(共25张PPT)
2.3幂函数
高一（上）
数学必修1
人教A版
数缺形时少直观，
形少数时难入微；
数形结合百般好，
隔离分家万事休.
数学家
华罗庚
请同学们说出下列函数的名称
正比例函数
反比例函数
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数p
=
元，
。
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
是S
=
，
。
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V
=
，
。
问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=
，
。
问题5：如果某人t
s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v
=
，
。
w
这里p是w的函数
a?
这里S是a的函数
a?
这里V是a的函数
S
这里a是S的函数
这里v是t的函数
t
km/s
以上问题中的函数有什么共同特征？
都是形如
的函数。
一般地，我们把形如
的函数叫做幂函数，其中
为自变量，
为常数。
一、幂函数的定义：
判断下列函数是否为幂函数.
(1)
y=x4
(3)
y=
2x
(5)
y=2x2
(6)
y=x3+2
判一判
例1
待定系数法
式子
名称
常数
x
y
指数函数:
y=a
x
（a>0且a≠1)
幂函数:
y=
xα
a为底数
指数
α为指数
底数
幂值
幂值
二、幂函数与指数函数比较
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看自变量x是指数还是底数
幂函数
指数函数
如何画出下列幂函数的图象？
三、五个常用幂函数的图象和性质
定义域：
值
域：
奇偶性：
单调性：
函数
的图象
定义域：
值
域：
奇偶性：
单调性：
函数
的图象
定义域：
值
域：
奇偶性：
单调性：
函数
的图象
几何画板演示图象形成过程
我们得到了这五个函数在同一坐标系中的图象（如下图）
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
y=
x3
定义域
值
域
单调性
公共点
y
=
x
R
R
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
在R上是增函数
在（－∞,0]上是减函数，在(0,
+∞）上是增函数
在R上是增函数
在(0，+∞)上是增函数
在(
－∞,0)，(0,
+∞）上是减函数
（1，1）
奇偶性
y
=
x2
根据图象与表格我们得到如下性质
函数 的图象都通过点（1,1）；
函数 是奇函数，函数 是偶函数；
在区间 上，函数 是增函数，函数 是减函数；
在第一象限内,函数 的图象向上与 轴无限接近，向右与X轴无限接近。
方法技巧:分子有理化
（学案第3页）
例2
学案第3页：六
“检测反馈”
探究
探究
1、幂函数的定义
形如
y=xα（
α为常数）的
函数叫幂函数。
2、幂函数与指数函数的区别：
看自变量x是指数还是底数
若x是指数，则它是指数函数，如y=
2x
若x是底数，则它是幂函数，如y=x2
3、幂函数定义的应用
①判断什么样的函数是幂函数
②根据幂函数的定义求参数的值
③用待定系数法求幂函数的解析式
4
、思想方法：数形结合
课堂小结
课时作业
学案第3页“七、课时分层作业”2.3幂函数
一、??教学分析
（一）教学内容分析
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。
本节课对幂函数的研究，对于函数，，的图象与性质，学生已经非常熟悉了，通过自主研究就可以完成；函数，是两个新函数，通过老师的点拨让学生合作完成对这两个函数图象与性质的研究。本节内容计划用一课时完成。
（二）教学对象分析
在此之前，学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象与性质的学习经历，对幂函数的学习有了较高的兴趣，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。
（三）教学环境分析
（1）利用PPT课件、几何画板展示；
（2）通过几何画板直观展示五个幂函数的图象，让学生主动发现、主动探索，不仅使学生的逻辑思维能力得到较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维，充分体现信息技术与数学教学整合的必要性；
（3）利用多媒体教学，学生可以自己控制和掌握学习主动权，发挥主体积极性，激发学生的学习兴趣，促进学生眼、耳、手、脑并用，同时学生在这种学习过程中，能不断产生成功的喜悦，增强学习数学的信心，从而真正让学生自然、和谐、健康、主动的学习。
二、教学目标分析
1、
知识与技能：
（1）通过实例，了解幂函数的概念，熟悉时的幂函数的图象与性质；
（2）结合五个具体的函数的图象，了解它们图象的发展变化情况。
2、
过程与方法：
（1）经历从具体情境中抽象出幂函数模型的过程；
（2）加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣；
（3）通过比较知道幂函数与学过的一些函数的关系，进一步懂得学习函数的方法.
3、情感态度价值观：
（1）通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发的好奇心和主动学习的欲望；
（2）通过幂函数的概念的学习，进一步体会数形结合的思想,
养成利用数形结合解决问题的习惯。
三、教学重难点
重、难点：幂函数的图象与性质
四、教学过程
教学环节
教学内容
教学设计
设计意图
信息技术整合点
复习回顾
回忆已经学习过的函数模型
让学生回忆已经学习过的函数模型：，，，，，且，，且
回顾已学的知识，有利于本节课的顺利进行.
通过多媒体把已经学习过的函数模型一一展示，旨在揭示科学研究方法，从而暴露知识的形成过程。
新课导入
利用课件展示具体问题，抽象出形如（是常数）的函数
利用课件展示几个具体的问题，并让学生抽象出这几个具体实例均是形如（是常数）的函数，引导学生的研究兴趣.
使学生经历由具体到一般的学习过程.
利用课件展示具体问题，抽象得出所研究的问题，从而揭示定义内涵.
新课讲授
幂函数的概念
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。判一判：判断下列函数是否为幂函数.（1）
（2）（3）
（4）
（5）（6）（7）
（8）之后学生做“例1”
教师引导学生总结幂函数的特点判一判的目的：认识幂函数的解析式的特点；例1的目的：幂函数与指数函数的区别.
幂函数与指数函数的区别
思考：指数函数与幂函数有什么区别？
对两类不同函数模型的表达式进行辨析
多媒体展示辨析结果
总结交流填表作图
课标要求的五个幂函数
思考：如何画出下列幂函数的图象？（描点法）
对于幂函数，我们只讨论时的情形
多媒体展示五个幂函数
通过五个具体的幂函数研究幂函数的性质
研究课标要求的五个幂函数的性质定义域：值域：奇偶性：单调性：1.
独立完成前三个熟悉的幂函数的性质2.如何研究幂函数（4），（5）？采用什么方法？
前三个幂函数是学生熟悉的，让学生独立完成性质的研究对于（4），（5）两个幂函数，与学生一起分析研究方法，采用“列表，描点，连线”的方式，利用几何画板直观演示，完成对它们性质的研究。总结：幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
通过多媒体展示这几个不同幂函数的图象，以直观形象的形式帮助学生研究其性质，激发学生的参与积极性，调动学生强烈的学习欲望，激发学习动机和兴趣,使学生能更好、更快、更准地把握教学中的重点、难点
例题讲解
巩固知识
例1.（1）幂函数的图象过点，求该函数的解析式.
（2）指数函数的图象过点，求该函数的解析式.例2.证明幂函数在上是增函数.
通过例1，弄清幂函数与指数函数的区别，体现数学方法：待定系数法；通过例2，利用单调性的定义证明函数的单调性。在证明过程中利用了分子有理化方法.
利用多媒体展示解题过程
课堂变式训练
巩固练习提高认识
1.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（
）（A）1，3
（B）-1，1（C）-1，3
（D）-1，1，32.下列函数中值域为的函数是（
）（A）
（B）
（C）
（D）3.已知幂函数的图象经过
4.已知函数（为常数）1）为何值时，此函数为幂函数？2）为何值时，此函数为正比例函数？3）为何值时，此函数为反比例函数？
巩固所学知识
探究
1.讨论函数的定义域，值域，奇偶性，并画出图象示意图.2.讨论函数的定义域，值域，奇偶性，并画出图象示意图.
学完基础知识,时间允许的话进行这两个问题的探究(如果不允许,可以不探究)
归纳总结
1.定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。2、幂函数与指数函数的区别：
看未知数x是指数还是底数若x是指数，则它是指数函数，如
若x是底数，则它是幂函数，如3、幂函数定义的应用
①判断什么样的函数是幂函数
②根据幂函数的定义求参数的值
③用待定系数法求幂函数的解析式4、思想方法：数形结合
回顾总结对学生的学习做出简要总结，加深对所学知识的理解和掌握
把一节课所学的知识用简洁的数学语言归纳总结到一起，起到画龙点睛的作用。
布置作业
学案：七、课时分层作业
课后强化学习效果，拓展思路
五、板书设计
2.3
幂函数 一、定义 二、图象与性质三、思想方法：1.待定系数法2.数形结合思想 五、作业（通过PPT）
例1.（1）例2.
四、例1.（2）
PAGE
4班级：__________
姓名：______________
学号：__________
§2.3幂函数
一、学习目标：
1、了解幂函数的概念；熟悉时的幂函数的图象与性质；
2、通过比较知道幂函数与学过的一些函数的关系，进一步懂得学习函数的方法.
二、重、难点：幂函数的图象与性质
三、知识回顾
1、指数函数的图象与性质与对数函数的图象与性质比较表
名称
指数函数
对数函数
一般形式
定义域
值域
函数值变化情况
单调性
图像关系
四、探究合作
1、幂函数的定义
一般地，函数__________叫做幂函数,其中___是自变量，___是常数.
判一判：判断下列函数是否为幂函数.
（1）
_____
；
（2）
_____
；
（3）
_____
；
（4）
_____
；
（5）_____
；
（6）
____；
（7）
_____
；
（8）_____
.
思考：幂函数与指数函数的区别是什么？
2、幂函数的图象与性质
（1）请同学们在同一坐标系中画出幂函数，，，，
的图象，认真观察它们的图象，能否发现它们各自及共同的性质？
（2）观察图象，将你发现的结论写在下表内
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
（3）通过上述图与表，我们得到：
（Ⅰ）函数与的图象都通过点；
（II）函数___________________________是奇函数，函数__________是偶函数；
（III）在区间上，函数___________________________________是增函数，
函数??????________________是减函数；
（IV）第一象限内，函数的图象向上与___轴无限接近，向右与____轴无限接近。
五、典型例题
例1.（1）幂函数的图象过点，求该函数的解析式.
（2）指数函数的图象过点，求该函数的解析式.
本例在求解过程中，用到的数学方法为：________________.
例2.证明幂函数在上是增函数.
六、检测反馈
1.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（
）
（A）1，3
（B）-1，1（C）-1，3（D）-1，1，3
2.下列函数中值域为的函数是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
3.已知幂函数的图象经过
.
4.已知函数（为常数）
1）为何值时，此函数为幂函数？
2）为何值时，此函数为正比例函数？
3）为何值时，此函数为反比例函数？
七、课时分层作业
A组：基础巩固组
1.下列函数是幂函数的为（
）
（A）（B）（C）（D）
2.下列命题中正确的是（
）
（A）当时函数的图象是一条直线
（B）幂函数的图象都经过和点
（C）若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
（D）幂函数的图象不可能出现在第四象限
3.
已知是幂函数，_____________.
4.若既是幂函数，又是反比例函数，则____________.
5.幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式.
6.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率关于管道半径的函数解析式；
（2）若气体在半径为的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为的管道时，其流量速率的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为，计算该气体的流量速率（精确到）.
B组：能力提升组
7.设函数，若，则的取值范围是_______________.
8.幂函数，当时为减函数，求实数的值，并求函数的定义域.
探究:1.讨论函数的定义域，值域，奇偶性，并画出图象示意图.
2.讨论函数的定义域，值域，奇偶性，并画出图象示意图.
PAGE
2
