苏科版八年级数学上册 第二章轴对称图形单元复习提高练习（Word版 含解析）

轴对称图形单元复习提高练习
一、单选题
1.如图，已知
是
的角平分线，
是
的垂直平分线，
，
，则
的长为（?
?）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?5??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?
2.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为(??
)
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
3.如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（??
）
A.?45°???????????????????????????????????????B.?55°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?75°
4.如图，△ABC的面积为8cm2
，
AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（??
）
A.?2cm2??????????????????????????????????B.?3cm2??????????????????????????????????C.?4cm2??????????????????????????????????D.?5cm2
5.如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（
??）
A.?4cm????????????????????????????????????B.?2cm????????????????????????????????????C.?cm????????????????????????????????????D.?1cm
6.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（　　）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为(?
)
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
8.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（?????）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
二、综合题
9.在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．
（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？（不要求写理由）
（3）在（2）的条件下，当∠DBA等于多少度时，存在AQ=2BD？说明理由.
10.如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）填空：∠ACB=________；∠CAM=________；
（2）求证：△ACD≌△BEC；
（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；
（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．
11.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
12.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E。
（1）写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个说明理由。
（2）直接写出BD，CE，DE之间的数量关系。
（3）若DE=5cm，CE=8cm，BF=24cm，求△BDF的面积。
13.如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．
（1）当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF=CD；
（2）当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；
（3）只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图
4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为________（不必证明）．
14.如图，在
中，
，点
为边
上一点，
，且
,点
关于直线
的对称点为
，连接
，又
的
边上的高为
.
（1）判断直线
是否平行？并说明理由；
（2）证明：
.
15.如图，△ABC是等腰直角三角形，延长BC至E使BE=BA，过点B作BD⊥AE于点D，BD与AC交于点F，连接EF．
（1）求证：BF=2AD；
（2）若CE=
，求AC的长．
答案与解析
一、单选题
1.如图，已知
是
的角平分线，
是
的垂直平分线，
，
，则
的长为（?
?）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?5??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE=
，
故答案为：D
2.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为(??
)
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
【答案】B
【解析】【解答】连接BH，如图，
∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，
∴∠1=∠2，EB=EH,BH⊥EG,
而∠1＞60°，
∴∠1≠∠AEH，
∵EB=EH，
∴∠EBH=∠EHB，
又∵点E是AB的中点，
∴EH=EB=EA，
∴EH=AB，
∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4.
则与∠BEG相等的角有3个。
故答案为：B.
3.如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（??
）
A.?45°???????????????????????????????????????B.?55°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?75°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故选C
4.如图，△ABC的面积为8cm2
，
AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（??
）
A.?2cm2??????????????????????????????????B.?3cm2??????????????????????????????????C.?4cm2??????????????????????????????????D.?5cm2
【答案】C
【解析】【解答】如图，延长AP交BC于点E，
????????????
????????????
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，
????????????
又知BP=BP，∠APB=∠EPB=90，
????????????
∴ABPEBP（ASA）
????????????
∴SABP=SEBP
，
AP=PE，
????????????
∴APC和CPE等底同高，
????????????
∴SACP=SECP
，
????????????
∴SPBC=SEBP+SECP=SABC=4cm2.
????????????
故答案为：C.
5.如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（
??）
A.?4cm????????????????????????????????????B.?2cm????????????????????????????????????C.?cm????????????????????????????????????D.?1cm
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，取AB、CD中点K、G，连接KG、BD交于点O.
由题意可知点Q运动的路线就是线段OG，
∵DO=OB，DG=GC，
∴OG=
BC=
×4=2.
∴点Q移动路线长度的最大值是2.
故选B.
6.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（　　）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【解析】【解答】解：连结DE，作FH⊥BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE=BE=2，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°，
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
，
∴△DPE≌△FDH，
∴FH=DE=2，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2?，
当点P在E点时，作等边三角形DEF1
，
∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2
，
作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，
∴F1F2=DQ=8，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．
故选：A
7.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为(?
)
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】C
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=，AB=1，
∴tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，故②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，故③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
∴BE=3ED，故④正确；
∴正确的有3个，
故选C．
8.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（?????）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
【答案】D
【解析】【分析】矩形纸片ABCD中，AD=BC，，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，
根据折叠的特征，AB=AF，BE=EF，；
已知AD=8，EF=3，所以BE=3，BC=8，CE=BC-BE=8-3=5，
在中，由勾股定理得，解得CF=4；
在中，由勾股定理得，，所以，解得AB=6
故选择D。
二、综合题
9.在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．
（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？（不要求写理由）
（3）在（2）的条件下，当∠DBA等于多少度时，存在AQ=2BD？说明理由.
【答案】（1）解：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中：
?，
∴△ACQ≌△BCP（ASA）
∴BP=AQ
（2）解：成立
（3）解：由（2）可知，BP=AQ，故要使AQ=2BD，需使BP=2BD，即需AB=AP，就需∠DBA=∠P，结合∠DBA+∠P=∠BAC=45°可知，只需∠DBA=22.5°即可
10.如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）填空：∠ACB=________；∠CAM=________；
（2）求证：△ACD≌△BEC；
（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；
（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．
【答案】（1）60°；30°
（2）证明：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
（3）补全图形如下：
由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，
∴∠CBE=∠CAM=30°，
∵∠BMF=90°，
∴∠BFM=60°；
（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
又∵AF⊥BC，
∴Rt△BFM中，∠BFM=90°-30°=60°。
11.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF=
=13，
∴OC=
EF=6.5
（3）解：解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形
12.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E。
（1）写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个说明理由。
（2）直接写出BD，CE，DE之间的数量关系。
（3）若DE=5cm，CE=8cm，BF=24cm，求△BDF的面积。
【答案】（1）解：△DBF、△ECF以说明△DBF为例：
?
∵BF平分∠ABC??
∴∠DBF=∠CBF
?
∵DF∥BC???????
∴∠CBF=∠DFB
??
∴∠DBF=∠DFB,即△DBF为等腰三角形。
（2）解：BD=DE+CE
理由如下：
因为△DBF、△ECF为等腰三角形
BD=FD，CE=EF
DF=DE+EF=DE+CE
所以BD=DE+CE
（3）解：
如图，做DG⊥BF与G
∵BD=FD
∴FG=BF=12cm
又DF=DE+CE=5+8=13cm
由勾股定理得DG=5cm
S△BDF=BF×DG=×24×5=60cm
答：△BDF的面积为60cm。
13.如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．
（1）当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF=CD；
（2）当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；
（3）只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为________（不必证明）．
【答案】（1）证明：如图2：
∵△ABC与△BEF都为等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC=CD，EB=BF，
∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBF﹣∠EBC，即∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF，
则CD=AC=AE+EC=FC+EC
（2）解：CE=CF+CD，理由为：
证明：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，
∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CDG=60°，△CDG为等边三角形，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，ED=FD，GD=CD，
∴∠EDF﹣∠GDF=∠GDC﹣∠GDF，即∠EDG=∠FDC，
在△EDG和△FDC中，
，
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴EG=FC，
则CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD；
（3）CF=CE+CD
【解析】【解答】（3）CF=CE+CD，理由为：
证明：过D作DG∥AC，交FC于点G，
∵GD∥AC，
∴∠GDC=∠DGC=60°，即△GCD为等边三角形，
∵△EDF为等边三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，
∴∠EDF﹣∠DEG=∠GDC﹣∠EDG，即∠FDG=∠EDC，
在△ECD和△FGD中，
，
∴△ECD≌△FGD（SAS），
∴EC=FG，
则FC=FG+GC=EC+CD．
故答案为：（3）CF=CE+CD．
14.如图，在
中，
，点
为边
上一点，
，且
,点
关于直线
的对称点为
，连接
，又
的
边上的高为
.
（1）判断直线
是否平行？并说明理由；
（2）证明：
.
【答案】（1）解：BD//AH．?
证明：∵点C关于直线PA的对称点为D，
∴PC＝PD，AD＝AC，∠APC＝∠APD．
又∵
∠ABC＝45°，∠PAB＝15°，
∴∠APC＝∠ABC＋∠PAB＝60°，
∴∠DPB＝180°－∠DPA－∠APC＝60°．
∵BC＝3BP，∴BP＝
PC，
∴BP＝
PD；
取PD的中点E，连接BE，则PE＝PB，
∴△BPE为等边三角形，
∴BE＝PE＝DE，
∴∠DBE＝∠BDE＝
∠BEP＝30°．
∴∠DBP＝∠DBE＋∠EBP＝90°．
又∵
AH⊥PC，∴∠AHC＝90°，
∴∠DBP＝∠AHC，∴DB//AH
（2）证明：作ΔADP的PD边上的高为AF，又作AG⊥BD交BD的延长线于G，
由对称性知，AF＝AH．
∵∠GBA＝∠GBC－∠ABC＝45°，
∴∠GBA＝∠HBA＝45°，
∴AG＝AH，
∴AG＝AF，
∴AD平分∠GDP，
∴∠GDA＝
∠GDP＝
?(180°－∠BDP)
＝75°．
∴∠CAH＝∠DAF＝∠GAD＝90°－∠GDA＝15°，
∵∠BAP＝15°，
∴∠BAP＝∠CAH．
15.如图，△ABC是等腰直角三角形，延长BC至E使BE=BA，过点B作BD⊥AE于点D，BD与AC交于点F，连接EF．
（1）求证：BF=2AD；
（2）若CE=
，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∴∠FCB=∠ECA=90°，
∵AC⊥BE，BD⊥AE，
∴∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，
∵∠CFB=∠AFD，
∴∠CBF=∠CAE，
在△BCF与△ACE中，
，
∴△BCF≌△ACE，
∴AE=BF，
∵BE=BA，BD⊥AE，
∴AD=ED，即AE=2AD，
∴BF=2AD
（2）解：由（1）知△BCF≌△ACE，
∴CF=CE=
，
∴在Rt△CEF中，EF=
=2，
∵BD⊥AE，AD=ED，
∴AF=FE=2，
∴AC=AF+CF=2+
．