(-3,0)的抛物线是
(　D　)
A.y=-3x2-3
B.y=-3x2+3
C.y=-3(x-3)2
D.y=-3(x+3)2
8.与抛物线y=-5x2-1顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数是
(　B　)
A.y=-5x2-1
B.y=5x2-1
C.y=-5x2+1
D.y=5x2+1
9.二次函数y=-x2+1的最大值是　1　.?
10.已知二次函数y=ax2-1(a≠0)有最大值为-1,则a=　-2　.(取一个适当的值即可)?
11.如果点A(-3,y1)和点B(-2,y2)是抛物线y=x2+a上的两点,那么y1　>　y2.(填“>”“=”“<”).?
12.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为
_6__.
13.
写出顶点坐标为(0,-2),开口方向与抛物线y=2x2的方向相反,形状相同的抛物线表达式为_
y=-2x2-2___.
14.
已知抛物线y=-(x-1)2的图象上有三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),且x1>x2>x3>1,则y1,y2,y3的大小关系是
y115.
如图,有一座抛物线形拱桥,已知桥下在正常水位AB时,水面宽8m,水位上升3m,就达到警戒水位CD,这时水面宽4m,若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,求水过警戒水位后几小时淹到拱桥顶.　
【解析】根据题意建立坐标系如图:
设抛物线解析式为:y=ax2+h.
∵B(4,0),D(2,3),
∴解得:
∴y=-x2+4,∴M(0,4),即OM=4m,
∴MN=OM-ON=4-3=1,
则t==5(小时).
答:水过警戒水位后5小时淹到拱桥顶.
16.已知抛物线y=ax2+3经过点A(-2,-13).
(1)求a的值.
(2)若点P(m,-22)在此抛物线上,求点P的坐标.
【解析】(1)将点A(-2,-13)代入y=ax2+3,得-13=4a+3,解得a=-4,∴a的值为-4.
(2)由(1)可知,抛物线的函数表达式为y=-4x2+3,∵点P(m,-22)在此抛物线上,∴-22=-4m2+3,
解得m=±,∴点P的坐标为或.
17.已知点(2,8)在函数y=ax2+b的图象上,当x=-1时,y=5.
(1)求a,b的值.
(2)如果点(12,m),(n,17)也在这个函数的图象上,求m与n的值.
【解析】(1)由题意可知:解得
(2)由(1)得y=x2+4,将(12,m),(n,17)代入y=x2+4,得:m=144+4,17=n2+4,
解得m=148,n=±.
18.
二次函数图象的顶点在原点O,经过点A;点F(0,1)在y轴上.直线y=-1与y轴交于点H.
(1)求二次函数的表达式.
(2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M,求证:FM平分∠OFP.
(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.
【解析】(1)∵二次函数图象的顶点在原点O,
∴设二次函数的表达式为y=ax2,
将点A代入y=ax2得:a=,
∴二次函数的表达式为y=x2.
(2)∵点P在抛物线y=x2上,
∴可设点P的坐标为,
过点P作PB⊥y轴于点B,则BF=,
PB=|x|,
∴在Rt△BPF中,
PF==x2+1,
∵PM⊥直线y=-1,∴PM=x2+1,
∴PF=PM,∴∠PFM=∠PMF,
又∵PM∥y轴,
∴∠MFH=∠PMF,
∴∠PFM=∠MFH,
∴FM平分∠OFP.
(3)当△FPM是等边三角形时,∠PMF=60°,
∴∠FMH=30°,
在Rt△MFH中,MF=2FH=2×2=4,
∵PF=PM=FM,∴x2+1=4,
解得:x=±2,
∴x2=4-1=3,
∴满足条件的点P的坐标为(2,3)或(-2,3).
19.某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验,对函数y=的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:
(1)该函数的自变量x的取值范围是　　　　　.?
(2)同学们先找到y与x的几组对应值,然后在如图的平面直角坐标系xOy中,描出以各组对应值为坐标的点.请你根据描出的点,画出该函数的图象.
(3)结合图象,写出当x<2时,在x=　　　　　　时,函数取得最大值y=　　　　　　.?
(4)结合画出的函数图象,写出该函数的一条性质:　　　　　　　　　
　
　　　　　　　　　　　　　　　.?
【解析】(1)∵(x-2)2≠0,∴x≠2.
答案:x≠2
(2)连线,画出函数图象,如图所示.
(3)观察函数图象可知:当x=1时,y取最大值,最大值为2.
答案:1　2
(4)观察函数图象,当x<1时,y值随x值的增大而增大(答案不唯一).
答案:当x<1时,y值随x值的增大而增大(答案不唯一)
20.
如图,抛物线y=ax2+4与x轴交于A,B两点(A左B右),与y轴交于点C,AB=4.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若CD⊥AC,CD=AC,AD交抛物线于点P,求点P的坐标.
【解析】(1)抛物线y=ax2+4的对称轴为y轴.
∵与x轴交于A,B两点且AB=4,
∴点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(2,0),
将(2,0)代入表达式得0=4a+4.
解得a=-1,
∴抛物线的表达式为y=-x2+4.
(2)过点D作DE垂直于y轴,垂足为点E.
∵∠ACO+∠DCO=90°,∠DCE+∠CDE=90°,
∴∠ACO=∠CDE.
在△AOC和△CED中,∠AOC=∠CED,∠OCA=∠CDE,AC=CD,
∴△AOC≌△CED,
∴CO=ED=4,CE=AO=2,
∴点D(4,2).将A(-2,0),D(4,2)代入y=kx+b得
解得
∴AP所在直线表达式为y=x+,
将两函数联立得
解得或(舍去)
所以点P的坐标为.