第1课时两角差的余弦公式
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.化简sin(x+y)sin(y-x)-cos(x+y)cos(x-y)的结果
为
( )
A.sin
2y
B.cos
2y
C.-cos
2y
D.-sin
2y
答案:C
2.若α∈[0,π],sin
sin
+cos
cos
=0,则α的值是
( )
A.
B.
C.
D.
答案:D
3.在平面直角坐标系中,角α与角β均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin
α=,则cos(α-β)=-.
4.若cos
α=,cos(α-β)=-,<α<2π,<α-β<π,则cos
β=-1.
5.若x∈,π,且sin
x=,求2cosx-+2cos
x的值.
解:因为x∈[,π],sin
x=,所以cos
x=-.
于是2cos(x-)+2cos
x=2(cos
xcos
+sin
x·
sin
)+2cos
x=2(-cos
x+sin
x)+2cos
x=
sin
x+cos
x=-=.
B级 能力提升
6.若cosθ+=,0<θ<,则cos
θ等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为θ∈(0,),所以θ+∈(,).
又因为cos(θ+)=,
所以sin(θ+)=,所以cos
θ=cos[(θ+)-
]=cos(θ+)cos
+sin(θ+)sin
=×
+×=.
答案:A
7.若cos(α-)+sin
α=,则cos
(α-)的值是.
解析:因为cos(α-)+sin
α=cos
α+sin
α=,所以cos
α+sin
α=,
所以cos(α-)=cos
α+sin
α=.
8.若sin
α+sin
β+sin
γ=0,cos
α+cos
β+cos
γ=0,则cos(α-β)的值是-.
解析:由题意,得sin
α+sin
β=-sin
γ,
①
cos
α+cos
β=-cos
γ,
②
①2+②2,得2+2(sin
αsin
β+cos
αcos
β)=1,
所以cos(α-β)=-.
9.如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.
(1)如果A,B两点的纵坐标分别为,,求cos
α和sin
β;
(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值.
解:(1)因为☉O为单位圆,且点A,B的纵坐标分别为,,
所以sin
α=,sin
β=.
因为α为锐角,所以cos
α=.
(2)因为β为钝角,且结合(1)知cos
β=-,
所以cos(β-α)=cos
βcos
α+sin
βsin
α=-×+×=.
C级 挑战创新
10.已知点P(1,)是角α终边上一点,则
sin
α·
cos
α=,cos
(-α)=.
解析:由题意可得sin
α=,cos
α=,
所以sin
αcos
α=×=,
Cos(-α)=cos
cos
α+sin
sin
α=×+×=.第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.计算sin
47°cos
17°+cos
47°cos
107°的结果等于
( )
A.-
B.
C.
D.
答案:D
2.若sin(α+β)cos
β-cos(α+β)sin
β=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于
( )
A.1
B.-1
C.0
D.±1
答案:C
3.(1+tan
18°)(1+tan
27°)的值是
( )
A.
B.1+
C.2
D.2(tan
18°+tan
27°)
答案:C
4.函数f(x)=cos
x(1+tan
x)的最小正周期为2π.
5.已知α∈0,,β∈,π,且sin(α+β)=,cos
β=-,求sin
α.
解:因为β∈(,π),cos
β=-,所以sin
β=.
又因为0<α<,<β<π,
所以<α+β<.
又因为sin(α+β)=,
所以cos(α+β)=-=-=-,
所以sin
α=sin
[(α+β)-β]=sin(α+β)cos
β-cos(α+β)sin
β=×(-)-(-)×=.
B级 能力提升
6.在△ABC中,tan
A+tan
B+tan
C=3,tan2B=tan
Atan
C,则B等于
( )
A.30°
B.45°
C.120°
D.60°
解析:由公式变形得tan
A+tan
B=tan(A+B)(1-tan
A·tan
B)=tan(180°-C)(1-tan
Atan
B)=-tan
C(1-tan
Atan
B)=-tan
C+tan
Atan
Btan
C.
所以tan
A+tan
B+tan
C=-tan
C+tan
Atan
Btan
C+
tan
C=tan
Atan
Btan
C=3.
又因为tan2B=tan
Atan
C,所以tan3B=3,
所以tan
B=,所以B=60°.
答案:D
7.的运算法则为=ad-bc,则的值是0.
解析:=cos
cos
-sin
sin
=
Cos(+)=cos
=0.
8.如图,在平面直角坐标系中,以x轴非负半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
解:由条件得cos
α=,cos
β=.
因为α,β均为锐角,所以sin
α==,
sin
β==.
因此tan
α==7,tan
β==.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)因为tan
2β=tan(β+β)==
=,
所以tan(α+2β)===-1.
又因为α,β均为锐角,所以0<α+2β<,
所以α+2β=.
9.已知函数f(x)=2cos+,x∈R.若α,β∈0,,f4α+=-,
f4β-=,求cos(α+β)的值.
解:因为f(4α+)=-,
所以2cos[(4α+)+]=2cos(α+)=-,
所以sin
α=.
又因为f(4β-)=,
所以2cos[(4β-)+]=2cos
β=,
所以cos
β=.
又因为α,β∈[0,],所以cos
α=,sin
β=,
所以cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β=×-×=-.
C级 挑战创新
10.多空题已知函数f(x)=sinx+-sinx-,则此函数的周期T=2π;
若-≤x≤,则此函数的值域是[,].
解析:因为f(x)=sin(x+)-sin(x-)=sin
x·cos
+cos
xsin
-sin
xcos
+cos
xsin
=cos
x,所以函数f(x)的最小正周期为=2π.又因为-≤x≤,所以≤f(x)≤.第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.函数y=1-2cos2x的最小正周期是
( )
A.
B.
C.π
D.2π
答案:C
2.若α为第二象限角,sin
α=,则sin
2α=
( )
A.-
B.-
C.
D.
答案:A
3.若tan
θ=-,则cos
2θ=
( )
A.-
B.-
C.
D.
答案:D
4.若x∈-,0,cos
x=,则tan
2x等于
( )
A.
B.-
C.
D.-
答案:D
5.已知<α<π,cos
α=-.
(1)求tan
α的值;
(2)求sin
2α+cos
2α的值.
解:(1)因为cos
α=-,<α<π,所以sin
α=,
所以tan
α==-.
(2)由(1)易得sin
2α=2sin
αcos
α=-,
cos
2α=2cos2α-1=,
所以sin
2α+cos
2α=-+=-.
B级 能力提升
6.化简1+tan
x·tan
=
( )
A.cos
x
B.tan
x
C.sin
x
D.sin
2x
解析:原式=1+·=
sin
x·=sin
x·==tan
x.
答案:B
7.若θ为锐角,cos(θ+15°)=,则cos(2θ-15°)=.
解析:因为θ为锐角,cos(θ+15°)=,
所以sin(θ+15°)=.
所以sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=,
cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×-1=-.
所以cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)
=cos(2θ+30°)cos
45°+sin(2θ+30°)sin
45°
=-×+×=.
8.已知函数f(x)=cos2x+sin
xcos
x,x∈R.
(1)求f的值;
(2)若sin
α=,且α∈,π,求f+.
解:(1)f()=cos2+sin
cos
=
()2+×=.
(2)因为f(x)=cos2x+sin
xcos
x=+sin
2x=+(sin
2x+cos
2x)=+sin(2x+),
所以f(+)=+sin(α++)=
+sin(α+)=+(sin
α+cos
α).
又因为sin
α=,且α∈(,π),所以cos
α=-.
所以f(+)=+(×-×)=.
C级 挑战创新
9.多空题已知sin
α=,α∈,π,则tan
2α=-,
cos
2α=.
解析:因为sin
α=,α∈(,π),
所以cos
α=-=-,
所以tan
α==-,tan
2α==-,
cos
2α=2cos2α-1=.
10.开放探究题某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin
13°cos
17°;
②sin215°+cos215°-sin
15°cos
15°;
③sin218°+cos212°-sin
18°cos
12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos
48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos
55°.
(1)请根据②式求出这个常数.
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
解:(1)sin215°+cos215°-sin
15°cos
15°=1-sin
30°=1-=.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin
αcos(30°-α)=.
证法1:sin2α+cos2(30°-α)-sin
αcos(30°-α)=sin2α+(cos
30°cos
α+sin
30°sin
α)2-sin
α(cos
30°·cos
α+sin
30°sin
α)=sin2α+cos2α+sin
αcos
α+
sin2α-sin
αcos
α-sin2α=sin2α+cos2α=.
证法2:sin2α+cos2(30°-α)-sin
αcos(30°-α)
=+-sin
α(cos
30°cos
α+
sin
30°sin
α)
=-cos
2α++(cos
60°cos
2α+sin
60°sin
2α)-sin
αcos
α-sin2α
=-cos
2α++cos
2α+sin
2α-sin
2α-(1-cos
2α)
=1-cos
2α-+cos
2α=.第1课时简单的三角恒等变换(一)
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.化简:=
( )
A.tan
α
B.cos
α
C.sin
α
D.cos
2α
答案:B
2.已知2sin
α=1+cos
α,则tan
等于
( )
A.
B.或不存在
C.2
D.2或不存在
答案:B
3.设a=cos
7°+sin
7°,b=,c=,则有
( )
A.b>a>c
B.a>b>c
C.a>c>b
D.c>b>a
答案:A
4.若tan
x=,则=2-3.
5.化简:sin2x+cos
2x.
解:原式=sin2x+cos
2x
=sin2x·+cos
2x
=sin2x·+cos
2x
=sin
2x+cos
2x=sin(2x+).
B级 能力提升
6.若tan
α=2,π<α<,则cos
等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
解析:因为tan
α==2,sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.又因为π<α<,所以cos
α=-,<<,所以cos
=-=-=-.
答案:C
7.若α∈(0,),sin
2α=,则sin(α+)=
.?
解析:因为1-2sin2(α+)=cos(2α+)=
-sin
2α,所以sin2(α+)=.
因为α∈(0,),所以α+∈(,),
所以sin(α+)=.
8.求证:tan
-tan
=.
证明:因为左边=tan
-tan
=-=
==
==
=右边,
所以原等式成立.
C级 挑战创新
9.多选题下列各值中,函数y=2sin
x+2cos
x可能取得的是
( )
A.3
B.3.5
C.4
D.4.5
解析:因为y=2sin
x+2cos
x=4(sin
x+cos
x)=
4sin(x+)≤4,所以函数y=2sin
x+2cos
x不能取得的是4.5.故选A、B、C.
答案:ABC
10.多空题已知α为第二象限角,且=,则
tan+=-3,sinα+=.
解析:因为α为第二象限角,且=,
所以tan
α=-=.
又因为sin
2α+cos
2α=1,所以sin
α=,cos
α=-.
所以sin(α+)=sin
αcos
+cos
αsin
=-,
Cos(α+)=cos
αcos
-sin
αsin
=-.
所以tan(+)===-3.
因为sin
===,
cos
===,
所以sin(α+)=sin
αcos
+cos
αsin
=
×-×=.第2课时
简单的三角恒等变换(二)
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.函数f(x)=cos2x+,x∈R,则f(x)
( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
答案:D
2.函数f(x)=sin
x-cos
x可化简为
( )
A.2sinx-
B.2sinx+
C.2sinx-
D.2sinx+
答案:A
3.设a=cos
6°-sin
6°,b=2sin
13°cos
13°,c=,则有
( )
A.c
B.aC.aD.b答案:C
4.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按什么角度来截?
解:设正方形钢板的边长为a,截后正方形的边长为b,则
=,==.
又因为a=GC+CF=bsin
x+bcos
x,
所以sin
x+cos
x=,所以sin(x+)=.
因为0所以x+=或x+=,所以x=或,
即应按或来截.
5.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期.
(2)求f(x)的单调递增区间.
解:(1)由sin
x≠0,得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
因为f(x)==2cos
x(sin
x-
cos
x)=sin
2x-cos
2x-1=sin(2x-)-1,
所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)因为函数y=sin
x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+,x≠kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ)和(kπ,kπ+](k∈Z).
B级 能力提升
6.若函数f(x)=(1+tan
x)cos
x,0≤x<,则f(x)的最大值是
( )
A.1
B.2
C.+1
D.+2
解析:f(x)=(1+tan
x)·cos
x=(1+)·cos
x=sin
x+cos
x=2sin(x+).
因为0≤x<,所以≤x+<,
所以当x+=时,f(x)取到最大值2.
答案:B
7.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离d表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为
( )
A
B
C
D
解析:因为OP=1,由三角函数的定义,得MP=|sin
x|,
OM=|cos
x|.在Rt△OMP中,根据面积相等,有MP·OM=OP·d,
所以f(x)==|sin
2x|.
因为y=sin
2x的周期为π,所以f(x)=|sin
2x|的周期为,且最大值为.故选C.
答案:C
8.函数f(x)=的值域为[-,4).
解析:
f(x)===2sin
x+2sin2x,由已知,可得-1≤sin
x<1.
令sin
x=t,则t∈[-1,1),f(x)=g(t)=2t2+2t=
2(t+)2-,故当t=-时,函数g(t)取得最小值-;当t的值趋于1时,g(t)的值趋于4,故函数g(t)的值域为[-,4),所以f(x)∈[-,4).
9.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点
分别在x、y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.
解:如图,过点B作BH⊥OA,垂足点为点H.
设∠OAD=θ(0<θ<),则∠BAH=-θ,
OA=2cos
θ,BH=sin(-θ)=cos
θ,
AH=cos(-θ)=sin
θ,
所以点B的坐标为(2cos
θ+sin
θ,cos
θ),
OB2=(2cos
θ+sin
θ)2+cos2θ=
7+6cos
2θ+2sin2θ=7+4sin(2θ+).
由0<θ<,得<2θ+<,
所以当2θ+=,即θ=时,
OB2取得最大值7+4.
C级 挑战创新
10.多空题如图,有半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,则当α为时,矩形的面积最大,最大面积的值为1.
解析:因为OP=1,∠SOP=α,所以SP=sin
α,OS=cos
α,所以S矩形PQRS=sin
α×2cos
α=sin
2α,
所以当α为时,S矩形PQRS最大,最大值为1.